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1、信阳师范学院本科毕业论文专 业 数学与应用数学 年 级 姓 名 论文题目 数学分析中的极限问题 指导教师 职称 * 年 *月 * 日目 录摘 要1关键词1Abstract1Key words.1引言11.综述21.1极限的产生与发展21.2极限问题的类型32.常见的极限求解方法32.1简单求极限的方法32.2利用两个重要极限公式求极限42.3利用洛必达法则求极限52.4利用极限的四则运算法则求极限62.5利用等价无穷小替换求极限62.6利用定积分求极限72.7利用泰勒公式求极限82.8两边夹法则求极限92.9利用单侧极限求极限102. 10利用中值定理求极限11小结12参考文献13数学分析中的
2、极限问题 学生姓名：* 学号：* 数学与计算机科学系 数学与应用数学专业 指导教师：* 职称：* 摘 要：极限是数学分析这门学科的基础，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，贯穿整个数学分析的始末. 本文主要是对数学分析中的极限的产生与发展，以及常见极限的若干常规解法进行了讨论和研究. 本文的重点在第二章，具体介绍了运用四则运算法则、两个重要极限、两边夹法则、等价无穷小替换等方法求解极限. 关键词：四则运算法则；洛比达法则；泰勒公式；两边夹法则. Abstract: Limit is the basis of mathematical analysis of the subject
3、, through the of though with the tools of limit, make the content more rigorous mathematical analysis, through the mathematical analysis of events. This article is mainly to limit the emergence and development of mathematical analysis, as well as the common limit of conventional method are disscusse
4、d and studied. In the second chapther, the focus of this article, using the laws of arthmetic are analysised in detail, two important limits,between law and equivalent infinitesimal substitution method to solve the limit.Key words: four arithmetic operations; the derivation rule; Taylor formula; bot
5、h sides grip rule.引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量. 因此，极限具有由此达彼的重大创新作用. 同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终. 极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学. 同时，考研数学中也少不了有关于极限的题目.极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越
6、重要的作用. 因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题. 求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法.众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握. 本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用. 1.综述1.1极限的产生与发展 早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的天下篇中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽. 我国三国时期的大数学家刘徽（约22
7、5年295年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽计算了圆内接正3072边形的面积和周长，从而推得.在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹才算到同样精确度的小数.这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光辉.刘徽的割圆术不仅仅是先导，而且是一面旗帜，为研究复杂的逼近数列打开了先河.16世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展. 17世纪，牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分. 随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围.在这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格
8、的极限定义就显得十分迫切需要. 经过近百年的争论，直到19世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念. 德国著名数学家维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义，描述了无限的过程，刻画了极限，对于数列如果找到一个实数，无论预先指定多么小的正数，都能够在数列中找到一项，使得这一项后面的所有项与的差的绝对值都小于，就把这个实数叫做数列的极限.1.2极限问题的类型数列极限定义 设为实数数列，为定数，任意，总存在正整数,使得当时，有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限. 不等式刻画了与的无限接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明与可以接近到任何程度. 然而，尽管有其任意性，
9、但一经给出正整数就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出，又既是任意小的正数，那么, 的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不定式中的可用, 的平方等来代替. 同时，正由于是任意小正数，我们可限定小于一个确定的正数.函数极限定义 设函数在点的某一去心邻域有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记作.2.常见的极限求解方法 数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，本章将介绍几种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点，因为这些常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握.我们罗
10、列出一些常用的求法.2.1简单求极限的方法我们知道，在同一趋近过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；有界量乘以无穷小量等于无穷小量；有限个（相同类型）无穷小量之和 、差、积仍为无穷小量，以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限.例1 求极限.解 当时，分母的极限为0，而分子的极限不为0，可以先求出所给函数的倒数的极限 ,利用无穷小量的倒数是无穷大量，故 .例2 求极限.解 运用极限运算的四则运算法则，有，因为,当时，为无穷小量，为有界量，所以,故.2.2利用两个重要极限公式求极限我们所熟悉的两个重要极限是(i)则,(ii)则,其中，第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“”型.利用重要极限求函
