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1、均方分布介绍第1页，共24页，编辑于2022年，星期六正态分布密度的性质正态分布密度的性质 (1)在在 x=处取到最大值处取到最大值故故 f(x)以以为对称轴，为对称轴，令令 x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可得可得且且 f(+c)=f(-c)f(+c)f(),f(-c)f()x=为为 f(x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标.(2)正态分布的密度曲线位于正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方轴的上方,且关于且关于 x=对称，对称，对密度函数求导：对密度函数求导：=0，(3)密度曲线密度曲线 y=f(x)有拐点有拐点即曲线即曲线 y=f(x)向左右伸展时向左右伸展时,越
2、来越贴近越来越贴近 x 轴轴.当当 x 时，时，f(x)0+,决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值，反之亦然，反之亦然，则密度曲线左右整体平移则密度曲线左右整体平移.(4)f(x)以以 x 轴为水平渐近线轴为水平渐近线;正态分布正态分布 N(,2)的密度函数图形的特点的密度函数图形的特点:两头低两头低,中间高中间高,左右对称的左右对称的 “峰峰”状状 若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值，决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置 决定图形的中心位置决定图形的中心位置;第2页，共24页，编辑于2022年，星期六 大量的随机变量都服从或者近似服从
3、正态分布大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.但每个因素所起的作用不大但每个因素所起的作用不大.经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布从正态分布.正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，如某地的年降雨量如某地的年降雨量,某地区成年男子的身高、体重，某地区成年男子的身高、体重，农作物的产量，小麦的穗长、株高；农作物的产量，小麦的穗长、株高；生物学中同一群体生物学中同一群体的形态指
4、标，的形态指标，电子元器件的信号噪声、电压、电流；电子元器件的信号噪声、电压、电流；有很多分布还可以用正态分布近似有很多分布还可以用正态分布近似.而正态分布自身还有很多良好的性质而正态分布自身还有很多良好的性质.若影响某一数量指标的随机因素很多，若影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素独立，每一因素独立，服从正态分布服从正态分布 在自然现象和社会现象中在自然现象和社会现象中,第3页，共24页，编辑于2022年，星期六若随机变量若随机变量 X N(,2)，则则 正态分布的分布函数正态分布的分布函数X 的分布函数的分布函数 下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正
5、态分布标准正态分布 =0,=1 的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 (x)和和 (x)表示：表示：可查表得可查表得其值其值！第4页，共24页，编辑于2022年，星期六 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布以通过线性变换转化为标准正态分布.求求 P(X 2.5)及及Y N(0,1)设设 XN(,2)，P(-(-1.64 X 2.5)=1-(2.5)P(X 0.5)=F(0.5)查表得查表得=0.6915;=1-0.9938=0.0
6、062;P(-(-1.64 X 0整个概率密度曲线都在整个概率密度曲线都在 x 轴的上方轴的上方以以为对称轴为对称轴在在 x=处达到最大值处达到最大值f(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 x=为为f(x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标正态分布通过正态分布通过线性变换线性变换可转化为标准正态分布可转化为标准正态分布 最重要的正态分布最重要的正态分布标准正态分布标准正态分布X N(0,1)正态分布正态分布 X N(,2)！第6页，共24页，编辑于2022年，星期六 并求该地区明年并求该地区明年 8 月份降雨量超过月份降雨量超过250mm的概率的概率.例例8(P(P65.例例22)某地区某地
7、区8月份降雨量月份降雨量 X 服从服从 =185mmmm,=28mmmm 的正态分布，的正态分布，XN(185,282)，写出写出 X 的概率密度，的概率密度，解解 所求概率为所求概率为 P(X 250)=1-P(X 250)=1-(2.32)=1-0.9898 =0.0102.再看几个应用正态分布的例子再看几个应用正态分布的例子 我们已经看到，当我们已经看到，当 n 很大，很大，p 接近接近 0 或或 1 时，二项分布近似泊松分时，二项分布近似泊松分布布;可以证明，如果可以证明，如果 n 很大，而很大，而 p 不接近于不接近于 0 或或 1 时，时，二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分
