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1、 辽宁科技大学本科生毕业论文 第34页扩展结构大系统的鲁棒控制研究摘 要近年来随着科学技术的发展，互联系统的鲁棒分散控制问题已越来越受到各国学者的广泛关注，取得了丰富的研究成果。这些成果已成功地应用到交通系统、航空航天系统、国民经济管理系统及电力网系统等互联大系统领域中。本文研究基于LMI的鲁棒分散控制在扩展结构大系统中的应用，主要考虑了扩展结构系统的鲁棒分散关联镇定问题，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式(LMI)方法，给出了扩展结构大系统的鲁棒关联镇定的条件，在不改变原系统结构分散控制律的基础上，来设计新加入子系统的分散控制律，使新加入的子系统以及整个扩展后的大系统都能被镇定。
2、文中应用MATLAB仿真软件对扩展结构系统的鲁棒关联镇定问题进行了仿真研究，验证了算法的有效性，且表明系统具有较强的鲁棒性。关键词：线性矩阵不等式(LMI)；扩展结构系统；鲁棒关联镇定；MATLAB仿真Expansion of the structure of robust control for large-scale systems researchAbstractIn recent years, with the development of science and technology, the control problems of robust decentralized abou
3、t the Internet are becoming subject to a wide range of scholars concerned and have reached a wealth of research results. These research results have been successfully applied to transport systems, aerospace systems, economic management system and power grid system the field of large-scale systems su
4、ch as the Internet. This theism studies control structure in the expansion of large systems of robust LMI-based. In this theism, we consider the expansion of the structure of the system of stabilization and robust stabilization problem, taking advantage of Lyapunov stability theory and linear matrix
5、 inequalities (LMI) approach,given the expansion of the structure of large-scale systems can be calm and calm conditions for robust link in the original system does not change the structure of decentralized control law based to design the new control law subsystems decentralized, so that new sub-sys
6、tem as a whole expanded large-scale systems can be both calm. The theism use MATLAB simulation software and the application of the robust expansion of the structure of the system stabilization problem to associate simulation and certificate the efficiency of algorithm and prove that the system has a
7、 stronger robust.Key words: linear matrix inequalities (LMI); the expansion of structural systems; robust stabilization association; MATLAB simulation目录摘要IAbstractII1 绪论11.1引言11.2 选择课题的目的及意义42 线性矩阵不等式(LMI)52.1 线性矩阵不等式一般形式52.2 LMI工具箱简介73 LMI算法应用113.1基于LMI算法的有机结构控制113.2 LMI编程中的拆分矩阵法154 扩展结构系统的建模与设计204
