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1、会计学1系统仿真技术系统仿真技术Chapter的连续系统仿真建的连续系统仿真建模方法学模方法学Chapter 2 第第2章经典的连续系统仿真建章经典的连续系统仿真建模方法学模方法学 第1页/共57页对下面的控制系统描述，需要放在计算机上求解对下面的控制系统描述，需要放在计算机上求解p常微分方程常微分方程 p传递函数传递函数p状态空间描述状态空间描述 方法一：方法一：ODE23,ODE45可解一阶微分方程组，可解一阶微分方程组，状态空间描述是一阶微分方程组状态空间描述是一阶微分方程组常微分方程，传递函数常微分方程，传递函数 状态空间表达式状态空间表达式求解？求解？ODE23,ODE45可解一阶微
2、分方程组，可解一阶微分方程组，原理是什么？原理是什么？第2页/共57页对下面的控制系统描述，需要放在计算机上求解对下面的控制系统描述，需要放在计算机上求解p常微分方程常微分方程 p传递函数传递函数p状态空间描述状态空间描述 方法一：方法一：ODE23,ODE45可解一阶微分方程组，可解一阶微分方程组，状态空间描述是一阶微分方程组状态空间描述是一阶微分方程组常微分方程，传递函数常微分方程，传递函数 状态空间表达式状态空间表达式原理原理:一阶微分方程（线性，非线性）一阶微分方程（线性，非线性）数值求解方法数值求解方法第3页/共57页 数数值值求求解解方方法法 欧拉法欧拉法 梯形法梯形法 龙格库塔法
3、龙格库塔法RK2RK4第4页/共57页2.1 离散化原理及要求离散化原理及要求 n n问题：数字计算机在数值及时间上的问题：数字计算机在数值及时间上的离散离散性性-被仿真系统数值及时间上的被仿真系统数值及时间上的连续性连续性?n n连续系统的仿真，从本质上：对原连续系连续系统的仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面统从时间、数值两个方面对原系统进行离对原系统进行离散化散化并选择合适的数值计算方法来并选择合适的数值计算方法来近似近似积积分运算分运算 n n 离散模型离散模型原连续模型？原连续模型？第5页/共57页相似原理相似原理 n n设系统模型为：设系统模型为：设系统模型为：设系统模
4、型为：，其中，其中，其中，其中u(t)u(t)为输入变为输入变为输入变为输入变量，量，量，量，y(t)y(t)为系统变量；令仿真时间间隔为为系统变量；令仿真时间间隔为为系统变量；令仿真时间间隔为为系统变量；令仿真时间间隔为h h，离，离，离，离散化后的输入变量为散化后的输入变量为散化后的输入变量为散化后的输入变量为 ，系统变量为，系统变量为，系统变量为，系统变量为 ，其，其，其，其中中中中 表示表示表示表示t=nht=nh。n n如果如果如果如果 ,且且即即即即 ,（对所有（对所有（对所有（对所有n=0,1,2,n=0,1,2,）,则可认为两模型等价。则可认为两模型等价。则可认为两模型等价。则
5、可认为两模型等价。第6页/共57页u(t)h y(t)-+图图2.1 2.1 相似原理相似原理原连续模型 仿真模型 相似原理相似原理 第7页/共57页对仿真建模方法三个基本要求对仿真建模方法三个基本要求 n n（1 1）稳定性稳定性稳定性稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。定的。定的。定的。n n（2 2）准确性准确性准确性准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：有不同的准确性评价准则，最
6、基本的准则是：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：绝对误差准则：绝对误差准则：绝对误差准则：绝对误差准则：相对误差准则：相对误差准则：相对误差准则：相对误差准则：其中其中其中其中 规定精度的误差量。规定精度的误差量。规定精度的误差量。规定精度的误差量。p（3）快速性快速性：若第：若第k步计算对应的系统时间间隔步计算对应的系统时间间隔为为 计算机由计算需要的时间为计算机由计算需要的时间为 ，若，若 Tn=hn 称为称为实时仿真实时仿真，Tn hn称为称为超实时仿超实时仿真真,Tn hn 称为称为亚实时仿真。亚实时仿真。第8页/共57页 系统仿真中最常用
7、、最基本的求解常微分方程数值解系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。的方法主要是数值积分法。设系统常微分方程为：设系统常微分方程为：（2-1）为包含有时间为包含有时间t和函数和函数y的表达式，的表达式，y0为函数为函数y在初在初始时刻始时刻t0时的对应初值。我们将求解方程（时的对应初值。我们将求解方程（2-1）中函数）中函数 的问题称为常微分方程数值求解问题。的问题称为常微分方程数值求解问题。2.2 数值积分法数值积分法 第9页/共57页1欧拉公式的推导 将（2-1）式在小区间上进行积分可得：其几何意义是把 在 区间内的曲边面积用矩形面积近似代替，如图2-1所示
