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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，集合，则（）ABCD2已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，则的大小关系为（）ABCD3已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）ABCD4设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）
2、AB2CD5已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）ABCD6由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD7函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）A2，0B2， C2， D2， 8已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ）ABCD9是虚数单位，则（ ）A1B2CD10已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）ABCD11一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共
3、取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ）A17种B27种C37种D47种12已知等差数列的前项和为，则（ ）A25B32C35D40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有_种选派方法.14在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：存在两点，使；存在两点，使与直线都成的角；若，则四面体的体积一定是定值；若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是_.
4、15已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则_.16已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，当面积最大时，直线的方程为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知数列满足,，数列满足.（）求证数列是等比数列；（）求数列的前项和.18（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于
5、开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，19（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.20（12分）已知函数.（）求的值；（）若，且，求的值.21（12分）如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为梯形，为中点.（1）证明
6、：；（2）求二面角的余弦值.22（10分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.（1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【
7、解析】可求出集合，然后进行并集的运算即可【详解】解：，；故选【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算2、A【解析】根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数 图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减 时，单调递增又且 ，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.3、B【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，再建立不等式求出的范围
8、，进而求得的范围.【详解】解： 令，解得对称轴，又函数在区间恰有个极值点，只需 解得故选：【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.4、A【解析】由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率【详解】由题意，由双曲线定义得，从而得，在中，由余弦定理得，化简得故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式5、C【解析】，
9、将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.6、A【解析】先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.7、D【解析】由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖
10、掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果8、C【解析】将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.【详解】已知圆，所以其标准方程为：，所以圆心为.因为双曲线，所以其渐近线方程为，又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9、C【解析】由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.10、A【解析】分析：首先需要去分析交换
11、后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多
12、少，利用期望公式求得结果.11、C【解析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.12、C【解析】设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，即有故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，
13、共20分。13、24【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，若甲乙两名护士到同一地的种数有，则甲乙两名护士不到同一地的种数有.故答案为：.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.14、【解析】对于中，当点与点重合，与点重合时，可判断正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定正确.【详解】对于中，当点与点重合，与点重合时，所以正确
14、；对于中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以不正确；对于中，设平面两条对角线交点为，可得平面，平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，所以四面体的体积一定是定值，所以正确；对于中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以正确.故答案为：. 【点睛】本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影
15、的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.15、【解析】根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得到，再利用组合数公式求解.【详解】因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，即 ，所以，即 ，解得.故答案为：10【点睛】本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16、【解析】根据均值不等式得到，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程.【详解】由椭圆，可知，（当且仅当，等号成立），直线的倾斜角为，直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说
16、明、证明过程或演算步骤。17、（）见证明；（）【解析】（）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列（）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.【详解】解：（）当时，故.当时，则 ，数列是首项为，公比为的等比数列.（）由（）得， ， ，.【点睛】（）证明数列是等比数列可利用定义法 得出（）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列18、（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.【解析】（1）根据散点图的特点，可得更适合；（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.【详解】（1）选取更适宜作烧水时间关
17、于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；（2）由公式可得：，所以所求回归直线方程为：；（3）根据题意，设，则煤气用量，当且仅当时，等号成立，即时，煤气用量最小.【点睛】此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.19、（1）（）；（2）证明见解析.【解析】（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.【详解】（1）设，由已知，（），化简得点的轨迹的方程为：（）；（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意故可设直线的方程为：（），代入
18、的方程得：.设，则，.直线：.令，得.直线过轴上的定点.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.20、（）；（）.【解析】（）直接代入再由诱导公式计算可得；（）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得【详解】解：（）；（）因为所以，由得，又因为，故，所以，所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题21、（1）见解析；（2）【解析】(1)取的中点，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；(2)以，为，轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法
19、向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；【详解】（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，为平行四边形，所以，又因为，所以；（2）由题及（1）易知，两两垂直，所以以，为，轴建立空间直角坐标系,则，易知面的法向量为设面的法向量为则可得所以,如图可知二面角为锐角，所以余弦值为【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.22、（1）元；（2）32家；（3）分布列见解析；【解析】（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；（2）求出的频率即可；（3）中的个数的所有可能取值为，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【详解】（1）频率分布直方图销售额的平均值为千元，所以销售额的平均值为元；（2）不低于元的有家（3）销售额在的店铺有家，销售额在的店铺有家.选取两家，设销售额在的有家.则的所有可能取值为，.，所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.