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1、会计学1线性代数课件线性代数课件34方向向量的定义：方向向量的定义：/一、点向式方程一、点向式方程3.4 空间直线空间直线 如果一非零向量如果一非零向量 平平行于一条已知直线行于一条已知直线L，向量，向量 称为直线称为直线L的的方向向量方向向量第1页/共33页直线的点向式方程直线的点向式方程直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的方向余弦称为直线的方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦方向余弦.第2页/共33页 例例1 求过空间两点求过空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的直线方程的直线方程.解解 s=AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),例例2说明说明：即，即，l
2、在平面在平面 y=2上上.第3页/共33页解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程=（2，0，4）第4页/共33页二、参数式方程二、参数式方程设直线设直线 l 的方程的方程则则 上式称为直线上式称为直线l 的的参数方程参数方程，t 称为称为参数参数，不同，不同的的t 对应于直线对应于直线l 上不同的点上不同的点.第5页/共33页例例4 设设l 过过M(3,4,-4),为为求求l 的方程的方程.解解 取取第6页/共33页解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令第7页/共33页代入平面方程得代入
3、平面方程得 ,交交点点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为第8页/共33页空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程三、一般式方程三、一般式方程第9页/共33页例例6 6 用点向式方程及参数方程表示直线用点向式方程及参数方程表示直线解一解一在直线上任取一点在直线上任取一点M0取取解解得得M0点的坐标点的坐标第10页/共33页因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取点向式方程点向式方程参数方程参数方程第11页/共33页解二解二 由解法一已得直线上点由解法一已得直线上点M0 的坐标的坐
4、标(1,0,-2),取取 x1=0,则则取直线的方向向量为取直线的方向向量为 =(4,-1,-3),得直线方程为得直线方程为第12页/共33页解三解三 由直线方程由直线方程(1)+(2):3x+4z+5=0(1)2-(2):3y-z-2=0 z=3y-2 方程方程(3)的方向向量的方向向量(-4,1,3)与与(4,-1,-3)平行，且平行，且点点 在解法一、二所确定的直线上，故方程在解法一、二所确定的直线上，故方程(3)与解法一、二所得的方程表示的为同一直线与解法一、二所得的方程表示的为同一直线.第13页/共33页解四解四(用高斯消元法用高斯消元法行初等变换行初等变换)参数式：参数式：点向式：
5、点向式：第14页/共33页例例7 7 确定直线确定直线l 外一点外一点M0(x0,y0,z0)到到l 的距离的距离.设设M1(x1,y1,z1)是直线是直线l 上任意一确定的点，上任意一确定的点，M是是l 上另一点，且上另一点，且M1M=s=(m,n,p),则直线则直线l 的方程为的方程为如图所示平行四边形面积如图所示平行四边形面积S=|M1M0 M1M|=|s M1M0|=d|s|dMM1M0l第15页/共33页例例8 8 求点求点M0(1,2,1)到直线到直线的距离的距离.解解取取 z=0,得得 x=1,y=1,M1(1,-1,0)l.M1M0=(0,3,1).第16页/共33页直线直线直
6、线直线由此公式可计算两条直线的夹角由此公式可计算两条直线的夹角.1.1.两直线的夹角两直线的夹角四四.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 两直线两直线L1与与L2的方向向量的方向向量 与与 的夹角（通常指的夹角（通常指锐角）称为锐角）称为L1与与L2的夹角，记为的夹角，记为.第17页/共33页2.两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，第18页/共33页解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程第19页/共33页例例10 判直线判直线的位置关系？的位置关系？解解 第20页/共33页 直线和它在平面上的投影
7、直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角五、直线与平面的位置关系五、直线与平面的位置关系1、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角第21页/共33页直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式2.直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：/第22页/共33页解解为所求夹角为所求夹角第23页/共33页解解例例12判判 l:与与:x+4y z 1=0的位置关系的位置关系.若相交，则求出交点与夹角若相交，则求出交点与夹角.所以所以l 与与相交相交.代入代入,得得所以所以l 与与交点交点第24页/共33页例例13 直线直线l 过点过点M(2,5,-2)且与直且与直
8、线线垂直相交，求垂直相交，求l 的方程的方程.解解只需求出交点只需求出交点N的坐标即可的坐标即可.过过M作平面作平面 与与l1 垂直，垂直，与与l1的交点即的交点即N.l1 的方向向量的方向向量 NMll1 第25页/共33页过过M(2,5,-2)且与且与l 垂直的平面垂直的平面:-9(x-2)+5(y-5)+7(z+2)=0.9x-5y-7z-7=0.将直线将直线l1 与与 的方程联立：的方程联立：解得解得：x=1,y=-1,z=1.这就是这就是l1与与 的交点的交点N的坐标的坐标(1,-1,1).第26页/共33页直线直线l 的方向向量的方向向量s=MN=(-1,-6,3).l 的方程的方
9、程第27页/共33页3.3.平面束平面束设直线设直线l 的方程是的方程是(1)(2)除方程除方程(2)所表示的平面外，经过直线所表示的平面外，经过直线l 的所有的所有平面都可由下式表示：平面都可由下式表示：经过直线经过直线l 的平面全体称为过的平面全体称为过l 的的平面束平面束.方程方程(3)称为过直线称为过直线l 的的平面束方程平面束方程.第28页/共33页例例14 求直线求直线在平面在平面：2x+2y+z-11=0上的投影直线上的投影直线.解解1 过直线过直线l 作一平面作一平面 与与 垂直，则垂直，则 与与 的交线的交线l就是就是l 在在 上的投影上的投影.第29页/共33页将将l 的方程改写为一般式的方程改写为一般式过过l 的平面束方程为的平面束方程为x+4y-24+(3y+z-17)=0即即x+(4+3 )y+z-(24+17)=0其法向量为其法向量为n=(1,4+3 ,),第30页/共33页由由 可得可得 的方程为的方程为即即7x-2 y -10z+2=0直线直线l 在在 上的投影为上的投影为第31页/共33页解解2作过作过l 且与且与 垂直的垂直的 .则则 l 上的点上的点M(4,5,2)在在 上上.取取即即所以所以l 在在 上的投影直线为上的投影直线为第32页/共33页