8、布.第7页，共24页，编辑于2022年，星期六 例例9 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的以下来设计的.问门高度应如何确定问门高度应如何确定?解解 设车门高度为设车门高度为 h cm,按设计要求应有按设计要求应有 P(Xh)0.01或或 P(X 0.99，h=170+13.98 184.设计车门高度为设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若若 XN(,2)时，时，要求满足要求满足 P(X x0)=p 的的 x0 ：P(X x0)=p 第8页，共24页，编辑
9、于2022年，星期六 如果某考生得如果某考生得48分分,求有多少考生名求有多少考生名列该考生之前列该考生之前?已知已知1987年全国普通高校年全国普通高校统考物理成绩统考物理成绩 XN(42,36),这表明有这表明有16%的考生成绩超过的考生成绩超过48分，分，例例10(确定确定超前百分位数超前百分位数、排定名次、排定名次)解解 由条件知即求由条件知即求 P(X 48)，查表可知查表可知即即 84%的考生名列该考生之后的考生名列该考生之后.=1 1 -(1),(1),第9页，共24页，编辑于2022年，星期六 即成绩高于甲的人数应占考生即成绩高于甲的人数应占考生的的16.9%,对于录取考试人们
10、最关心的是对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取分数线？自己能否达到录取分数线？自己的名次？自己的名次？某公司招工某公司招工300名名(正式工正式工280,临时工临时工20名名),),例例1111(预测录取分数和考生名次预测录取分数和考生名次)解解 166,X N(166,932 2)，(1)(1)(预测分数线预测分数线)考生甲得考生甲得256分分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？考后由媒体得知：考考后由媒体得知：考试总平均成绩为试总平均成绩为166分分,360分以上的高分考生有分以上的高分考生有31人人.有有1657人参加考试人参加考试,
11、考试满分为考试满分为400分分.高于此线的高于此线的考生频率为考生频率为 300/1657 高于高于360分的考生频率为分的考生频率为(2)(2)(预测甲的名次预测甲的名次)当当 X=256 时时,P(X256)这表明高于这表明高于256分的频率应为分的频率应为0.169,排在甲前应有排在甲前应有甲大约排在甲大约排在283名名.故甲能被录取故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大但成为正式工的可能性不大.P(X360)设考生成绩为设考生成绩为X,最低分数线为最低分数线为 x0,第10页，共24页，编辑于2022年，星期六类似计算可得，类似计算可得，=0.9974 例例12解解 求求 P(|(|X
12、-|k )k=1,2,3.P(|(|X-|3 )=P(-3 X u )=的数的数 u 为为标准正态分布的标准正态分布的上侧上侧 分位数分位数；定义定义4(P(P66.定义定义14)设设 XN(0(0 ,1)，0 u )=1-P(X u )称满足等式称满足等式 P(|(|X|u/2)=的数的数 u/2 为为标准正态分布的标准正态分布的双侧双侧 分位数分位数；(x)O x u (x)O x /2 /2-u/2u/2=，=1-(u )(u )=1-，可查表得值可查表得值类似可得类似可得 (u/2)=1-/2，若若 XN(,2)时，时，要求满足要求满足 P(X x0)=的的 x0 ：(u )=1-u
13、第13页，共24页，编辑于2022年，星期六已知圆轴截面直径已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，求截面面积求截面面积 A=的分布的分布.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第14页，共24页，编辑于2022年，星期六再如再如,求功率求功率 W=V 2/R (R为电阻）的分布等为电阻）的分布等.已知已知t=t 0 时刻噪声电压时刻噪声电压V 的分布的分布,0V 在实际中，人们常常对随机变量在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数的函数Y=g(X)所表示所表示的随机变量的随机变量 Y 更感兴趣更感兴趣 设随机变量设随机变量X 的分布已知的分布已知,又又Y=g(X)(设设g是连续函数是连续函数
14、)无论在实践中还是无论在实践中还是在理论上都是重要的在理论上都是重要的如何由如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？通过实例找方法通过实例找方法第15页，共24页，编辑于2022年，星期六例例1(P67 例例24)(X 取某值与取某值与 Y 取其对应值是相同的事件取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同两者的概率应相同)一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布解解 Y=2X-1-3 -1 1 3 5 pk1/10 1/5 2/5 1/5 1/10则则 Y=g(X)的分布列为的分布列为 X 取值分别为取值分别为-2,-1,0,1,2 时时,Y=2X+1 对应值为对应
