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1、会计学1球坐标系下梯度计算球坐标系下梯度计算圆柱面半平面平 面如图，柱面坐标系中的体积元第1页/共25页然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先 z 次 r 后积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定例1解将 投到xoy 面得D第2页/共25页注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。例2第3页/共25页解关键在于定出 的变化范围 的范围容易定出z 呢？第4页/共25页注意到第5页/共25页二、在球坐标系下的计算法第6页/共25页规定球 面圆锥面半平面第7页/共25页如图，球面坐标系中的体积元素为然后把它化成对 的三次积分具体计算时需要将
2、 用球坐标系下的不等式组表示积分次序通常是第8页/共25页解一用球坐标第9页/共25页解二用柱坐标第10页/共25页解第11页/共25页注若 积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。第12页/共25页补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性“你对称，我奇偶”第13页/共25页关于 xoy 面对称关于 xoz 面对称第14页/共25页关于 yoz 面对称第15页/共25页三、小结三重积分换元法柱面坐标球面坐标（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算第16页/共25页思考题第17页/共25页练 习 题第18页/共25页第19页/共25页第20页/共25页第21页/共25页练习题答案第22页/共25页第23页/共25页第24页/共25页