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1、1.1.掌握窗函数的选择方法，了解常见窗函数性质掌握窗函数的选择方法，了解常见窗函数性质2.2.掌握离散傅里叶变换方法掌握离散傅里叶变换方法3.3.掌握快速傅里叶变换方法掌握快速傅里叶变换方法4.4.掌握数字滤波器的设计方法掌握数字滤波器的设计方法学学 习习 要要 求求 当运用计算机进行工程测试信号处理时，考虑到计算量的大小，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间段进行分析。这就需要从信号中截取一个时间段，然后对该时间信号段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号时信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。10.1 10.1 数字信号的截断及窗函数数字信号的截断
2、及窗函数信号的周期延拓信号的周期延拓 设余弦信号x(t)在时域分布为无限长(-,)，当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号，根据傅里叶变换关系，余弦信号的频谱X(w)是位于w处的函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(w)函数，按照频域积定理，则截断信号的谱应为x(t)x(f)余弦信号的截断及能量泄露现象常见窗函数（1）幂窗采用时间普量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其他进间的高次幂。（2）三角函数窗应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等。（3）指数窗采用指数时间函数，如 形式，例如高斯窗等。1.矩形窗 矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为相应
3、的窗谱为优点：主瓣比较集中缺点：旁瓣较高，并有负旁瓣2.三角窗 三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为：相应的窗谱为：相应的窗谱为：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。3.汉宁（Hanning）窗汉宁窗又称升余弦窗,其时域表达式相应的窗谱为：汉宁窗可以看作是3个矩形窗的频谱之和，从减小泄露观点出发，汉宁窗优于矩形窗，但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带加宽，频率分辨力下降。4.海明（Hamming）窗 海明窗也是余弦窗的种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表示式为：其窗谱为：海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到
4、更小。5.高斯窗高斯窗是一种指数窗，其时域函数为：式中，为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。值如果选取适当，可以使截断点（为有限值）处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低。高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。除了以上几种常用窗函数以外，尚有多窗函数，如帕仁（Parzen）窗、布莱克曼（Blackman）窗、凯塞（Kaiser）窗等。10.10.2 2 离散时间信号变换离散时间信号变换DFS（离散傅里叶级数）离散周期序列的傅里叶级数定义式为逆变换定义为逆变换定义为为离散周期序列；为离散周期序列；为周期序列的周期（一个周期中的点数）；为周
5、期序列的周期（一个周期中的点数）；为谐波的阶次；为谐波的阶次；为序列分量的序号。为序列分量的序号。DFT（离散傅里叶变换）对于一个周期序列 ，截取它的第一个周期的有限长序列称为这一周期序列的主值，用 表示。主值序列也可以理解为：周期序列和主值序列也可以理解为：周期序列和一个周期为一个周期为N N矩形序列相乘的结果，即矩形序列相乘的结果，即周期序列周期序列 可以看作是有限长序列可以看作是有限长序列周期延拓，其关系为周期延拓，其关系为相应地，主值序列相应地，主值序列 和和 的关系为的关系为这样，用有限序列这样，用有限序列 ，可以把无限长序列可以把无限长序列，表示出来。即表示出来。即DFT的主要性质
6、10.10.3 3 FFTFFT（快速傅里叶变换）（快速傅里叶变换）DFT直接计算的工作量直接计算的工作量提高DFT运算效率的思路1.利用 的对称性 来合并来合并DFTDFT运算中的对称量，使乘法次数减少一半。运算中的对称量，使乘法次数减少一半。2.利用利用 的周期性的周期性 结合对称性把一个大点数的结合对称性把一个大点数的DFTDFT分解成若干个小点数分解成若干个小点数DFTDFT的组合的组合进行运算，由于进行运算，由于DFTDFT的运算量与的运算量与 成正比，故可大大减少运算成正比，故可大大减少运算工作量。工作量。FFT算法算法原理将序列将序列 按奇偶分解成两个子序列按奇偶分解成两个子序列