15、值为-3,-1,1,3,5.求求Y=2X+1,+1,Y=X 2 的分布列的分布列.X Y=X 2-2 4-1 1 0 0 1 1 2 4X -2 -1 0 1 2pk1/10 1/5 2/5 1/5 1/10-2,2 4-1,1 1 0 0 Y=X 2 0 1 4 pk2/5 2/5 1/5一般地，离散型随机变量一般地，离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为X x1 x2 xn pk p1 p2 pn Y=g(X)g(x1)g(x2)g(xn)pk p1 p2 pn 将它们对应的概率相加后和并成一项即可将它们对应的概率相加后和并成一项即可 若若g(xk)中有相等值中有相等值,第16页，共24
16、页，编辑于2022年，星期六则则 FY(y)=P(Y y)解解 设设Y 的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2(P69 例例25)设设 X 具有概率密度具有概率密度求求 Y=-2X+8 的概率密度的概率密度.于是于是Y 的概率密度为的概率密度为二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布注意到注意到 0 x 4 时，时，即即 0 y 0 时时,注意到注意到 Y=X 2 0，故当故当 y 0时，时，FY(y)=0;解解 设设Y 和和X 的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和 FX(x)，例例3则则 Y=X 2 的概率密度为的概率密度为Y 服从自由度为服从自由度为 1 的
17、的 分布分布求求Y=X 2 的概率密度的概率密度.(P70 例例26)第18页，共24页，编辑于2022年，星期六 从上述两例中可看到，在求从上述两例中可看到，在求P Y y 的过程中的过程中,关键是关键是第一步第一步中中:设法从设法从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的关于等价的关于 X 的不等式的不等式.用用 代替代替 X 2 y 即利用已知的即利用已知的 X 的分布的分布,求出求出 X 的函数的分布的函数的分布用用 代替代替 -2 X+8 y 求求连续型连续型随机变量的函数的分布的常用方法随机变量的函数的分布的常用方法如例如例2中中,如例如例3中中,定理
18、定理 第19页，共24页，编辑于2022年，星期六 则则 Y=g(X)是一个连续型随是一个连续型随机变量机变量,其概率密度为其概率密度为 又又 y=g(x)处处可导处处可导,且有且有g (x)0(或恒有或恒有g (x)0),),类似可证类似可证 g (x)0 时时,定理的证明与前面的解题思路完全类似定理的证明与前面的解题思路完全类似.设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有概率具有概率密度密度 fX(x),),定理定理(P71 ThTh2.4)下面求下面求Y 的分布函数的分布函数FY(y):证证 由于由于g 保号保号 h(y)是是g(x)的反函数的反函数综合以上即有结论成立综合以上即有结论成
19、立.a ba b第20页，共24页，编辑于2022年，星期六 试证试证 X 的线性函数的线性函数 Y=aX+b(a 0)也服从正态分布也服从正态分布.证证 X 的的概率密度为概率密度为例例4(P72例例27)设随机变量设随机变量 XN(,2),),显然显然 y=g(x)=a x+b可导且可导且g =a 保号保号Y=aX+b 的概率密度为的概率密度为由定理知由定理知 Y=aX+b (a +b,(|a|)2)即即注注 取取 ,验证函数可导且单调验证函数可导且单调 求反函数及其导数求反函数及其导数 代入定理公式即得函数的密度代入定理公式即得函数的密度 注意取绝对值注意取绝对值有有 确定确定y的取值范
20、围的取值范围 第21页，共24页，编辑于2022年，星期六求求 Y=1-e e X 的概率密度的概率密度.解解 例例5(P72例例28)设设 X 的概率密度为的概率密度为 显然显然 y=g(x)=1-e e x 可导可导,且且g =-e e x 保号保号,Y=1-e e X 的概率密度为的概率密度为由定理知由定理知 即即注意取绝对值注意取绝对值第22页，共24页，编辑于2022年，星期六先转化为分布先转化为分布函数函数,再求导再求导已知已知 X 的概率密度为的概率密度为 求求Y=sinX 的概率密度的概率密度.例例6(P73 例例29)利用利用分布函数分布函数求概率密度：求概率密度：函数函数
21、y=g(x)=sinx 在在 0,上为上为非单调函数非单调函数，解解故不能用定理求故不能用定理求.x 0,时时,y 0 时时,0y1时时,=P(0 X arcsin y)(-arcsin y X )y 1时时,=P(0 X arcsin y)+P(-arcsin y X )=1.分布函数法分布函数法不必计算积分不必计算积分第23页，共24页，编辑于2022年，星期六小结小结 对于连续型对于连续型 随机变量随机变量 对于离散型随机变量，对于离散型随机变量，先找出先找出Y 与与 X 的对应的对应值值g(xk)，再利用，再利用 X 的分布列来求的分布列来求Y 的分布列的分布列,g(xk)中有相同值时中有相同值时,将其概率相加并项将其概率相加并项.当当Y=g(X)不具有单调性时不具有单调性时，用分用分布函数法布函数法来求得来求得 Y 的分布的分布.当当Y=g(X)具有单调性时具有单调性时，用定理用定理求得求得 Y 的分布的分布;(4(4步步)(2步步)第24页，共24页，编辑于2022年，星期六