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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线：的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD
2、2已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、元）甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）ABCD3已知集合，ByN|yx1，xA，则AB（ ）A1，0，1，2，3B1，0，1，2C0，1，2Dx1x24已知实数，满足，则的最大值等于( )A2BC4D85如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ）ABCD6已知向量，若，则（ ）ABCD7已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A2B3C7D88如图，在正四棱柱中，分别为的中点，异面直线与所成角的余
3、弦值为，则( )A直线与直线异面，且B直线与直线共面，且C直线与直线异面，且D直线与直线共面，且9若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为坐标原点)，则k的值为()A B C或D和10已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为ABCD11羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，和名女生，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）ABCD12等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）A-2B2C4D7二、填空题：本题共
4、4小题，每小题5分，共20分。13已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率_.14已知是第二象限角，且，则_.15若，i为虚数单位，则正实数的值为_.16观察下列式子，根据上述规律，第个不等式应该为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数
5、101015105乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.18（12分）已知数列的前项和和通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，求数列的前项和.19（12分）已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求的最小值；（2）证明：.（3）设方程的实根为.令若存在，使得，证明：.20（12分）已知函数，,
6、使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有两个实根，且，求证：.21（12分）在四棱椎中，四边形为菱形，分别为，中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22（10分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】 由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且
7、都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)2、B【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，甲、乙两人所扣租车费用
8、相同的概率为故选：B【点睛】本题考查独立性事件的概率掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础3、A【解析】解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】集合xZ|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3故选：A【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.4、D【解析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值
9、，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5、C【解析】直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值【详解】设抛物线的准线为，直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，点B的横坐标为，点B的坐标为，把代入直线，解得，故选：C【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.6、A【解析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得，解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.7、C【解析】先确定集合中元素，可得非空子集个数
10、【详解】由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个故选：C【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个8、B【解析】连接，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接，由正方体的特征得，所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得，所以异面直线与所成角为.设，则，则，由余弦定理，得.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.9、C【解析】直线过定点，直线y
11、=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且POQ=120（其中O为原点），可以发现QOx的大小，求得结果【详解】如图，直线过定点（0，1），POQ=120OPQ=30，1=120，2=60，由对称性可知k=故选C【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题10、B【解析】直线的倾斜角为，易得设双曲线C的右焦点为E，可得中，则，所以双曲线C的离心率为.故选B11、B【解析】根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：将选中2名女生平均分为两组：将选中2
12、名男生平均分为两组：则选出的人分成两队混合双打的总数为：和分在一组的数目为所以所求的概率为故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.12、B【解析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为，则则故选：B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，从而可求得，得斜率
13、【详解】由得，即联立得解得或，故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法14、【解析】由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值.【详解】解：由是第二象限角，且，可得，由，可得，代入，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.15、【解析】利用复数模的运算性质，即可得答案【详解】由已知可得：，解得故答案为：【点睛】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题16、【解析】根据题意，依次分析不等
14、式的变化规律，综合可得答案【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，则有，对于第二个不等式，则有，对于第三个不等式，则有，依此类推：第个不等式为：，故答案为【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析，；小张应选择甲公司应聘.【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值（2）设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，以此类推可得：当时，当时，的值当时，的值，同理可得：当时，的所有可能取值可得的分布列及其数学期望依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数
15、学期望比较即可得出【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则 （2）设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，所以的分布列为228234240247254 依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，所以甲公司送餐员的日平均工资为元， 因为，所以小张应选择甲公司应聘【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18、（1）；（2）【解析】（1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项.（2）利用分组求和法可求
16、数列的前项和.【详解】（1）当时，所以，当时，所以，即，又因为，故，所以，所以是首项，公比为的等比数列，故.（2）由得：数列为等差数列，公差， .【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）由题意可得，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；（2）不等式转化为，令，利用导数得单调性即可得到答案；（3）由题意可得，
17、进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.【详解】（1），即，化简可得.令，因为，所以，.所以，在上单调递减，.所以的最小值为.（2）要证，即.两边同除以可得.设，则.在上，所以在上单调递减.在上，所以在上单调递增，所以.设，因为在上是减函数，所以.所以，即.（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证，由可知，即要证.当时，因而在上单调递增.当时，因而在上单调递减.因为，所以，要证.即要证.记，.因为，所以，则.设，当时，.时，故.且，故，因为，所以.因此，即在上单调递增.所以，即.故得证.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、函数恒
18、成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；（2）由为方程的两个实根，得出，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.【详解】（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.则在上单调递减，因为，当时，在内单调递减.，当时，由，有，此时，当时，单调递减，当时，单调递增，综上，所以. （2）由为方程的两个实根，得，两式相减，可得， 因此，令，由，得， 则，构造函数.则，所以函数在上单调递增，故，即， 可知，故
19、，命题得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明，得到平面，得到证明.（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以，又因为，所以，又，所以，又，所以平面，所以，又因为是菱形，所以，又，所以平面，所以.（2）由题意结合菱形的性质易知，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面
20、的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，平面与平面所成锐二面角的余弦值.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.22、（1）（2）见解析【解析】（1）设，求出后由二次函数知识得最小值，从而得，即得椭圆方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，设，利用三点共线，求得，然后验证即可【详解】解：（1）设，则，所以，因为所以当时，值最小，所以，解得，（舍负）所以，所以椭圆的方程为，（2）设直线的方程为，联立，得设，则，设，因为三点共线，又所以，解得而所以直线轴，即【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设，设直线方程，应用韦达定理，得出，再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形