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1、会计学1无穷积分收敛的判别方法北工大无穷积分收敛的判别方法北工大定理1（柯西收敛准则）与有一、无穷积分的性质推论1 若无穷积分 收敛，则无穷积分 收敛第1页/共20页无穷积分也收敛。推论2 若无穷积分 收敛，则无穷积分 也收敛。推论3 无穷积分 收敛，定理2 若无穷积分 收敛,则无穷积分 也收敛,其中 是常数,第2页/共20页定理3 若无穷积分与都收敛，则无穷积分且无穷积分的分步积分与换元积分第3页/共20页定理4 设有c是正常数。收敛，则无穷积分1.若无穷积分二、无穷积分的敛散性判别法发散，则无穷积分2.若无穷积分也发散.也收敛.第4页/共20页证明1）根据定理1，有由不等式有无穷积分 收敛
2、.2）用反证法，根据1）可以得到矛盾。则无穷积分也收敛.第5页/共20页推论4函数且极限1.若则无穷积分收敛；则无穷积分发散。2.若（1）第6页/共20页证明1)由(1)式，有则当 时，无穷积分 收敛。则无穷积分 收敛。2）当 时，由(1)式，第7页/共20页有或已知无穷积分 发散，则发散。当由(1)式，有或已知无穷积分 发散，则发散。第8页/共20页例1判别无穷积分 的敛散性.例2判别无穷积分 的敛散性.例3判别无穷积分 的敛散性.例4判别无穷积分(是参数)的敛散性.第9页/共20页三.绝对收敛,条件收敛的定义定义1 若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛。定义2 若无穷积分收敛，而发散，则称
3、无穷积分条件收敛。第10页/共20页定理5（狄利克雷判别法）设函数 与 在区间 有定义，在任何有穷区间都可积，若)积分 为 的有界函数，即有）函数 是单调的，且则无穷积分 收敛第11页/共20页证明由柯西收敛准则和积分第二中值定理,由条件2),有与存在 有又因为 有界,有第12页/共20页则即无穷积分 收敛.第13页/共20页定理6（阿贝尔判别法）设函数 与 在区间有定义，在任何闭子区间都可积，若）函数 在 单调并且有界）无穷积分收敛则无穷积分 收敛第14页/共20页证明因为函数 在 单调且有界,所以它存在有穷极限,设则即函数 单调减少地趋于零.无穷积分也收敛.已知 收敛,即证.第15页/共20页例5证明：无穷积分 条件收敛例6讨论无穷积分 与的敛散性第16页/共20页注:1.对于级数 收敛对于无穷积分 收敛2.对于定积分,若 在a,b可积在a,b也可积反之不成立加上什么条件可以推出此结论?对于无穷积分,若 在 收敛在 也收敛.反之不成立.第17页/共20页总结:判断无穷积分收敛的方法1.利用定积分的计算方法,求出积分.2.用柯西收敛准则.3.用比较法.4.用狄利克雷和阿贝尔判别法.第18页/共20页练习1.讨论无穷积分的收敛性.第19页/共20页