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1、第2讲矢性函数第1页，此课件共39页哦主要内容主要内容l1.矢性函数的概念矢性函数的概念l2.矢端曲线矢端曲线l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式 教材：第教材：第1章，第章，第1节，第节，第2节节第2页，此课件共39页哦常矢常矢：矢量的模和方向都保持不变。：矢量的模和方向都保持不变。变矢变矢：模和方向或其中之一发生变化。：模和方向或其中之一发生变化。l1.矢性函数的概念矢性函数的概念l标量函数标量函数：标量：标量 随参量随参量 的变化。的变化。l矢量函数矢量函数：矢量：
2、矢量 随参量随参量 的变化。的变化。第3页，此课件共39页哦l1.矢性函数的概念矢性函数的概念矢矢性性函函数数：设设有有数数性性变变量量 和和变变矢矢 ，如如果果对对于于 在在某某个个范范围围 内内的的每每一一个个数数值值，都都有有一一个个确确定定的的矢矢量量和和它它对对应应，则则称称 为为数数性性变变量量 的的矢性函数矢性函数，记作：，记作：并称并称 为函数为函数 的定义域。的定义域。第4页，此课件共39页哦l1.矢性函数的概念矢性函数的概念l矢性函数的坐标函数分量也是矢性函数的坐标函数分量也是 的函数。的函数。第5页，此课件共39页哦l2.矢端曲线矢端曲线l自自由由矢矢量量：当当两两个个矢
3、矢量量的的模模和和方方向向相相同同时时，可可以以认认为为这两个矢量相等。这两个矢量相等。l矢端曲线：矢端曲线：矢矢量量 的的终终点点 随随参参量量 的的变变化化曲曲线线 称称为为矢矢性性函函数数 的的矢矢端端曲曲线线，也也称称为为矢矢性性函函数数的的图图形。形。第6页，此课件共39页哦l2.矢端曲线矢端曲线l矢量方程：矢量方程：l当定义随当定义随 增大的方向为增大的方向为 的走向，则矢端的走向，则矢端曲线曲线 为为有向曲线有向曲线。为矢性函数为矢性函数 的矢量方程。的矢量方程。第7页，此课件共39页哦l2.矢端曲线矢端曲线l参数方程：参数方程：l矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。矢性函数
4、与参数方程之间有一一对应的关系。l矢性函数矢性函数 对应矢端曲线对应矢端曲线 的参数方程。的参数方程。第8页，此课件共39页哦l2.矢端曲线矢端曲线l例：例：圆柱螺旋线的参数圆柱螺旋线的参数方程（方程（P3图图1-3）：）：l其矢量方程为：其矢量方程为：第9页，此课件共39页哦l2.矢端曲线矢端曲线l例：例：摆线的摆线的参数方程（参数方程（P3图图1-4）：）：l其矢量方程为：其矢量方程为：第10页，此课件共39页哦l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l定定义义：设设矢矢性性函函数数 在在点点 的的某某个个领领域域内内有有定定义义（但但在在 处处可可以以没没有有定定义义），为为一
5、一常常矢矢，若若对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ，都都存存在在一一个个正正数数 ，使当，使当 满足满足 时，有：时，有：成立，则称成立，则称 为矢性函数为矢性函数 当当 的极限，的极限，记作：记作：l矢性函数极限与数性函数完全类似。矢性函数极限与数性函数完全类似。第11页，此课件共39页哦l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l 为数性函数；为数性函数；，为矢性函数，为矢性函数，当当 均存在极限。均存在极限。l矢性函数极限的运算法则矢性函数极限的运算法则 第12页，此课件共39页哦l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。矢
6、性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。第13页，此课件共39页哦l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l连连续续性性定定义义：若若矢矢性性函函数数 在在点点 的的某某个个领领域内有定义，而且有：域内有定义，而且有：l矢性函数矢性函数 在在 处连续的充要条件是：处连续的充要条件是：都在都在 处连续。处连续。则称则称 在在 处连续。处连续。第14页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l矢性函数的增量：矢性函数的增量：为为 的增量，表示为：的增量，表示为：第15页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l导导数数的的定定义义：设设矢矢性性函函数数 在在点点
7、 的的某某一一领领域域内内有有定定义义，并并设设 也也在在这这个个领领域域之之内内，增量的比值为：增量的比值为：在在 时，其极限存在，则称此极限为时，其极限存在，则称此极限为 在在 处的导数（简称处的导数（简称导矢导矢），表示为：），表示为：第16页，此课件共39页哦l4.4.矢性函数的导数矢性函数的导数l导数的分量表示：导数的分量表示：在点在点 处可导。处可导。第17页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例1：圆柱螺旋线的矢量方程（圆柱螺旋线的矢量方程（P3P3图图1-31-3）：）：求导矢求导矢解：解：第18页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例2
