陕西省延安市宝塔区第四中学2023届高三下学期联考数学试题含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()ABCD2已知,则的取值范围是()A0,1BC1,2D0,23已知双曲线的一条渐近线的倾斜角

2、为,且,则该双曲线的离心率为( )ABC2D44已知,则( )ABCD5函数且的图象是( )ABCD6如图,已知三棱锥中,平面平面,记二面角的平面角为,直线与平面所成角为,直线与平面所成角为,则( )ABCD7函数的大致图像为( )ABCD8把满足条件(1),(2),使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为( ) A1个B2个C3个D4个9已知为虚数单位,若复数,则ABCD10九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为( )A4B8CD11已知x,y满足不等式,且目标函数z9x+6y最大值的变化范围20,22,则t的取值范围

3、( )A2,4B4,6C5,8D6,712已知是虚数单位,若,则实数( )A或B-1或1C1D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知不等式组所表示的平面区域为,则区域的外接圆的面积为_14甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,有两人获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中“”表示猜测某人获奖,“”表示猜测某人未获奖,而“”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两名获奖者是_.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测乙的猜测丙的猜测丁的猜测15已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合,则双曲线的离心率为_16已知i为虚数单位,复数,则

4、_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列为公差为d的等差数列,且,依次成等比数列,.(1)求数列的前n项和;(2)若,求数列的前n项和为.18(12分)年,山东省高考将全面实行“选”的模式(即:语文、数学、外语为必考科目,剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试).为了了解学生对物理学科的喜好程度,某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示,男生喜欢物理的有人,不喜欢物理的有人;女生喜欢物理的有人,不喜欢物理的有人.(1)据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”;(2)为了了解学生对选科的认识,年级决定召开学生座

5、谈会.现从名男同学和名女同学(其中男女喜欢物理)中,选取名男同学和名女同学参加座谈会,记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为,求的分布列及期望.,其中.19(12分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.20(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的

6、平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望21(12分)在中,角,的对边分别为,已知(1)若,成等差数列,求的值;(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由22(10分)在四棱锥的底面是菱形, 底面, 分别是的中点, .()求证: ;()求直线与平面所成角的正弦值;(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有

7、一项是符合题目要求的。1、B【解析】先利用对称得,根据可得,由几何性质可得,即,从而解得渐近线方程.【详解】如图所示:由对称性可得:为的中点,且,所以,因为,所以,故而由几何性质可得,即,故渐近线方程为,故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出是解题的关键,属于中档题.2、D【解析】设,可得,构造()22,结合,可得,根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设,则,()22|224,所以可得:,配方可得,所以,又 则0,2故选:D【点睛】本题考查了向量的运算综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.3、A【解析】由倾斜角的余弦值

8、,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题4、C【解析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.5、B【解析】先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.【详解】由题可知定义域为,是偶函数,关于轴对称,排除C,D.又,在必有零点,排除A.故选:B.【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中

9、档题.6、A【解析】作于,于,分析可得,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.【详解】作于,于.因为平面平面,平面.故,故平面.故二面角为.又直线与平面所成角为,因为,故.故,当且仅当重合时取等号.又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.故.故选:A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.7、D【解析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为,当时,排除B和C;当时,排除A.故选:D.【点睛】本题考查图象的判断,取特殊值排除选项

10、是基本手段,属中档题.8、B【解析】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,分别对所给函数进行验证.【详解】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,不满足(2);不满足(1);不满足(2);均满足(1)(2).故选:B.【点睛】本题考查新定义函数的问题,涉及到函数的性质,考查学生逻辑推理与分析能力,是一道容易题.9、B【解析】因为,所以,故选B10、B【解析】由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱

11、柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故选:B【点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.11、B【解析】作出可行域,对t进行分类讨论分析目标函数的最大值,即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图AOB当t2时,可行域即为如图中的OAM,此时目标函数z9x+6y 在A(2,0)取得最大值Z18不符合题意t2时可知目标函数Z9x+6y在的交点()处取得最大值,此时Zt+16由题意可得,20t+1622解可得4t6故选:B【点睛】此题考查线性规划,根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取

12、值范围,涉及分类讨论思想,关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.12、B【解析】由题意得,然后求解即可【详解】,.又,.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】先作可行域,根据解三角形得外接圆半径,最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域,如图中阴影部分所示,易知,故 ,又,设的外接圆的半径为,则由正弦定理得,即,故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的

