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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A45B50C55D602复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则
2、实数( )A3BCD3已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( )ABCD4下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）；.A0B1C2D35已知复数z满足iz2+i，则z的共轭复数是（）A12iB1+2iC12iD1+2i6抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）ABCD7函数的单调递增区间是（ ）ABCD8已知,则 ()ABCD9空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A这20天中指数值的中位数略高于100B这20天中的中度污染及以上（指数
3、）的天数占C该市10月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好10在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）AB6C4D511百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字
4、，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）ABCD12已知实数满足，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数的定义域是_14已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则_15已知函数为偶函数，则_.16在中，角，的对边分别是，若，则的面积的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17
5、（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.（1）求证：；（2）设平面与交于点，求证：为的中点.18（12分）已知都是大于零的实数（1）证明；（2）若，证明19（12分）已知，求的最小值.20（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:，其中均为常数，为自然对数的底数现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值令，经计算得如下数据：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度
6、，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，21（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率分别为.若，求证：直线过定点；若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.22（10分）在中，角的对边分别为，
7、且，（1）求的值；（2）若求的面积参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据频率分布直方图中频率小矩形的高组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）200.30，样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题2、B【解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考
8、查学生的基本计算能力，是一道容易题.3、A【解析】由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.【详解】根据题意，所以点的坐标为，又 ，所以.故选：A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.4、C【解析】对于中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所
9、以不正确；对于中，设函数，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5、D【解析】两边同乘-i，化简即可得出答案【详解】iz2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为6、A【解析】设，利用点差法得到，所以直线的斜率为2，又过点，再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解：设，又，两式相减
10、得：，直线的斜率为2，又过点，直线的方程为：，即，故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系7、D【解析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.8、B【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【详解】，本题正
11、确选项：【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力9、C【解析】结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.【详解】对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.故选：【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识
12、对命题进行判断，本题较为基础.10、D【解析】由对数运算法则和等比数列的性质计算【详解】由题意故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则掌握等比数列的性质是解题关键11、A【解析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为.故选：A.【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.12、A【解析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用
13、基本不等式求最值.【详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.【详解】解：由题意得，解得，所以，故答案为：【点睛】此题考查函数定义域的求法，属于基础题.14、2【解析】利用二项展
14、开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值【详解】展开式通项为：且的展开式中的系数比的系数大，即：解得：（舍去）或本题正确结果：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15、【解析】根据偶函数的定义列方程，化简求得的值.【详解】由于为偶函数，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.16、【解析】化简得到，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案.【详解】，即，故.根据余弦定理：，即.当时等号成立，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦
15、定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）要做证明，只需证明平面即可；（2）易得平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到，从而获得证明【详解】证明：（1）因为平面，平面，所以.因为，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以. （2）因为平面与交于点，所以平面.因为分别为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推
16、理能力，是 一道容易题.18、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）两式相加得（2）由（1）知于是，【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.19、 【解析】讨论和的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值【详解】当时，它在上是减函数故函数的最小值为当时，函数的图象思维对称轴方程为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为综上，【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。20、（1）
17、模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.【解析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；（ii）把代入（i）中的回归方程可得值【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性解：（1），则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好 （2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即由于，所以关于的线性回归方程为， 所以，则（ii）下一年销售额需达到90亿元，即
18、，代入得，又，所以，所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性21、（1）；（2）证明见解析；【解析】（1）由题意焦距为2，设点，代入椭圆，解得，从而四边形的面积，由此能求出椭圆的标准方程（2）由题意，联立直线与椭圆的方程，得，推导出，由此猜想：直线过定点，从而能证明，三点共线，直线过定点由题意设，直线，代入椭圆标准方程：，得，推导出，由此
19、推导出（定值）【详解】（1）由题意焦距为2，可设点，代入椭圆，得，解得，四边形的面积，椭圆的标准方程为（2）由题意，联立直线与椭圆的方程，得，解得，从而，同理可得，猜想：直线过定点，下证之：，三点共线，直线过定点为定值，理由如下：由题意设，直线，代入椭圆标准方程：，得，（定值）【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题22、（1）3（2）78【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析：（1）在中，由，得为锐角，所以，所以， 所以. （2）在三角形中,由，所以， 由， 由正弦定理,得，所以的面积.