8、.1 一类扩展结构大系统的数学描述204.2 一类扩展结构大系统的鲁棒分散关联镇定225 鲁棒关联镇定算例及仿真26结论29致谢30参考文献31附录 程序清单331 绪论近年来随着科学技术的发展，大系统或称关联系统、组合系统越来越多地出现在各种应用工程中，如电力网系统，交通系统，经济系统，生物工程系统，社会系统，生态系统等。本文的研究基于LMI鲁棒分散控制在多区域互联大系统中的应用。1.1引言众所周知，随着现代科技的迅速发展，大型工程技术的需求，人们提出了大系统的模型，它最初面临的问题是克服与其相应的数学模型维数日益增大和复杂带来的困难。人们最初对大系统概念的认识，是把一个系统分解成相互联结的
9、子系统，若能由子系统的性质组合得到整个系统的性质时，就把这个系统视为大系统。然而什么叫大系统，至今还没有一个公认的严格定义。但是大系统具有一些比较明显的特性：规模庞大、结构复杂、功能综合、因素众多等。对于大系统，集中控制将会使得整个控制系统信息变换异常复杂，通讯费用也将十分昂贵，因而使得集中控制大系统变得非常不切实际。正因为如此，分散控制便于上世纪70年代应运而生，它把一个大系统分解为若干个子系统，对某一子系统的输入输出回路来讲，将其他子系统与该子系统的互联项视为可测干扰对此回路的影响，这样，在充分考虑各个子系统之间互联部分的影响后，对每个子系统单独设计控制器。该控制器只能使用来自子系统自身的
10、状态和信息，而不使用来自其他子系统的状态和信息。这样做是由于大系统维数高，要分析和控制这样的系统所需的计算量将随之剧增，因此将它分解为各个子系统进行控制有利于计算的简化；大系统分布面广，使系统内信息传递受到地理条件的限制，这种在信息上的结构约束也使得集中控制难以实现；分散控制对于互联部分的各种结构化和非结构化的扰动本身具有一定的鲁棒性；分散控制不需在各个子系统间传递信息，使得子系统具有相对的自治性，所以分散控制策略在处理大系统的控制问题时是非常有效的，它不但解决了集中控制难以解决的问题，还可以提高系统的可靠性和容错性，减少系统的投资。对于互联系统来讲，将一个高维大系统分解为若干个维数较低的子系
11、统是分散控制的先决条件。如果按照实际子系统的物理边界来划分，那么这种分解可以得到子系统之间相互作用的重要信息，但同时也带来了计算上的低效率。为了计算方便，人们已经研究了许多不受子系统物理边界约束的分解方法。如嵌套的e分解，系统的包含原理及平衡BBD分解等。近年来，包含原理引起了很多大系统领域的研究者的关注。它已成功地应用到大系统的模型降阶、分散自动发电控制、互联电力系统的特殊重叠结构分解中以及多区域重叠互联电力系统的重叠分散控制中。系统的结构分解解决了复杂系统的分解问题，这只是问题的一个方面。更重要的是对其实施控制，使系统能够稳定、可靠的运行。因此控制的稳定性就成了首要问题。我们知道分散控制对
12、子系统互联部分的各种扰动来说，本身就具有鲁棒性，也就是说分散控制的子系统对其局部的输入输出来说是稳定的。但是这种局部稳定的子系统并不能保证总的互联系统稳定性，因此当沿着子系统边界运行时，系统可能会出现不稳定。这主要是由于互联部分的不确定性造成的。这就提到了分散控制问题的另一个性能指标，系统的鲁棒性。所谓的鲁棒性是指系统具有较大的稳定裕度和很好抗干扰性能。我们在设计控制率时要综合考虑系统的稳定性和鲁棒性等各指标的要求。近年来，鲁棒控制方法已引起了学者们的广泛关注。针对系统参数的不确定性，文1同时考虑了小参数不确定性，给出了一种适合于所有可允许的参数不确定的控制器设计方法，即把鲁棒控制方法和自适应
13、控制方法结合起来。鲁棒控制方法用来处理小参数的不确定性，而自适应控制方法则用来处理大参数的不确定性。文2,3给出了负载频率控制（Load Freqency control,即LFC）的鲁棒设计方法，它们分别采用了奇异值分解SVD和Riccati稳定理论结合的技术，匹配条件和Lyapunov稳定性理论结合的技术，并对两区域互联电力系统进行了仿真研究。文4把鲁棒控制问题转换成最优控制问题。如果满足一定的匹配条件，最优控制问题的解就是鲁棒控制问题的解。文5基于Q-参数理论提出了可用于电力系统自动发电控制的鲁棒控制器设计方法。在Q-参数化方法中，电力系统的所有镇定控制器都带有Q-参数，通过选择这个自由
14、参数来满足鲁棒稳定性和其它设计要求。针对系统中不确定的结构扰动，Siljak提出了互联大系统关联稳定的概念，并对该问题进行了深入的研究，且又在此基础上提出了有机结构控制方法6-8。有机结构控制方法是一种以LMI算法为工具的鲁棒控制方法。它是将子系统间的互联项当作结构扰动处理，根据Lyapunov理论和Schur补定理将鲁棒控制问题转化成几个线性矩阵不等式，通过求解这些线性矩阵不等式就可以得到控制器的反馈阵和允许的最大扰动。这种方法的主要特点是计算简单，而且在控制器的设计中很容易加入其它设计要求，诸如增益矩阵的结构和大小，来保证控制器的可实现性。通过此方法设计的控制器可以保证系统在结构扰动下（某