8、：设设试证明：试证明：证：证：第19页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例2：设设试证明试证明证：证：第20页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例2：设设试证明试证明证：证：第21页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l 为为一一单单位位矢矢量量，其其矢矢端端曲曲线线为为一一单单位位圆圆，因此也叫做因此也叫做圆函数圆函数。l 亦亦为为一一单单位位矢矢量量，其其矢矢端端曲曲线线也也为为一单位圆。一单位圆。第22页，此课件共39页哦l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l 是在是在 的割线的割线 上的一个矢量。上的一个矢量。l 时时，其其 极
9、极 限限 为为 点的切线位置。点的切线位置。l导矢在几何上为一矢端曲线的导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量切向矢量，并始，并始终指向对应终指向对应 增大增大的方向。的方向。第23页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 微分的概念：微分的概念：设有矢性函数设有矢性函数 ，把，把称为称为 在在 处的处的微分。微分。l微微分分与与导导矢矢的的几几何何意意义义相相同同，为为矢矢量量矢矢端端曲曲线线的的切切线线。，与与导导矢矢的的方方向向一一致致；，与与导导矢矢的的方向相反。方向相反。第24页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 微分的计算表达式：微分的计算表达式：或
10、：或：矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。第25页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分解：解：l例例3：设设，求，求 及及 。第26页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 的几何意义：的几何意义：F 矢性函数矢性函数F 矢性函数矢性函数F 微分微分F 微分的模微分的模第27页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 的几何意义：的几何意义：弧长微分弧长微分即：即：矢矢性性函函数数微微分分的的模模，等等于于（其其矢矢端端曲曲线线的的）弧弧微微分分的的绝对值。绝对值。第28页，此课件共39页哦l5.
11、矢性函数的微分矢性函数的微分l 的几何意义：的几何意义：得到：得到：矢矢性性函函数数对对（其其矢矢端端曲曲线线的的）弧弧长长 的的导导数数在在几几何何上上为为一一切切向向单单位位矢矢量量，恒恒指指向向 增增大大的的方方向向。用用 表示表示。第29页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l矢端切线方向的矢端切线方向的方向余弦方向余弦第30页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l例例4：试证明试证明证：证：第31页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式l例例4：试证明试证
12、明第32页，此课件共39页哦l5.矢性函数的微分矢性函数的微分解：解：l例例5：求求圆圆柱柱螺螺旋旋线线 的的切切向单位矢量向单位矢量 。第33页，此课件共39页哦l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式l设设矢矢性性函函数数 及及数数性性函函数数 在在 的的某某个范围内可导，则以下公式成立：个范围内可导，则以下公式成立：（1 1）（为常矢量）为常矢量）（2 2）（4 4）（3 3）（为常数）为常数）第34页，此课件共39页哦l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式（5 5）（）（6 6）（7 7）复合函数求导：复合函数求导：第35页，此课件共39页哦l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用证明证明（5）：证：证：第36页，此课件共39页哦l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式证明（证明（5 5）：）：证：证：令令 两端取极限，得到：两端取极限，得到：第37页，此课件共39页哦l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式例：设例：设 三阶可导，证明三阶可导，证明（习题习题1第第5题题）证：证：第38页，此课件共39页哦Homework 1作业作业P19 习题习题1：1，2，3，4第39页，此课件共39页哦