13、距离、可行域面积、可行域外接圆等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14、乙、丁【解析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况,然后对四种情况依次进行分析,观察四人所猜测的结果是否冲突,最后即可得出结果.【详解】从表中可知,若甲猜测正确,则乙,丙,丁猜测错误,与题意不符,故甲猜测错误;若乙猜测正确,则依题意丙猜测无法确定正误,丁猜测错误;若丙猜测正确,则丁猜测错误;综上只有乙,丙猜测不矛盾,依题意乙,丙猜测是正确的,从而得出乙,丁获奖.所以本题答案为乙、丁.【点睛】本题是一个简单的合情推理题,能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”

14、将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键,考查推理能力,是简单题.15、【解析】双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,可得一条渐近线的斜率为1,即,即可求出双曲线的离心率【详解】解:双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,一条渐近线的斜率为1,即,故答案为:【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,确定一条渐近线的斜率为1是关键,属于基础题16、【解析】先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.【详解】故答案为:.【点睛】本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:

15、共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差,从而求出,再利用等比数列的前项和公式即可求解. (2)由(1)求出,再利用裂项求和法即可求解.【详解】(1),且,依次成等比数列,即:,;(2),.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法,需熟记公式,属于基础题.18、(1)有的把握认为喜欢物理与性别有关;(2)分布列见解析,.【解析】(1)根据题目所给信息,列出列联表,计算的观测值,对照临界值表可得出结论;(2)设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人,女同学有人,则,确定的所有

16、取值为、根据计数原理计算出每个所对应的概率,列出分布列计算期望即可【详解】(1)根据所给条件得列联表如下:男女合计喜欢物理不喜欢物理合计,所以有的把握认为喜欢物理与性别有关;(2)设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人,女同学有人,则,由题意可知,的所有可能取值为、,.所以的分布列为:所以.【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列离散型随机变量的期望属于中等题19、(1),;(2);(3)不能,证明见解析【解析】(1)求出,结合导数的几何意义即可求解;(2)构造,则原题等价于对任意恒成立,即时,利用导数求最值即可,值得注意的是,可以通过代特殊值,由求出的范围,再研究该范围下单调

17、性;(3)构造并进行求导,研究单调性,结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1),曲线在点处的切线方程为,解得.(2)记,整理得,由题知,对任意恒成立,对任意恒成立,即时,解得,当时,对任意,即在单调递增,此时,实数的取值范围为.(3)关于的方程不可能有三个不同的实根,以下给出证明:记,则关于的方程有三个不同的实根,等价于函数有三个零点,当时,记,则,在单调递增,即,在单调递增,至多有一个零点;当时,记,则,在单调递增,即在单调递增,至多有一个零点,则至多有两个单调区间,至多有两个零点.因此,不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数

18、研究函数单调性以及函数的零点存在性定理,考查了转化与化归的数学思想,属于难题.20、(1)(2)22.5(3)见解析,【解析】(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;(3)求出各种情况对应的的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望【详解】解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率;(2)第1次消费利润;第2次消费利润;第3次消费利润;第4次消费利润;这4次消费获得的平均利润:(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是,概率是;3次消费利润是,概率是;4次消费利润是,概率是;由题意:故分布列为: 0 期望为: 【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列

19、和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题21、见解析【解析】(1)因为,成等差数列,所以,由余弦定理可得,因为,所以,即,所以(2)若B为直角,则,由及正弦定理可得,所以,即,上式两边同时平方,可得,所以(*)又,所以,所以,与(*)矛盾,所以不存在满足为直角22、()见解析; (); ()见解析.【解析】()由题意结合几何关系可证得平面,据此证明题中的结论即可;()建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量与平面的一个法向量,然后求解线面角的正弦值即可;()假设满足题意的点存在,设,由直线与的方向向量得到关于的方程,解方程即可确定点F的位置.【详解】()由菱形的性质可得:,结合三角形中位线的性质可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,()由题意结合菱形的性质易知,以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:,设平面的一个法向量为,则:,据此可得平面的一个法向量为,而,设直线与平面所成角为,则.()由题意可得:,假设满足题意的点存在,设,据此可得:,即:,从而点F的坐标为,据此可得:,,结合题意有:,解得:.故点F为中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理,线面角的向量求法,立体几何中的探索性问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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