8、。2.2.1 欧拉法欧拉法Euler第10页/共57页欧拉法欧拉法Euler当h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：称之为欧拉公式。p截断误差正比于截断误差正比于 第11页/共57页欧拉欧拉Euler公式：公式：p截断误差正比于截断误差正比于 第12页/共57页2.欧拉法具备以下特点：欧拉法具备以下特点：（1）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为折线法。折线法。（2）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推就可以求出后一点值，所以称为单步法。就可以求出后一点值，所以称为单步法
9、。（3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。不需要其它信息，因此它属于自启动模式。（4）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统的计算精度较低。的计算精度较低。欧拉法欧拉法Euler第13页/共57页 数数值值求求解解方方法法 欧拉法欧拉法 梯形法梯形法 龙格库塔法龙格库塔法RK2RK4p截断误差正比于截断误差正比于 第14页/共57页1梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图2-2所示。
10、依然对式（2-1）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：称为梯形积分公式。2.2.2 梯形法梯形法第15页/共57页梯形法梯形法第16页/共57页 从中可以看到，在计算 时，其右端函数中也含有 ，这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即梯形法的预报校正公式：梯形法梯形法第17页/共57页2.梯形法具备以下特点：梯形法具备以下特点：（1）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计算精度要高于欧拉法。算精度要高于欧拉法。（2）采用预报）采用预报校正公
11、式，每求一个校正公式，每求一个 ，计算量要比，计算量要比欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。（3）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。梯形法梯形法第18页/共57页 数数值值求求解解方方法法 欧拉法欧拉法 梯形法梯形法 龙格库塔法龙格库塔法RK2RK4截断误差正比于截断误差正比于 ，记为，记为 截断误差正比于截断误差正比于 ，记为，
12、记为 第19页/共57页欧拉欧拉Euler公式：公式：p截断误差正比于截断误差正比于 第20页/共57页梯形法公式梯形法公式p截断误差正比于截断误差正比于 第21页/共57页2.2.3 龙格库塔法龙格库塔法 1 龙格龙格-库塔法基本原理库塔法基本原理 对对 的数值求解：称作的数值求解：称作“右端函数右端函数”计算问题。计算问题。将将 在在 附近展开附近展开Taylor级数，只级数，只保留保留 项，则有：项，则有：若令：若令：则有则有 第22页/共57页 假设这个解可以写成如下形式：假设这个解可以写成如下形式：其中其中 对对 式右端的函数展成式右端的函数展成Taylor级级数，保留数，保留h项，
13、可得：项，可得：代入，则有：代入，则有：第23页/共57页龙格龙格-库塔法基本原理（续）库塔法基本原理（续）进行比较，可得：进行比较，可得：四个未知数四个未知数 但只但只有三个方程，因此有无穷多个解。有三个方程，因此有无穷多个解。若限定若限定 ，则，则 计算公式：计算公式：其中其中 第24页/共57页龙格龙格-库塔法基本原理库塔法基本原理（续）（续）若写成一般递推形式，即为：若写成一般递推形式，即为：其中其中n n截断误差正比于截断误差正比于h3，称为二阶龙，称为二阶龙格格-库塔法（简称库塔法（简称RK-2）。）。第25页/共57页二阶龙格二阶龙格-库塔公式库塔公式第26页/共57页四阶龙格库
14、塔公式：四阶龙格四阶龙格库塔（库塔（RungeKutta）法）法p截断误差正比于截断误差正比于 第27页/共57页（1）为单步法，并且可自启动。）为单步法，并且可自启动。（2）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。（3）仿真计算量与仿真步长）仿真计算量与仿真步长h的大小密切相关，的大小密切相关，h值越值越小计算精度越高，但所需仿真时间也就越长。小计算精度越高，但所需仿真时间也就越长。（4）用泰勒级数展开龙格库塔法计算公式时，只取）用泰勒级数展开龙格库塔法计算公式时，只取h的一次项，即为欧拉法计算公式；若取到的一次项，即为欧拉法计算公式；若取到h2
