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1、第第2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 v2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3R上节课内容复习上节课内容复习授课内容（三）授课内容（三）说明：三力平衡必汇说明：三力平衡必汇交当三力平行时，在交当三力平行时，在无限远处汇交，它是无限远处汇交，它是一种特殊情况。一种特殊情况。（1 1）对象明确，分离彻底。对象明确，分离彻底。根据问题的要求，研究对象可以是一个物体，根据问题的要求，研究对象可以是一个物体，或几个相联系的物体
2、组成的物体系统。或几个相联系的物体组成的物体系统。在明确研究对象之后，必须将其周围的约束全在明确研究对象之后，必须将其周围的约束全部解除，单独画出它的简单图形。部解除，单独画出它的简单图形。（2 2）力不能凭空产生，有力必有施力物体）力不能凭空产生，有力必有施力物体 物体受力分析的注意事项物体受力分析的注意事项（3 3）根据每个约束单独作用时，由该）根据每个约束单独作用时，由该 约束本身的特性确定约束的方向。约束本身的特性确定约束的方向。（4 4）不画内力，只画外力）不画内力，只画外力。（5 5）物体之间的相互作用力应满足作）物体之间的相互作用力应满足作 用与反作用定律。用与反作用定律。内力是
3、所取研究对象内部各物体间的相互作用力；外内力是所取研究对象内部各物体间的相互作用力；外力是研究对象以外的物体对研究对象的作用力。力是研究对象以外的物体对研究对象的作用力。第二章第二章 平面力系平面力系一、汇交力系的概念一、汇交力系的概念所有作用于物体上的力的作用线都交于一点。所有作用于物体上的力的作用线都交于一点。A A1 1F F1 1A A2 2F F2 2A A3 3F F3 3A An nF Fn nF F1 1F F2 2F F3 3F Fn nA A力的可传性力的可传性汇交力系汇交力系共点力系共点力系2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法二、力
4、三角形规则二、力三角形规则 公理一的引伸：公理一的引伸：共点力系共点力系共点力系可以通过力多边形法合成为一个合力。共点力系可以通过力多边形法合成为一个合力。公理一：力的平行四边形法则公理一：力的平行四边形法则三、汇交力系简化的几何法三、汇交力系简化的几何法四、汇交力系平衡的几何条件四、汇交力系平衡的几何条件推知：推知：若若共共点点力力系系（汇汇交交力力系系）的的力力力力多多多多边边边边形形形形自自自自行行行行封封封封闭闭闭闭，即即它它们们的的合力为零合力为零合力为零合力为零，则该力系平衡则该力系平衡则该力系平衡则该力系平衡。推理推理2 2：三力平衡汇交定理：三力平衡汇交定理F F3 3汇交力系
5、平衡的几何条件汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的几何条件 对对于于平平衡衡情情形形下下，显显然然有有力力系系的的合合力力为为零零，其其力力多多边边形形自自行行封封闭闭。故故平平面面汇汇交交力力系系平平衡衡的的必必要和充分条件是：该力系的合力等于零要和充分条件是：该力系的合力等于零。即。即其几何条件是力多边形自行封闭其几何条件是力多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件FCFDC CFCB BF FFAF FD DA AC CB BF F45O45OFCFA 一、力的投影一、力的投影规定：投影的指向与轴的正向相同时为正值，反之为负。规定：投影的
6、指向与轴的正向相同时为正值，反之为负。为力为力F与轴的正向的夹角。与轴的正向的夹角。2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 力在轴上的投影的大小等于力的模与力在轴上的投影的大小等于力的模与力和投影轴正向夹角的余弦的乘积。力和投影轴正向夹角的余弦的乘积。x xX=FcosX=Fcos 力的投影是代数量。力的投影是代数量。力的投影是代数量。力的投影是代数量。合力投影定理合力投影定理:合力的投影等于分力投影的代数和合力的投影等于分力投影的代数和 已知：图示平面共点力系；已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力。求：此力系的合力。解：用解析法解：用解析法三、平面汇
7、交力系的平衡方程三、平面汇交力系的平衡方程 由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力FR等于零，即 欲使上式成立，必须同时满足 于是，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两两个个独独立立方方程程，可可以以求求解解也只能求解两个求知数。也只能求解两个求知数。R=FR=Fi i=0=0平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程3 3 3 3个方程可求解个方程可求解个方程可求解个方程可求解 3 3 3 3个未知数个未知数个未知数个未知数 平面汇交力系时平面汇交力系时平衡方程为平衡方程为平衡方程为平衡方程为2 2 2 2个个个
8、个可求解可求解可求解可求解2 2 2 2个未知数个未知数个未知数个未知数如图所示如图所示,自重为自重为30KN30KN的压路碾子的压路碾子,半径为半径为0.8m,0.8m,碾子在作用于中心碾子在作用于中心O O处的水平力处的水平力F F作用下工作作用下工作,突然遇到一高突然遇到一高h=0.1mh=0.1m的障碍物的障碍物.不计不计各处的摩擦各处的摩擦,求求:欲将碾子拉过障碍物欲将碾子拉过障碍物,水平拉力至少要为多大水平拉力至少要为多大?RFhFPFN1FN2解解:(1):(1)以碾子为研究对象以碾子为研究对象,画出碾子的受力图画出碾子的受力图 (2)(2)建立坐标系建立坐标系,列平衡方程列平衡
