《线性方程组的直接解法2.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组的直接解法2.pptx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、会计学1线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法22上一页上一页 下一页下一页 返回返回 定义：定义：若方程组若方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A与右端向量与右端向量b的微小变化的微小变化（小扰动）（小扰动）,将引起解向量将引起解向量x产生巨大变化，则称此方程组为产生巨大变化，则称此方程组为病病态方程组态方程组，其系数矩阵，其系数矩阵A称为称为病态矩阵病态矩阵，否则称，否则称Ax=b为为良态方良态方程组程组，称，称A为为良态矩阵良态矩阵 .方程组的病态程度与方程组的病态程度与Ax=b对对A和和b的扰动的的扰动的敏感程度敏感程度有关。有关。第1页/共10页3求解求解 时，时，A 和和 的误差对
2、解的误差对解 有何影响？有何影响？设设 A 精确，精确，有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即绝对误差放大因子绝对误差放大因子又又相对误差放大因子相对误差放大因子上一页上一页 下一页下一页 返回返回 第2页/共10页4 设设 精确，精确，A有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即(只要只要 A充分小，使得充分小，使得 是关键是关键的误差放大因子，称为的误差放大因子，称为A的的条件数条件数，记为，记为cond(A),越越 则则 A 越病态，越病态，难得准确解。难得准确解。大大上一页上一页 下一页下一页 返回返回 第3页/共10页5注注:cond(A)的具体大小与的具体大小与|的
3、取法有关，但相的取法有关，但相对大小一致。对大小一致。cond(A)取决于取决于A，与解题方法无关。，与解题方法无关。常用条件数有：常用条件数有：cond 1(A)cond (A)cond2(A)特别地，若特别地，若 A 对称，则对称，则条件数的性质：条件数的性质：A可逆，则可逆，则 cond p(A)1；A可逆，可逆，R 则则 cond(A)=cond(A)；A正交，则正交，则 cond 2(A)=1；A可逆，可逆，R正交，则正交，则 cond 2(RA)=cond 2(AR)=cond(A)2。第4页/共10页6精确解精确解为为例例计算计算cond 2(A)。A 1=解：解：考察考察 A
4、的特征根的特征根39206 1 测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时此时精确解精确解为为2.0102 200%第5页/共10页7例：例：Hilbert 阵阵cond (H2)=27cond (H3)748cond (H6)=2.9 106cond (Hn)as n 注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验，而由经验得出。得出。行列式的值很大或很小（如某些行、列近似相关）行列式的值很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间的数量级相差大，且无规则；元素间的数量级相差大，且无规则；主元消去过程中出现小主元；主元
5、消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 第6页/共10页8 二、方程组解的误差估计二、方程组解的误差估计 定理定理 上一页上一页 下一页下一页 返回返回 第7页/共10页9上一页上一页 下一页下一页 返回返回 解解第8页/共10页10 近似解的误差估计及改善：近似解的误差估计及改善：设设 的近似解为的近似解为，则一般有，则一般有cond(A)残向量残向量（剩余向量）（剩余向量）改善方法：改善方法：Step 1:近似解近似解Step 2:Step 3:Step 4:若若 可被精确解出，则有可被精确解出，则有 就是精确解了。就是精确解了。经验表明经验表明：若：若 A 不是非常病态（例如：不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若），则如此迭代可达到机器精度；但若 A 病态，则此算病态，则此算法也不能改进。法也不能改进。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 cond(A)第9页/共10页