15、项，则为项，则为二阶龙格库塔法计算公式；若取到二阶龙格库塔法计算公式；若取到h4项，则为四阶项，则为四阶龙格库塔法计算公式。龙格库塔法计算公式。龙格库塔法特点龙格库塔法特点 第28页/共57页【例2.1】已知一阶系统的微分方程为：，初始条件 ，取仿真步长h=0.1，分别用欧拉法、梯形法和龙格库塔法计算该系统仿真第一步的值。解：原方程可变为:即 2.2.4 数值积分公式应用数值积分公式应用 第29页/共57页 （1）用欧拉法计算 根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该系统仿真第一步的值：数值积分公式应用数值积分公式应用 第30页/共57页（2）用梯形法计算：根据预报校正公式，将函数表
16、达式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。用预报公式求起始值：数值积分公式应用数值积分公式应用 第31页/共57页再用校正公式得到系统仿真第一步的值：数值积分公式应用数值积分公式应用 第32页/共57页二阶龙格二阶龙格-库塔公式库塔公式第33页/共57页（3）用二阶龙格库塔法计算 根据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值：数值积分公式应用数值积分公式应用 第34页/共57页则系统仿真第一步的值为：数值积分公式应用数值积分公式应用 第35页/共57页（4）用四阶龙格库塔公式计算根据公式先计算出4个系数，再计算仿真第一步的值：数值积分公式应用数值积分公式应用 第36页/共57页四阶龙格四阶龙
17、格库塔（库塔（RungeKutta）法）法第37页/共57页数值积分公式应用数值积分公式应用 第38页/共57页则系统仿真第一步的值为：数值积分公式应用数值积分公式应用 第39页/共57页从上述结果可以看出从上述结果可以看出:对对于于同同一一个个系系统统进进行行仿仿真真计计算算时时，其其值值的的精精度度是是随随着着数数值值积积分分公公式式的的变变化化而而改改变变的的，其其中中欧欧拉拉法法计计算算精精度度最最低低，其其次次为为梯梯形形法法和和二二阶阶龙龙格格库库塔塔法法，四四阶阶龙龙格格库塔法计算精度最高。库塔法计算精度最高。数值积分公式应用数值积分公式应用 第40页/共57页数值积分公式在状态
18、方程中应用数值积分公式在状态方程中应用 第41页/共57页2.3.1 仿真精度与系统稳定性仿真精度与系统稳定性1.仿真过程的误差（1）初始误差:现场采集数据不一定很准，会造成仿真过程中产生误差，称为初始误差。应对现场数据进行准确的检测，也可多次采集，以其平均值作为参考初始数据。（2）舍入误差:由于不同档次的计算机其计算结果的有效值不一致，导致仿真过程出现舍入误差。应选择挡次高的计算机，其字长越长，仿真数值结果尾数的舍入误差就越小。（3）截断误差:仿真步距确定后，数值积分公式的阶次将导致系统仿真时产生截断误差，阶次越高，截断误差越小。仿真时多采用四阶龙格库塔法，其截断误差较小。2.3 数值积分法
19、性能分析数值积分法性能分析 第42页/共57页2.仿真过程的稳定性仿真过程的稳定性 计算结果对系统仿真的计算误差反应不敏感，称之为算计算结果对系统仿真的计算误差反应不敏感，称之为算法稳定，否则称算法不稳定。对于不稳定的算法，误差会不法稳定，否则称算法不稳定。对于不稳定的算法，误差会不断积累，最终可能导致仿真计算达不到系统要求而失败。断积累，最终可能导致仿真计算达不到系统要求而失败。（1）系统的稳定性与仿真步长的关系）系统的稳定性与仿真步长的关系 一个数值解是否稳定，取决于该系统微分方程的特征根一个数值解是否稳定，取决于该系统微分方程的特征根是否满足稳定性要求，而不同的数值积分公式具有不同的稳是
20、否满足稳定性要求，而不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，在仿真时要保证稳定就要合理选择仿真步长，使微定区域，在仿真时要保证稳定就要合理选择仿真步长，使微分方程的解处于稳定区域之中。分方程的解处于稳定区域之中。数值积分法性能分析数值积分法性能分析 第43页/共57页（2）积分步长的选择）积分步长的选择 由于积分步长直接与系统的仿真精度和稳定性密由于积分步长直接与系统的仿真精度和稳定性密切相关，所以应合理地选择积分步长切相关，所以应合理地选择积分步长h的值。的值。通常遵循两个原则：通常遵循两个原则：使仿真系统的算法稳定。使仿真系统的算法稳定。使仿真系统具备一定的计算精度。使仿真系统具备一定的计算