7、（n为偶数的序列组）为偶数的序列组）（n为奇数的序列组）为奇数的序列组）则则分解=而于是上式中对于另外个点的DFT，则可表示成根据周期性和对称性则有即可得出FFT运算流程图-蝶形图中间小圆圈表示中间小圆圈表示 和和 的运算。的运算。设一个N=8的序列x(n)按奇偶点进行分解N=8序列的蝶形运算图N=2m的DFT运算情况FFT算法的几点说明1.用同一程序可作IFFT2.数据量N的选择原则3.FFT程序使用时的参数选择使用FFT算法的注意事项1.混叠2.泄漏3.频谱分辨率f10.10.4 4 数字滤波器数字滤波器数字滤波器：用有限精度算法实现的，能够对数 字信号滤波的离散时间线性非时变系统。滤波精
8、度高滤波精度高 稳定性好稳定性好 灵活性强灵活性强 可预见性好可预见性好广泛应用在相关检测、噪声抑制、数据压缩等领域。广泛应用在相关检测、噪声抑制、数据压缩等领域。数字滤波器的分类1.按数字滤波器的频率特性分类按数字滤波器的频率特性分类低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器2.按数字滤波器的单位冲击响应按数字滤波器的单位冲击响应h(n)的时间特性分类的时间特性分类有限冲激响应滤波器和无限冲激响应滤波器有限冲激响应滤波器和无限冲激响应滤波器3.按数字滤波器实现的方法分类按数字滤波器实现的方法分类有数字网络法和快速傅里叶变换（有数字网络法和快速
9、傅里叶变换（FFT）法）法IIR数字滤波器的设数字滤波器的设计计1.1.冲激响应不变法冲激响应不变法实际应用中需要考虑的问题1.滤波器的稳定性2.极间映射关系3.逼近程度例：已知模拟低通滤波器的传递函数为例：已知模拟低通滤波器的传递函数为试用脉冲响应不变法将其改造为一数字滤波器。试用脉冲响应不变法将其改造为一数字滤波器。解：解：T=1T=1时时而模拟低通滤波器的频率响应为而模拟低通滤波器的频率响应为2.2.双线性变换法双线性变换法 基本思路是让数字滤波器的输入输出与模拟基本思路是让数字滤波器的输入输出与模拟滤波器相仿，从而达到频率响应互相模仿。在滤波器相仿，从而达到频率响应互相模仿。在用双线性
10、变换法设计时，将用双线性变换法设计时，将H Ha a(s s)中的变量作中的变量作如下代换如下代换即可得到即可得到 。在应用中需要考虑的问题：1.稳定性2.映射关系3.存在非线性畸变FIR数字滤波器设计 与IIR数字滤波器相比，FIR数字滤波器主要有以下不同 线性相位特性 总是稳定的 能用FFT实现 计算量较IIR数字滤波器大得多1.线性相位条件可以证明如果h(n)为实数，且满足以下对称关系 式中，若 则h(n)表示的滤波器具有线性相位特性，=1称之为偶对称，=-1称之为奇对称上式的相频特性为上式的相频特性为2.窗口法用窗口法设计用窗口法设计FIR数字滤波器的基本步骤如下：数字滤波器的基本步骤
11、如下：1.1.计算计算FIR数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应h hd d(n n)2.选窗函数及窗口长度选窗函数及窗口长度3.截短截短得得4.3.频率抽样法设计步骤如下：设计步骤如下：1.1.给定理想特性频率给定理想特性频率 2.2.对对 进行等间距抽样得进行等间距抽样得3.由内插公式求出由内插公式求出4.由由 求出求出例例:用窗函数设计一个线性相位用窗函数设计一个线性相位FIR低通滤波器，低通滤波器，满足：通带边界频率满足：通带边界频率；阻带边界频率；阻带边界频率；阻带衰减不小于；阻带衰减不小于；通带波纹不大于；通带波纹不大于。解：解：MATLAB程序如下：程序如下：b=fi
12、r1(N,wn/pi,hanning(N+1)所设计的线性相位所设计的线性相位FIR滤波器的频率特性如滤波器的频率特性如下下图所示图所示习题1.试述混叠效应、栅栏效应、频谱泄漏产生的原因，试述混叠效应、栅栏效应、频谱泄漏产生的原因，讨论如何消除或削弱其影响？讨论如何消除或削弱其影响？2.某信号的最高频率为某信号的最高频率为1KHz，时间记录长度为，时间记录长度为10s，信号采样后用信号采样后用FFT分析，试问采样点数应去多少？分析，试问采样点数应去多少？3.计算有限长序列计算有限长序列的的DFT，假设长度为，假设长度为N。4.画出画出的的FFT蝶形运算图。蝶形运算图。5.用用FFT处理器来估算
13、实信号频谱，处理器来估算实信号频谱，要求为要求为间隔间隔（分辨率）（分辨率）；信号最高频率信号最高频率 ；点点数数N必须为必须为2的整数次幂，试确定最小记录长度的整数次幂，试确定最小记录长度 ；抽样间隔；抽样间隔T；抽样点数；抽样点数N。6.信号为信号为 ，试用，试用FFTFFT计计算其算其DFTDFT，并将结果进行，并将结果进行IFFT,IFFT,再将这一结果与原再将这一结果与原信号进行比较。信号进行比较。7.分别用冲激响应不变法和双线性变换法将分别用冲激响应不变法和双线性变换法将下下图所示的图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。低通滤波器转换成数字滤波器。RC低通滤波器低通滤波器8.设计一个数字低通滤波器，通带内幅频特性在设计一个数字低通滤波器，通带内幅频特性在低于低于 的频率衰减在的频率衰减在 内，阻带在内，阻带在 之之间的频率上衰减至少为间的频率上衰减至少为 。采用冲击响应不变。采用冲击响应不变法及双线性变换法，试确定模拟系统函数及其极法及双线性变换法，试确定模拟系统函数及其极点，请指出如何得到数字滤波器的系统函数。点，请指出如何得到数字滤波器的系统函数。（设抽样周期（设抽样周期T=1T=1）。）。