11、数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形，有时会利用到归结原则.例3 求极限解 .例4 求极限.解 ，当时，有,而由归结原则（取）有,于是，由数列极限的迫敛性得.2.3利用洛必达法则求极限 定理1 若函数与满足 (i) (ii) 在点的某空心邻域内两者都可导，且； (iii) （可为实数，也可为或）,则 .例5 求极限.解 利用,得 . 应用洛必达法则计算待定型极限需要注意的问题(1)审查计算的极限是不是待定型，如果不是待定型就不能运用洛必达法则，因为它不满足洛必达法则的条件.(2)除计算“”或者
12、“”两种待定型外，计算其它五种待定型都要用对数或代数运算将它们化为待定型“”或者“”,然后再应用洛比达法则.(3)在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出.(4)要特别注意，一般来说，应用洛必达法则计算待定型极限都比较简单.但是对少数的待定型极限应用洛比达法则，并不简单.2.4利用极限的四则运算法则求极限 定理2（极限的四则运算法则） 若，则 (i) ， (ii)， (iii)若，则,综上所述，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.例6 求极限.解 =.2.5利用等价无穷小替换求极限 以下是当时常用的等价无穷小关系等价无穷小代换法 设
13、都是同一极限过程中的无穷小量，且有 存在，则 也存在，且有.例7 求极限.解 因为 ，故 .例8 求极限解 有等价无穷小关系 2.6利用定积分求极限由于定积分是积分和的极限，因此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成.例9 求极限.解 .可取函数，上述和式恰好是,在上等分的积分和，所以2.7利用泰勒公式求极限常用泰勒公式展开 例10 求极限.解 利用泰勒公式，当时,，于是 .例11 求极限.解 应用泰勒公式，将函数，展开到项，有将它们代入上式，整理，得.2.8两边夹法则求极限当极限不易求出时，可考虑将所求极限变量，做适当的放大或缩小，是放大或缩小的新变量，易于求极限，且二者的极限值
14、相等，则原极限存在，切等于此公共值.例11 求极限.解 因为是对取整，则,当时，, 当时，, 故.例12 设求极限解 当分子时，有 ,因此，当时，, 所以.2.9利用单侧极限求极限可以用单侧极限求解的问题类型如下 (1) 求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于0的极限;(2) 求含取整函数的函数极限;(3) 分段函数在分段点处的极限;(4) 含偶次方根的函数以及的函数，趋向无穷的极限. 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在.例13 设函数 ,求在的极限.解 由于,故,从而.2.
15、10利用中值定理求极限拉格朗日(Lagrange）中值定理 若函数满足如下条件(i) 在闭区间上连续 ；(ii) 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 .例14 求函数极限 . 解 因为 ,所以 积分中值定理 若在上连续，则至少存在一点，使得.例15 求极限 为某实数.解 由积分中值定理，得，因为为介于与之间的某值，则 或 ，而，由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性得.定理（推广的积分第一中值定理） 若函数与在上连续，且在上不变号，则至少有一点，使得 .例16 求函数极限.解 由题 均在上连续，且不变号，由推广的积分第一中值定理 .小结 以上所求极限的方法各有条件、各具特色,因此各
16、种类型所采用的技巧方法都不尽相同,我们必须根据其条件来判断极限的类型,进而根据类型来找到解决问题的方法.当然,有些题目有可能可以用多种方法来解决,此时,我们不可以死搬硬套,要从繁琐中找复杂,在复杂中找简单,而关于如何做到这一点,就必须在做题中不断总结、摸索、领悟各种方法的精髓,才能熟练而有灵活的掌握与运用各种求极限的方法. 参考文献1 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南.M.北京：北京大学出版社，2003.2 郝涌，李学志，陶有德. 数学分析选讲.M.北京：国防工业出版社，2010.3 同济大学应用数学系. 高等数学.M.北京：高等教育出版社，1996.4 刘玉琏，杨奎元，刘伟，吕风. 数学分
17、析讲义学习辅导书.M.北京：高等教 育出版社，2003.5 孙清华，孙昊 数学分析内容、方法与技巧.M华中科技大学出版社， 2003.6 华东师范大学数学系. 数学分析上册第三版.M.高等教育出版社，2001.7 钱吉林. 数学分析解题精粹.M.武汉：崇文书局,2003.8 梁昌洪. 话说极限.M.北京：高等教育出版社，2009.1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研
18、制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪
19、开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪
20、的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动
21、控制系统设计 42. Pico专用单片机核的可测性设计研究 43. 基于MCS-51单片机的热量计 44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站 45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机
22、控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无
23、功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模
24、糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用
25、91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用 93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发 94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计 96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发 97. 锅炉的单片机控制系统 98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计 99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制 100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现 101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计 1
26、02. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制 104. 基于ADC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计 106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究 107. 单片机实现的寻呼机编码器 108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究 109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究 111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制 112. PIC单片机在空调中的应用 113. 单片机控
27、制力矩加载控制系统的研究 项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！单片机论文，毕业设计，毕业论文，单片机设计，硕士论文，研究生论文，单片机研究论文，单片机设计论文，优秀毕业论文，毕业论文设计，毕业过关论文，毕业设计，毕业设计说明，毕业论文，单片机论文，基于单片机论文，毕业论文终稿，毕业论文初稿，本文档支持完整下载，支持任意编辑！本文档全网独一无二，放心使用，下载这篇文档，定会成功！14