15、些子系统脱离了大系统或又重新连接上）仍是稳定，即保证系统的关联稳定性。文9将此控制方法应用到电力系统当中，并对系统进行了仿真研究。考虑到系统中有些状态可能不可测，文10又给出了带有观测器的自主分散控制方法。以H技术和LMI方法作为工具，应用于互联系统的鲁棒控制研究是有意义的。在这方面，已取得了一定的研究成果。H控制问题可以表述为：寻找内稳定的控制器使由扰动到误差信号的传递函数的无穷范数趋于极小。H控制有两种控制规律：输出反馈和状态反馈。它的求解方法有很多，包括Riccati方法和LMI方法等。前一种方法需要对可变参数进行选择，只有选取了合适的参数才能得到方程的解，而参数的选择又没有好的办法，因
16、此这种方法有一定的盲目性。而LMI方法无需对参数进行调整，因而具有数值易解性，是目前求解H控制器的一种比较好的方法。文11将最优H控制思想应用于电力系统。文12借用LMI针对一类互联双线性随机时滞、时变和参数不确定的电力系统，重点分析了系统鲁棒稳定性和分散鲁棒镇定问题。文13介绍一种适合于多区域互联电力系统的AGC设计方法，即分散的H输出反馈控制器的设计方法。它的基本思路为将多区域互联电力系统分解为两两互联子系统，利用包含原理扩展系统，在扩展空间中根据LMI算法14设计分散鲁棒的H控制器，然后收缩并应用于原系统。文15中作者首先利用包含原理的约束条件对系统进行重叠结构分解，而后利用基于LMI算
17、法的H控制，实现了以两两区域互联子系统控制为基础的多区域系统分散控制器的设计。结果表明系统的鲁棒性明显提高，并具有令人满意的动态性能。文16基于随机包含原理，给出了几种特殊的重叠分解方法，基于此研究了两区域互联电力系统的分散LQG控制问题。它的研究主要致力于重叠结构分解方法中分解因子的选择与分散LQG控制性能之间的关系。文17在给出分散的H控制器设计方法基础上，提出了一种比较新颖的鲁棒设计方法，这种设计方法更加实用。它的主要特点是应用遗传算法对受到LMI约束的比例积分控制器的参数进行寻优。此外LMI方法还应用在线性不确定时滞系统的鲁棒控制、不确定性系统滤波、变结构控制和模糊控制等方面。由于现代
18、计算机技术、人工智能微电子学等科学的高速发展，人工智能技术逐渐成为人们的研究热点。智能控制主要包括模糊控制、人工神经网以及专家系统等。相对于经典控制理论和现代控制理论来说,此种控制方法无须知道被控对象(或生产过程)的数学模型。模糊控制是根据经验控制行为，遵循反馈及反馈控制思想，总结成一系列条件语句，即控制规则，运用微机的程序来实现这些控制规则。而电力系统本身是一个含有众多约束条件的非线性系统,难以用精确的某个数学模型来描述，并且在已进行的AGC控制中积累了大量的数据和经验，将这些数据和经验量化为控制手段时，模糊控制是一个比较好的选择。在这方面已经取得了一定的研究成果。文18利用神经网络辨识电力
19、系统的动态模型，并将模型逻辑技术与神经网络相结合、通过动态寻优确定最优性能指标下的PID控制器参数，具体设计了一种两区域负荷频率的神经模糊自适应PID控制器。使两区域负荷频率控制既有非线性控制作用和自学习自适应能力，又有PID控制的广泛适用性。针对电网大的负荷变化对自动发电控制的影响，文19利用人工神经网络研究互联电力系统的自动发电控制，将BP算法用作ANN学习规则。这种方法在人工智能技术迅速发展的今天，也是重叠电力系统分散控制的可行方法之一。综上所述，在互联大系统的设计中，鲁棒分散控制占有重要地位。如何利用LMI算法，结合分散控制思想，为系统设计鲁棒分散控制器，使整个系统镇定，同时在个别子系
20、统断开或加入大系统后，如何保持整个系统的控制性能不受影响，这些对大系统的分散控制都是十分关键的问题。目前，虽然对于此类问题已经有一些研究，但是仍然不够系统和深入。同时，由于互联系统的广泛存在，使得这些研究具有重要的理论价值及实际指导意义。基于此，在这篇文章中我们以互联大系统为例对这些问题进行了仿真研究。1.2 选择课题的目的及意义本文主要研究扩展结构大系统的鲁棒控制设计，主要考虑了扩展结构系统的鲁棒分散关联镇定问题，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式(LMI)方法，给出了扩展结构大系统的鲁棒关联镇定的条件，在不改变原系统结构分散控制律的基础上，来设计新加入子系统的分散控制律，使新加
21、入的子系统以及整个扩展后的大系统都能被镇定。具体内容如下：第二章主要阐述了线性矩阵不等式的一般形式和LMI工具箱的介绍，第三章介绍了LMI算法在有机结构控制中的应用和LMI中的拆分矩阵法，第四章研究了扩展结构系统的建模与设计，第五章用MATLAB仿真软件对扩展结构系统的鲁棒关联镇定问题进行了仿真研究。本研究课题具有重要的实际意义，可以间接的带来明显的经济效益和社会效益，这方面的研究成果可以广泛的用于城市交通控制、大型电力系统以及国民经济计划管理等大系统领域。2 线性矩阵不等式(LMI) 随着控制技术的发展，当今在反馈控制系统的设计中，常常需要考虑系统的不确定性，还要考虑系统的鲁棒性。在处理不确
