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1、会计学1线性方程组线性方程组n维向量维向量2向量一般用小写希腊字母 表示。一.n 维向量及其线性关系。n 维向量。第1页/共38页3 前者称为 n 维行向量,后者称为 n 维列向量。向量是数学中的一个极为重要的概念,在数学的各分支及其它学科中，向量的概念及有关性质都有广泛的应用。n 维向量是平面(空间)解析几何中，2(3)维几何向量的推广，只不过当 n 3 时，它没有几何上的直观意义，只是沿用几何上的术语而已。例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成一个七维向量，其中m 表示导弹的质量，第2页/共38页4例 1.线性方程组 的一组解 也可以记为 c1 c2 cn 并且称 是线性方程组 的一个
2、解向量，简称 是线性方程组 的一个解。第3页/共38页5向量运算:1.加法：第4页/共38页6 由向量的加法与负向量的定义，还可以定义 向量的减法运算，2.数乘：(数与向量的乘法)向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算,由定义不难证明向量的线性运算适合下述八条运算性质 第5页/共38页7加法适合的 4 条运算性质：数乘适合的 4 条运算性质：第6页/共38页8 定理：对数 k 与向量 ，则 k =0 的充分必要条件是 k=0 或 =0。(请你自己给出证明)第7页/共38页91.线性表示。例 3.零向量可由任意向量组线性表示，只要取组合系数全部为零即可。二.向量间的线性关系第8页/共38页10
3、例4：m 个方程 n 个未知量的线性方程组第9页/共38页11的系数矩阵 A 的第 j 列与 的常数项均可由m 维的向量来表示，(也可取増广矩阵的第 j 列)提示：方程个数=向量维数，未知量个数=A 中列向量的向量个数。第10页/共38页12称 为线性方程组 的向量表示。因此我们有定理：(书上P70,P57）向量 可以用向量组 1 2 n 线性表示 的充分必要条件是线性方程组 有解。(解向量的分量即为线性表示的组合系数)第11页/共38页13 例6：设向量组(向量相等即向量的对应分量相等)第12页/共38页14(理由同前)这是一个矛盾方程组，无解。向量 可以由 1 2 3，线性表示，而不能由
4、1，2 线性表示，这与向量组 ，1，2 和向量组，1 2 3 本身的属性有关。第13页/共38页15因此，我们引入下面的概念：(第二个线性关系)2.向量组的线性相关(无关)。定义：设向量组 线性无关。(本定义要求知道向量的分量)第14页/共38页16 由于齐次线性方程组要么只有零解，要么必有非零解，两者必有一个成立。所以，一个向量组要么线性无关，要么线性相关，两者必有一个成立。向量组线性无关，线性相关的几何意义 见书上 P73,P59 请自看！例1.判断向量组 1=(1，0，-1，2)，2=(-1，-1，2，-4)，3=2，3，-5，10 是否线性相关。解：设有数 k1，k2，k3 使得 k1
5、1+k22+k33=0，代入向量的分量 可得关于未知量 k1，k2，k3 的齐次线性方程组 第15页/共38页17对齐次线性方程组 应用矩阵消元法，非零行数 r=2 ,未知量个数=3第16页/共38页18 由阶梯形矩阵 可知齐次线性方程组 有非零解，即向量组 线性相关。解：设 k11+k22+knn=0，即 1 2 n 所以 ki=0，i=1，2.n 。即 1，2.n 线性无关。由向量组线性相关(无关)的定义，不难得到：定理：n+s(s0 的整数)个 n 维向量必线性相关。第17页/共38页19证明：这是因为相应的齐次线性方程组中 方程个数未知量个数，固齐次线性方程组必有非零解,从而向量组 必
6、线性相关。方程个数=向量维数,未知量个数=向量个数线性相关的充分必要条件是第18页/共38页20 线性无关的 条件是？证明：因为相应的齐次线性方程组中，方程个数=未知量个数=n，此时,齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件 是系数行列式 D=0，从而向量组线性相关的充分必要条件是 行列式 D=0。*使用本定理时要注意定理的前提。(向量的个数=向量的维数)*本定理的条件也可改为 DT=0.第19页/共38页21 回忆向量组线性相关的定义，向量组 是否 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 是否有非零解。也就是说是否有不全为零的数 k1，k1.ks 使得向量等式 k11+k22+.+kss=0