9、方程 (3)(3)求解平衡方程求解平衡方程(F FA A=0)=0)xyA A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A60603030H HK K(c)(c)解：解：(1)(1)取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4)(4)解出：解出：N NA A=Pcos30=Pcos30=17.3kN=17.3kN，N NB B=Psin30=Psin30=10kN=10kN(2)(2)画出受力图。画出受力图。(3)(3)应用平衡条件画出应用平衡条件画出P
10、P、N NA A和和N NB B的闭合力三角形。的闭合力三角形。水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方向与梁的轴，方向与梁的轴线成线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定铰链支座所示，试求固定铰链支座A A 和活动和活动铰链支座铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选
11、择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。例例2-3已知：已知：活塞杆压力活塞杆压力=3kN,l=1500mm,h=200mm.忽略自重；忽略自重；求：平衡时，压块求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，对工件与地面的压力，AB杆杆受力。受力。DEABCllh解：解：AB、BC杆为二力杆。杆为二力杆。取销钉取销钉B。用解析法用解析法得得解得解得 选压块选压块C解得解得解得解得1.1.选择研究对象选择研究
12、对象与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，便于应用平衡条件由已知条件求未知力；便于应用平衡条件由已知条件求未知力；2.2.画受力图画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。3.3.建立坐标系建立坐标系最好选取有一轴与一个未知力垂直。最好选取有一轴与一个未知力垂直。4.4.列平衡方程解出未知量列平衡方程解出未知量要注意各力投影的正负号要注意各力投影的正负号如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反如果计算结
13、果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反解静力学平衡问题的一般方法和步骤解静力学平衡问题的一般方法和步骤 如图所示一构架由杆件如图所示一构架由杆件ABAB和和BCBC所组成。载荷所组成。载荷P P=20kN=20kN，不计滑轮，不计滑轮和杆件重量和摩擦，钢丝绳的另一端接在铰车和杆件重量和摩擦，钢丝绳的另一端接在铰车D D上上,转动转动铰车铰车,物体物体便能被提升便能被提升,求杆求杆ABAB、B BC C所受的所受的力。力。PFBAFBCF1F2xyFBAFABFBCFBC解解:(1)AB,BC:(1)AB,BC两杆为二力杆两杆为二力杆,受力如图受力如图以滑轮为研究对象以滑轮为研究对象,
14、画受力图画受力图 (2)(2)建立坐标系建立坐标系,列平衡方程列平衡方程 (3)(3)求解平衡方程求解平衡方程ABC 梯长梯长AB AB=l l，重，重P P=100N=100N，重心假设在中点，重心假设在中点C C，梯子的上，梯子的上端端A A靠在光滑的端上，下端靠在光滑的端上，下端B B放置在与水平面成放置在与水平面成4040角的光滑角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角及梯子和水平面的夹角。40ACBP例题例题 2-4 2-4 梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于D点。1.求约束力。解：
15、解：列平衡方程：联立求解，考虑到 =5，得FA=83.9 N，FB=130.5 NyxFAFBPACEBD4040角可由三力汇交的几何关系求出。已知C是AB中点，DE是平行四边形ADBE的对角线，所以C也是DE的中点。2.求角。由直角三角形BEC和BED，有yxFAFBPACEBD4040作业作业:2-3,2-5:2-3,2-5 车间用的悬臂式简易起重机可简化为如图所示的结构。AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。设已知电葫芦和提升重物P=5 kN,=25o，AD=a=2m,AB=l=2.5m。如吊车梁的自重可略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。ABCDP例题例题 2-5 2-5
16、 选择吊车梁为研究对象，在吊车梁上总共有三个不平行的力作用，根据三不平行力的平衡条件，可以肯定铰A的约束力FA必通过力P与FB 的交点O。解：ABDPOalFAFBABCDP解联立方程求得解联立方程求得FA=8.63 kN FB=9.46 kN 把三个力移到点把三个力移到点O，作直角坐，作直角坐标系，如图标系，如图 a 所示。列平衡方程：所示。列平衡方程：tantan j j=0.117=0.117式中角式中角可由图可由图 b 中的几何关系求得中的几何关系求得OxPFAFB（a）y(b)ABDPOalFAFB60o例例2-3 2-3 圆柱重圆柱重500500牛牛,搁在墙面与夹板间搁在墙面与夹板间,板与墙面包夹角为板与墙面包夹角为6060度度,若接触面若接触面是光滑的是光滑的,试分别求出圆柱给墙面和夹板的压力试分别求出圆柱给墙面和夹板的压力.解解:(1):(1)选圆柱为研究对象选圆柱为研究对象(2)(2)画受力图和力封闭三角形画受力图和力封闭三角形(3)(3)列方程列方程 (4)(4)圆柱给墙面和夹板的压力圆柱给墙面和夹板的压力 3030o o