21、精度。一般掌握的原则是：在保证计算稳定性及计算精一般掌握的原则是：在保证计算稳定性及计算精度的要求下，尽可能选较大的仿真步长。度的要求下，尽可能选较大的仿真步长。数值积分法性能分析数值积分法性能分析 第44页/共57页 由于工程系统的仿真处理采用四阶龙格由于工程系统的仿真处理采用四阶龙格库塔法居多，库塔法居多，所以选择仿真积分步长可参考以下公式：所以选择仿真积分步长可参考以下公式：时域内：时域内：；其中；其中ts 为系统过渡过程调节时间为系统过渡过程调节时间 频域内：频域内：；其中；其中 为系统的开环截止频率为系统的开环截止频率数值积分法性能分析数值积分法性能分析 第45页/共57页3.速度与
22、精度速度与精度 n n四阶方法的四阶方法的h可以比二阶方法的可以比二阶方法的h大大10倍，每步计算量仅比二阶方倍，每步计算量仅比二阶方法大一倍法大一倍n n 高于四阶的方法由于每步计算高于四阶的方法由于每步计算量将增加较多，而精度提高不快。量将增加较多，而精度提高不快。数值积分法性能分析数值积分法性能分析 第46页/共57页仿真步长与稳定性关系仿真步长与稳定性关系第47页/共57页第48页/共57页第49页/共57页2.4 稳定性分析稳定性分析 n n仿真方法选择的基本要求：仿真方法选择的基本要求：仿真仿真计算不改变原系统的绝对稳定性。计算不改变原系统的绝对稳定性。n n原系统是稳定的。观察欧
23、拉法仿原系统是稳定的。观察欧拉法仿真递推公式真递推公式n n故有故有 (i)yn(n=0,1,2,)为它的一个仿真解，为它的一个仿真解，第50页/共57页稳定性分析（续）稳定性分析（续）设设 为其准确解，即为其准确解，即 （ii）用用(ii)式减去式减去(i)式，可得：式，可得：即即特征方程为特征方程为第51页/共57页稳定性分析（续）稳定性分析（续）特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为显然，为了使扰动序列显然，为了使扰动序列显然，为了使扰动序列显然，为了使扰动序列 n n不随不随不随不随n n增加而增长，必须要求：增加而增长，必须要求：增加而增长，必须要求：增加而增长，必须要求：我们称它
24、所对应的域就是该算法的稳定域：我们称它所对应的域就是该算法的稳定域：我们称它所对应的域就是该算法的稳定域：我们称它所对应的域就是该算法的稳定域：h h 2 2 1/1/，即即即即h h小于等于系统时间常数的两倍。小于等于系统时间常数的两倍。小于等于系统时间常数的两倍。小于等于系统时间常数的两倍。第52页/共57页确定数值积分法稳定域的一般方法确定数值积分法稳定域的一般方法 测试方程：测试方程：测试方程：测试方程：数值积分公式数值积分公式数值积分公式数值积分公式 其中其中其中其中 是一个关于是一个关于是一个关于是一个关于 高阶多项式函数，高阶多项式函数，高阶多项式函数，高阶多项式函数，则只有当则
25、只有当则只有当则只有当 时，算法才稳定。时，算法才稳定。时，算法才稳定。时，算法才稳定。二阶二阶RKRK时：时：四阶四阶RKRK时：时：第53页/共57页2 25 5 数值积分方法选择的原则数值积分方法选择的原则数值积分方法选择的原则数值积分方法选择的原则1 1 计算精度计算精度计算精度计算精度n n截断误差：与算法的阶次和计算步长的选择有关。截断误差：与算法的阶次和计算步长的选择有关。截断误差：与算法的阶次和计算步长的选择有关。截断误差：与算法的阶次和计算步长的选择有关。步长相同时，阶次越高，截断误差越小；步长相同时，阶次越高，截断误差越小；步长相同时，阶次越高，截断误差越小；步长相同时，阶
26、次越高，截断误差越小；同一种算法下，步长越小，截断误差越小同一种算法下，步长越小，截断误差越小同一种算法下，步长越小，截断误差越小同一种算法下，步长越小，截断误差越小n n舍入误差：舍入误差：舍入误差：舍入误差：步长越小步长越小步长越小步长越小，舍入误差越大，舍入误差越大，舍入误差越大，舍入误差越大2.2.计算速度计算速度计算速度计算速度n n在确定的积分算法下，保证计算精度和稳定的条件下，尽量在确定的积分算法下，保证计算精度和稳定的条件下，尽量在确定的积分算法下，保证计算精度和稳定的条件下，尽量在确定的积分算法下，保证计算精度和稳定的条件下，尽量选用大步长，能减少积分次数选用大步长，能减少积
27、分次数选用大步长，能减少积分次数选用大步长，能减少积分次数3.3.计算稳定性计算稳定性计算稳定性计算稳定性n n 梯形法是绝对稳定的梯形法是绝对稳定的梯形法是绝对稳定的梯形法是绝对稳定的n n 其他算法条件稳定其他算法条件稳定其他算法条件稳定其他算法条件稳定第54页/共57页面向传递函数的面向传递函数的线性系统仿真框线性系统仿真框图图开 始输入开环传函分母、分子系数jica,求状态方程系数阵A,B,C,D输入初始时间0t、终止时间ft、计算步长h、输入幅值r求龙格 库塔法各次斜率4,3,2,1,=jKj求11,+kkyX输出数据、曲线1+=kkXXft到否？NY结 束 第55页/共57页面向结构面向结构图的线性图的线性系统的仿系统的仿真框图真框图第56页/共57页