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1、插值问题描述插值问题描述设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：插值问题插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。第1页/共35页y=f(x)y=p(x)简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x)第2页/共35页 6.1 插值法的数学描述插值法的数学描述设函数设函数y=f(x)在区间在区间 a,b 上连续上连续,是是 a,b 上上 取取 定定 的的 n+1个个 互互 异异 节节 点点,且且 在在 这这 些些 点点 处处 的的 函函 数数 值值 为为已已知知 ,即即 若
2、若存存在在一一个个f(x)的近似函数的近似函数 ,满足满足则称则称 为为f(x)的一个的一个插值函数插值函数,f(x)为为被插函数被插函数,点点xi为为插值节点插值节点,R(x)=称为称为插值余项插值余项,区间区间 a,b 称为称为插值区间插值区间,插值点在插值区间内的称为插值点在插值区间内的称为内插内插,否则称否则称外插外插 第3页/共35页插值的几何意义插值的几何意义第4页/共35页6.2 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值 为了构造满足插值条件为了构造满足插值条件 (i=0,1,2,n)的便于使用的插值多项式的便于使用的插值多项式P(x),P(x),先考察几种简单情形先考察
3、几种简单情形,然后再推广到一般形式。然后再推广到一般形式。6.2.1 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值（1）线性插值）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)f(x)在两个互异的点在两个互异的点 ，的值，的值，,现要求用线性函数现要求用线性函数 近似地代替近似地代替f(x)f(x)。选。选择参数择参数a和和b,使使 。称这样的线性函数。称这样的线性函数P(x)P(x)为为f(x)f(x)的线性插值函数的线性插值函数。第5页/共35页线性插值线性插值多项式 第6页/共35页由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形
4、为 显然有：第7页/共35页记可以看出的线性组合得到，其系数分别为 ，称 为节点 ,的线性插值基函数第8页/共35页线性插值基函数满足下述条件1001并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 第9页/共35页例例6.1 6.1 已知已知 ,求求解解:这里这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用利用线性插值线性插值 第10页/共35页例例6.2 已知已知y=f(x)的函数表的函数表 求线性插值多项式求线性插值多项式,并计算并计算x=1.5 的值的值X 1 3 y 1 2解解:
5、由线性插值多项式公式得由线性插值多项式公式得第11页/共35页这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点 的抛物线 近似代替曲线 ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。（2）抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式使满足二次插值条件：第12页/共35页抛物插值函数抛物插值函数因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。第13页/共35页为了与下一节的为了与下一节的Lagrange插值公式比较插值公式比较,仿线性插值仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次用基函数的
6、方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：插值问题：求二次式求二次式 ,使其满足条件：使其满足条件：这个问题容易求解。由上式的后两个条件知这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:是是 的两个零点。于是的两个零点。于是 再由另一条件再由另一条件 确定系数确定系数 从而导出从而导出 第14页/共35页P(x)的参数的参数 直接由插值条件决定，直接由插值条件决定，即即 满足下面的代数方程组：满足下面的代数方程组：该三元一该三元一次方程组次方程组的系数矩阵的系数矩阵 的行列式是范德蒙行列式，当的行列式是范德蒙行列式，当 时，时，方程组的解唯一。方程组的解唯一。第15页/共35页类似地可以构造出满足
7、条件：类似地可以构造出满足条件：的插值多项式的插值多项式 及满足条件：及满足条件：的插值多项式的插值多项式 这样构造出来的这样构造出来的 称为抛物插值的基函数称为抛物插值的基函数 取已知数据取已知数据 作为线性组合系数作为线性组合系数,将基函数将基函数 线性组合可得线性组合可得 容易看出容易看出,P(x),P(x)满足条件满足条件 第16页/共35页例6.3 已知x=1,4,9 的平方根值,用抛物插值公式,求(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2
