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1、1第1页，共25页，编辑于2022年，星期三一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)2第2页，共25页，编辑于2022年，星期三在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数例例1.求由方程3第3页，共25页，编辑于2022年，星期三例例2 2解解:解得解得4第4页，共25页，编辑于2022年，星期三在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x
2、求导故切线方程为即例例3.求椭圆5第5页，共25页，编辑于2022年，星期三的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导例例4.求6第6页，共25页，编辑于2022年，星期三 1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:7第7页，共25页，编辑于2022年，星期三例如例如,两边取对数两边对 x 求导2)有些显函数用对数求导法求导很方便.8第8页，共25页，编辑于2022年，星期三对 x 求导两边取对数又如又如,9第9页，共25页，编辑于2022年，星期三若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成 x 是 y 的
3、函数)关系,二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数10第10页，共25页，编辑于2022年，星期三二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得若上述参数方程中11第11页，共25页，编辑于2022年，星期三?例例5.设,且求已知解解:练习练习:P112 题8(1)解解:注意注意:12第12页，共25页，编辑于2022年，星期三求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则例例6.抛射体运动轨迹的参数方程为13第13页，共25页，编辑于2022
4、年，星期三速度的水平分量垂直分量在刚发射(即 t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向抛射体轨迹的参数方程14第14页，共25页，编辑于2022年，星期三确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故例例7.设由方程15第15页，共25页，编辑于2022年，星期三 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率16第16页，共25页，编辑于2022年，星期三例例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为
5、500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则两边对 t 求导已知 h=500m 时,17第17页，共25页，编辑于2022年，星期三思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:对 t 求导已知求18第18页，共25页，编辑于2022年，星期三内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式4.
6、相关变化率19第19页，共25页，编辑于2022年，星期三思考与练习思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为20第20页，共25页，编辑于2022年，星期三求提示提示:分别用对数微分法求答案答案:2.设21第21页，共25页，编辑于2022年，星期三由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求3.设22第22页，共25页，编辑于2022年，星期三作业作业P111 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);23第23页，共25页，编辑于2022年，星期三求其反函数的导数.解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导备用题备用题1.设24第24页，共25页，编辑于2022年，星期三,求解解：方程组两边同时对 t 求导,得2.设25第25页，共25页，编辑于2022年，星期三