7、成立。因此我们可以给出下面的向量组线性相关的定义。(抽象定义)第20页/共38页22*定义隐含了只要向量组 1，2 s 线性相 关，就一定存在不全为的数 k1，k2 ks 使得 向量等式 k1 1+k2 2+ks s=0 成立(或者，由 出发，能推 导出 不全为零，则有向量组 线性相关。)请问：向量组线性无关的抽象定义如何叙述。例3.已知向量组 线性无关，证明 向量组 线性无关。证明：设第21页/共38页23 求解齐次线性方程组 ，得 只有零解，即 所以向量组 第22页/共38页24 求解齐次线性方程组 ,得 有非零解,即存在不全为零的数 1，2，3，4 使 式成立，第23页/共38页25所以
8、向量组 线性相关。思考题：已知向量组 线性无关，1.n 为偶数时，判断向量组 ，是否线性相关。2.向量组 线性无关(相关)的充分必要条件是？例5.含有零向量的向量组线性相关。第24页/共38页26例6.单个非零的 n 维向量线性无关。例7.如果一个向量组的部分向量线性相关，则这个 向量组也线性相关。第25页/共38页27由本例还可以得到：如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分组也线性无关。第26页/共38页28 想一想，这是为什么？你能否自己给出证明。在证明向量组线性相关(无关)时，反证法也是常用方法之一。定理：向量组 (s2)线性相关 的充分必要条件是其中至少有一个向量 可以由其余 s-
9、1 个向量线性表示。证明：必要性，第27页/共38页29即 可由其余的向量 线性表示。充分性，第28页/共38页30且有：成立。所以向量组 线性相关。推论：向量组 (s2)线性无关的充分 必要条件是其中任意一个向量均不能由其余 s-1个向量线性表示。*定理与推论给出了线性相关(无关)和线性表示之间的关系，线性无关的向量组中的向量之间是相互独立 的；而线性相关的向量组中的向量之间是相互不独立 的，即是有关系 的。第29页/共38页31第30页/共38页32第31页/共38页33 小结：主要掌握以下两点：1.正确理解并掌握 n 维向量线性表示，线性相关与线性无关的定义(两个)定理，并能灵活应用以及
10、判断向量组的线性表示，线性相关与线性无关-这是本节的重点！以及线性相关与线性表示间的关系。2.希望理解并掌握本节书上与课上讲的所有例子，特 别是关于证明向量组线性相关与线性无关的例子及 书上的习题。本课程的总成绩：=作业(15)+期中(30)+期末(55)本课程的答疑时间与地点：地点：理科 1号楼 1422 室。时间：周二 12:30-14:30;周五 12:30-14:30.第32页/共38页341.一个例子.给定线性方程组 将每一个方程的系数(含常数项)看成一个向量，则可得 3 个 5 维向量，设为，课外阅读 易知 3 1 2 即向量组 1,2,3线性相关，第33页/共38页35 对线性方
11、程组 来说，第 3 个方程可以由第 1 个方程加 2 倍的第 2 个方程得到，即：第 3 个方程是多余的方程。上例说明可以从线性方程组中有没有多余的方程 来理解向量组是线性相关还是线性无关的。(若向量组 线性无关，则线性方程组 中没有多余的方程，即 中的方程是互相独立的。)2.你能否下面结论的证明。第34页/共38页36本结论可作为定理用！*本定理是书上 P80,P65命题1与推论2 的 另一种叙述！3.关于向量组的线性相关与无关可以从以下几个方 面刻画：（书上 P75 76,P61-62）1).线性组合 向量组1 2 s 线性相关 它们有组合 系数不全为零的线性组合是零向量。向量组1 2 s
12、 线性无关 它们只有 组合系数全为零的线性组合是零向量。第35页/共38页372).线性表示 向量组1 2 s 线性相关 其中至少有 一个向量可由其余向量线性表示。向量组1 2 s 线性无关 其中每一个 向量都不能由其余向量线性表示。3).齐次线性方程组(知道向量的分量)向量组1 2 s 线性相关 齐次线性 方程组 k11+k22+.+k11=0有非零解。向量组1 2 s 线性无关 齐次线性 方程组 k11+k22+.+k11=0只有零解。第36页/共38页384).行列式(是s个s 维向量且知道向量的分量)向量组1 2 s 线性相关 以1 2 s 的分量为列(或行）所得 s 阶行列式=0。向量组1 2 s 线性无关 以1 2 s 的分量为列(或行）所得 s 阶行列式 0。第37页/共38页