8、=9y0=1,y1=2,y2=3(14)(19)(74)(79)*1+(41)(49)(71)(79)*2+(91)(94)(71)(74)*3=2.7p2(x)=第17页/共35页例例6.4 已知函数已知函数y=f(x)在节点上满足在节点上满足 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 求二次多项式求二次多项式 p(x)=a0+a1x+a2x2 使之满足使之满足 p(xi)=yi i=0,1,2解解:用待定系数法用待定系数法,将各节点值依次代入所求多项式将各节点值依次代入所求多项式,得得解上述方程解上述方程,将求出的将求出的a0,a1,a2 代入代入p(x)=a0+a1x+a2x2 即得所
9、求二次多项式即得所求二次多项式 第18页/共35页v我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x)。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式pn(x)，如下所示：已知n+1个节点处的函数值求一个n次插值函数满足6.2.2 拉格朗日插值多项式第19页/共35页构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件100001000001第20页/共35页与与推推导导抛抛物物插插值值的的基基函函数数类类似似,先先构构造造一一个个特特殊殊n次次多多项项式式 的插值问题的插值问题,使其在各节点使其在各节点 上满足上满足 即即:由
10、条件由条件 ()()知知,都是都是n n次次 的零点的零点,故可设故可设 第21页/共35页其中其中 为待定常数。由条件为待定常数。由条件 ,可求得可求得 于是于是 代入上式代入上式,得得称称 为关于基点为关于基点 的的n n次插值基函数次插值基函数(i=0,1,(i=0,1,n),n)第22页/共35页以以n+1个个n次基本插值多项式次基本插值多项式为基础为基础,就能直接写出满足插值条件就能直接写出满足插值条件的的n次代数插值多项式。次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数事实上，由于每个插值基函数都是都是n次值多项式次值多项式,所以他们的线性组合所以他们的线性组合是次数不超过是次数不超
11、过n n次的多项式次的多项式,称形如上式的插值多项称形如上式的插值多项式为式为n次拉格朗日插值多项式。并记为次拉格朗日插值多项式。并记为 第23页/共35页例例6.5 求过点求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式的三点插值多项式解解:由由Lagrange 插值公式插值公式（给定的三个点在一条直线上）（给定的三个点在一条直线上）第24页/共35页例例6.6 已知已知f(x)的观测数据的观测数据 x 0 1 2 4 f(x)1 9 23 3 构造构造Lagrange插值多项式插值多项式解解 四个点可构造三次四个点可构造三次Lagrange插值多项式插值多项式:基函数为基函数为 第
12、25页/共35页Lagrange插值多项式为插值多项式为 为便于上机计算为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式可改写成常将拉格朗日插值多项式可改写成 第26页/共35页 例例6.7 已知已知f(x)的观测数据的观测数据 x 1 2 3 4f(x)0 -5 -6 3构造插值多项式构造插值多项式 解解:四个点可以构造三次插值多项式四个点可以构造三次插值多项式,将数据将数据 代入插值公式，有代入插值公式，有 这个例子说明这个例子说明p(x)的项数不超过的项数不超过n+1项，但可以项，但可以有缺项。有缺项。第27页/共35页x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=p(x)ab在插值区间
13、在插值区间 a,b 上用上用插值多项式插值多项式p(x)近似代替近似代替f(x),除除了在插值节点了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。差的。若记若记 R(x)=f(x)-p(x)则则 R(x)就是用就是用 p(x)近似代替近似代替 f(x)时的时的截断误差截断误差,或称或称插值余项插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。我们可根据后面的定理来估计它的大小。6.2.3 插值多项式的误差插值多项式的误差 第28页/共35页定理定理 设设f(x)在在 a,b 有有n+1阶导数，阶导数，x0,x1,xn 为为 a,b 上上n+1个互异的节点
14、个互异的节点,p(x)为满足为满足 p(xi)=f(xi)(i=1,2,n)的的n 次插值多项次插值多项 式，式，那么对于任何那么对于任何x a,b 有插值余项有插值余项其中其中a b 且依赖于且依赖于x第29页/共35页0，使得|x(a,b)由于 (x)一般无法确定，因此式R(x)只能用作余项估计。如果在区间(a,b)上有界，即存在常数 则有余项估计 第30页/共35页对于线性插值，其误差为对于线性插值，其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为第31页/共35页例例6.8 已知已知 =100,=121,用线性插值估计用线性插值估计 在在x=115时的截断误差时的截断误差解解:由插值余项公式知由插值余项公式知 因为因为 第32页/共35页例例6.9 已知已知x0=100,x1=121,x2=144,当用抛物插值求当用抛物插值求 在在x=115时的近似值，估计其的截断误差时的近似值，估计其的截断误差 解解=第33页/共35页例例6.10 设设f(x)=x4,用余项定理写出节点用余项定理写出节点-1,0,1,2的的三次插值多项式三次插值多项式 解解:根据余项定理根据余项定理第34页/共35页谢谢您的观看！第35页/共35页