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1、会计学1有限元四边形单元有限元四边形单元基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元位移场的表达 单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示从图可以看出，节点条件共有8个，即x方向4个，y方向4个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，即取以下多项式作为单元的位移场模式(4-52)第1页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元位移场的表达 单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示(4-53)(4-54)第2页/共23页基本概
2、念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元位移场的表达 单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示(4-55)第3页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元位移场的表达 单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示将式(4-54)写成矩阵形式，有(4-57)第4页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元3.单元应变场的表达单元应变场的表达 单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来
3、表示(4-58)(4-59)第5页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元3.单元应变场的表达单元应变场的表达 将式(4-59)写成子矩阵形式，有(4-60)(4-61)第6页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元4.单元应力场的表达单元应力场的表达 由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式(4-61)第7页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元5.单元势能的表达单元势能的表达(4-62)(4-63)第8页/共23页基本概
4、念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元6.4节点矩形单元的线性应变和应力节点矩形单元的线性应变和应力 由单元的位移表达式可知，4节点矩形单元的位移在x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界x=a和y=b上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比3节点常应变单元精度高。第9页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析
5、平面问题的 4节点矩形单元7.采用无量纲坐标采用无量纲坐标（自然坐标）（自然坐标）第10页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元7.采用无量纲坐标采用无量纲坐标（自然坐标）（自然坐标）第11页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元7.采用无量纲坐标采用无量纲坐标（自然坐标）（自然坐标）第12页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元8.基于基于4节点四边形单元的矩形薄板分析节点四边形单元的矩形薄板分析第13页/共23页基本概念基本概念连
6、续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较三角形单元与矩形单元计算精度的比较 第14页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较三角形单元与矩形单元计算精度的比较 第15页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元(1)建模方案建模方案1的有限元分析列式的有限元分析列式 第16页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元位移场、应变场及应力场的分布如
7、图所示(1)建模方案建模方案1的有限元分析列式的有限元分析列式 第17页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元(1)建模方案建模方案1的有限元分析列式的有限元分析列式(4-72)第18页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元(2)建模方案建模方案2的有限元分析列式的有限元分析列式 第19页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元(2)建模方案建模方案2的有限元分析列式的有限元分析列式 位移场、应变场及应力场的分布如图所示第20页/共23
8、页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元(2)建模方案建模方案2的有限元分析列式的有限元分析列式(4-77)第21页/共23页基本概念基本概念连续体结构有限元分析连续体结构有限元分析平面问题的 4节点矩形单元9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较三角形单元与矩形单元计算精度的比较 从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高，从式(4-72)与式(4-77)比较两种单元计算得到的系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角形单元高。第22页/共23页