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1、长记忆时间序列模型及应用第1页，共50页，编辑于2022年，星期三主要内容主要内容nARMA模型的回顾；n长记忆的概念；n长记忆的检验方法；nARFIMA模型；n一些应用；第2页，共50页，编辑于2022年，星期三1.ARMA模型的回顾模型的回顾第3页，共50页，编辑于2022年，星期三时间序列研究的主要任务时间序列研究的主要任务n描述时间序列中的动态（Dynamic）关联性，用于理解其变化的规律或对其进行预测；n自相关性（autocorrelation）的刻画第4页，共50页，编辑于2022年，星期三ARMA模型的形式模型的形式nARMA(p,q)模型n其中 是白噪声 第5页，共50页，编辑
2、于2022年，星期三ARMA模型的平稳性条件模型的平稳性条件n如果 ，那么ARMA模型定义了唯一的二阶平稳解第6页，共50页，编辑于2022年，星期三ARMA模型的可逆性条件模型的可逆性条件n如果 ，那么ARMA模型能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归模型的形式第7页，共50页，编辑于2022年，星期三ARMA模型的自相关特征模型的自相关特征n任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数都是呈指数递减的，即n因此自相关函数绝对可和，第8页，共50页，编辑于2022年，星期三平稳过程的平稳过程的谱函数谱函数n谱密度函数是定义在 上的偶函数且满足n如果自协方差函数绝对可加，第9页，共50页，编辑于2022
3、年，星期三ARMA模型的谱密度函数模型的谱密度函数n于是第10页，共50页，编辑于2022年，星期三ARMA模型的估计模型的估计n条件极大似然估计；n极大似然估计；n最小二乘估计；第11页，共50页，编辑于2022年，星期三单位根过程单位根过程n如果如果 ，那么，那么 称为称为单位根单位根过程，此时为非平稳过程。过程，此时为非平稳过程。n比如如下的比如如下的I(1)过程：过程：第12页，共50页，编辑于2022年，星期三单位根的检验单位根的检验nAugmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said&Dickey 1981);nPhillips-Perron(PP)检验(Phi
4、llips&Perron 1988)；nPerron-Ng(PN)检验(Perron&Ng 1996)；nKwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检验(Kwitkowski et al.1992)；第13页，共50页，编辑于2022年，星期三上证指数日全距序列上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)第14页，共50页，编辑于2022年，星期三取对数之后的全距序列取对数之后的全距序列第15页，共50页，编辑于2022年，星期三单位根检验的结果单位根检验的结果RangelnRangeADF-t(10)-8.5557*-7.3599*AD
5、F-t(20)-5.8614*-5.4457*PP-t-30.9954*-27.875*PN-t-5.4938*-5.0333*KPSS3.9385*4.6528*第16页，共50页，编辑于2022年，星期三自相关函数图形自相关函数图形第17页，共50页，编辑于2022年，星期三估计的谱密度函数估计的谱密度函数第18页，共50页，编辑于2022年，星期三估计的估计的ARMA模型模型n经过模型选择阶数得到第19页，共50页，编辑于2022年，星期三ARMA(1,1)残差的残差的Box-Ljung检验检验StatStatp-Valuep-ValueQ(10)Q(10)31.455431.45540
6、.00030.0003Q(20)Q(20)43.570143.57010.00170.0017Q(50)Q(50)69.481869.48180.03550.0355Q(100)Q(100)138.1016138.10160.00700.0070第20页，共50页，编辑于2022年，星期三2.长记忆的概念长记忆的概念第21页，共50页，编辑于2022年，星期三基于自相关函数的定义基于自相关函数的定义n如果存在常数 ，使得n此时自相关函数不再绝对可和，第22页，共50页，编辑于2022年，星期三基于谱函数的定义基于谱函数的定义n如果存在常数 ，使得n基于自相关函数和基于谱函数的定义是等价的。第2
7、3页，共50页，编辑于2022年，星期三短程关联和长程关联短程关联和长程关联*n强相合过程（strong mixing）被称为短程关联（short range dependency）过程(Rosenblatt 1956);n不满足强相合性的过程称为长程关联（long range dependency）过程(Lo 1991,Guegan 2005)n长记忆过程属于这里的长程关联过程。第24页，共50页，编辑于2022年，星期三3.长记忆的检验长记忆的检验第25页，共50页，编辑于2022年，星期三重新标度极差统计量重新标度极差统计量n重新标度极差（rescaled-range）统计量n其中第26
8、页，共50页，编辑于2022年，星期三重新标度极差统计量的性质重新标度极差统计量的性质n对于短期关联过程，n对于长记忆过程，n其中 称为Hurst指数第27页，共50页，编辑于2022年，星期三R/S 分析分析n在 对 的散点图上，短期记忆过程的点应分布在斜率1/2的直线附件，长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2.n根据回归方法得到对Hurst指数的估计。第28页，共50页，编辑于2022年，星期三对对数全距序列的对对数全距序列的R/S分析分析对应的斜率估计对应的斜率估计为为0.8987，因此因此d 的估计为的估计为0.3987第29页，共50页，编辑于2022年，星期三R/S分析方法的不足
9、分析方法的不足nR/S分析方法其实对时间序列当中的短程记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情形超过1/2.（Davies&Harte,1987;Lo 1991）第30页，共50页，编辑于2022年，星期三修正的修正的R/S统计量统计量第31页，共50页，编辑于2022年，星期三修正的修正的R/S统计量的渐近分布统计量的渐近分布对于短期过程其中V是定义在0,1上的布朗桥的全距第32页，共50页，编辑于2022年，星期三对长记忆性的判断对长记忆性的判断n对于长记忆过程n因此利用该统计量可以对长记忆过程进行单边的检验。
10、第33页，共50页，编辑于2022年，星期三对数全距序列的修正的对数全距序列的修正的R/S分析分析V-statV-statp-Valuep-Valueq=14q=144.26724.26720.00000.0000Newey-West(1994)Newey-West(1994)6.60496.60490.00000.0000Andrew(1991)Andrew(1991)3.46533.46530.00000.0000第34页，共50页，编辑于2022年，星期三对对ARMA(1,1)残差的残差的R/S分析分析V-statV-statp-Valuep-Valueq=14q=142.47862.4
11、7860.00020.0002Newey-West(1994)Newey-West(1994)2.16612.16610.00300.0030Andrew(1991)Andrew(1991)2.20722.20720.00220.0022第35页，共50页，编辑于2022年，星期三4.ARFIMA模型模型第36页，共50页，编辑于2022年，星期三模型的形式模型的形式n分数次整合ARMA模型n或者n称之为I(d)过程，记为第37页，共50页，编辑于2022年，星期三分数次差分算子分数次差分算子n其中n当 时该过程可逆。第38页，共50页，编辑于2022年，星期三平稳解的存在性平稳解的存在性n当
12、 时，该过程存在着平稳解，能够写成n其中第39页，共50页，编辑于2022年，星期三平稳解的自相关函数特征平稳解的自相关函数特征n对于平稳的情况，自相关函数满足n显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律递减（Sowell 1992;Chung 1994)第40页，共50页，编辑于2022年，星期三平稳解谱密度函数的性质平稳解谱密度函数的性质n所以，第41页，共50页，编辑于2022年，星期三记忆参数记忆参数d取不同值时取不同值时n当 时对应的是二阶平稳的长记忆过程，谱密度函数在0点奇异；n当 时对应的过程称为反持续（anti-persistent）过程，谱密度函数在0点处等于0；n当 时
13、，对应的是短记忆ARMA过程,谱密度函数在0点处为正数；n当 时，对应的过程非平稳，方差无穷大，包含了单位根过程。第42页，共50页，编辑于2022年，星期三模拟分数次白噪声的数据模拟分数次白噪声的数据第43页，共50页，编辑于2022年，星期三ARFIMA模型的估计模型的估计n条件极大似然估计；n极大似然估计；n非线性最小二乘估计；nBaillie(1996)第44页，共50页，编辑于2022年，星期三对对数全距序列的估计对对数全距序列的估计第45页，共50页，编辑于2022年，星期三对残差的检验对残差的检验StatStatp-Valuep-ValueQ(10)Q(10)6.18146.18
14、140.79980.7998Q(20)Q(20)17.226517.22650.63820.6382Q(50)Q(50)45.451145.45110.65620.6562Q(100)Q(100)98.956398.95630.51070.5107q=14q=141.42521.42520.24520.2452Newey-West(1994)Newey-West(1994)1.41011.41010.26070.2607Andrew(1991)Andrew(1991)1.41471.41470.25590.2559第46页，共50页，编辑于2022年，星期三5.一些应用一些应用第47页，共50
15、页，编辑于2022年，星期三对宏观经济变量的实证研究对宏观经济变量的实证研究nBaillie&Bollerslev(1994):汇率nCrato&Rothman(1994),多个宏观变量；nDiebold&Rudebusch(1989):GNP;nDijk et al.(2000):失业率nHassler&Wolters(1995):CPI;nTsay（2000）实际利率；第48页，共50页，编辑于2022年，星期三总结与讨论总结与讨论n长记忆过程的特征与模型；n长记忆的波动率模型；n长记忆与结构变化；第49页，共50页，编辑于2022年，星期三一些文献一些文献nBaillie,R.T.,(1996),“Long memory processes and fractional integration in econometrics”,Journal of Econometrics,73,5-59.nBeran,J.(1994),Statistics for Long-Memory Processes.Chapman&Hall.第50页，共50页，编辑于2022年，星期三