22、定性系统的鲁棒控制问题及其控制理论中引起的其它控制问题时，都可转化成一种称为线性矩阵不等式LMI(linear matrix inequation)或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题。LMI 方法以其高效的求解算法和能获得全局最优解的特点，已引起控制界的关注，为鲁棒控制分析与设计的重要方法。下面主要介绍线性矩阵不等式的一些基本概念和MATLAB中的LMI工具箱。 2.1 线性矩阵不等式一般形式随着控制技术的发展，系统鲁棒性能的分析和综合问题受到了人们的广泛重视和研究，并取得了一系列的研究成果和方法。特别地，随着线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了
23、有效工具。MATLAB软件中线性矩阵不等式工具箱的推出使得各种线性矩阵不等式问题的求解更加方便、直接，从而，进一步推动了线性矩阵不等式处理方法在系统和控制领域中的应用，成为鲁棒控制分析与设计的重要方法。下面首先就线性矩阵不等式问题作简单的介绍。在控制工程中，许多控制问题尤其是鲁棒控制问题，都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题的求解。线性矩阵不等式一般形式如下： (2.1)其中是变量，是已知的实对称阵。实际应用时，通常遇到的LMI并不呈现式(2.1)的形式，其中变量不是向量而是一个(或多个)实矩阵，但它可以等价地转化成式(2.1)的形式。例如，对于以下矩阵不等
24、式 (2.2)其中，矩阵变量,A，B，C为适当维数的已知实矩阵,B为对称阵。将X按矩阵空间的简单基展开,即，为X的一个元素，则式(2.2)可以写成LMI的标准形如式(2.1)所表示的，即 (2.3)在具体问题上常常直接采用LMI的紧凑形式，如式(2.2)。在控制理论中，经常遇到的两种矩阵不等式为a、李亚普诺夫（Lyapunov）不等式 ， (2.4)b、黎卡提（Riccati）不等式 (2.5)显然，式(2.4)是线性矩阵不等式，式(2.5)由于含二次项，故此式是二次矩阵不等式而不是线性矩阵不等式，但利用下面schur补引理，可容易将其变成线性矩阵不等式，即 (2.6)LMI的基本变换引理如下
25、：schur补引理20：对给定的对称矩阵,其中是维的。以下三个条件是等价的： () (2.7)() (2.8) () (2.9)利用该引理可以将一些非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式。S过程(Sprocedure) 21：设是实对称阵，要求它们之间满足以下关系：对于 (2.10)有 (2.11)通常很难确定以上关系成立的解析条件。但如果引入以下充分条件，则以上关系成立，即若存在标量，使以下LMI (2.12)成立。显然式(2.12)是一个LMI可行解问题。在控制系统的鲁棒分析和鲁棒综合中，我们常常要用Sprocedure来将一些不是凸约束的问题转化成线性矩阵不等式约束。对线性矩阵不等式的求解
26、一般可以归纳为以下三类问题。1. 可行性问题寻找一个(或等价的：具有给定结构的矩阵)，使得满足线性矩阵不等式系统 (2.13)2. 具有线性矩阵不等式约束的一个目标函数的最小化问题 (2.14)3. 具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题 满足于 (2.15)在控制理论中，大多数控制问题都可以转化成上述三种矩阵不等式问题中的一种，从而使问题得到解决。2.2 LMI工具箱简介在60年代，已经提出了线性矩阵不等式，但由于求解形如式(2.13)(2.15)所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在实际中未得到广泛应用。近几年来，由于线性矩阵不等式的理论不断
27、完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等式的求解变得很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件,其中以美国MathsWorks.Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行；到目前为止，已相继推出了几个版本，其中在MATLAB5.1、MATLAB5.3、MATLAB6.5等版本中，增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。线性矩阵不等式工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的凸最优化问题的解，同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式
28、的集成环境。由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面，因此可以开发自己的应用程序。这里我们只介绍工具箱中几个重要函数。1. setlmis( )：初始化新的LMI系统。2. lmivar(type, struct)：增加新的矩阵变量X到当前的LMI系统中。其中，type（类型）：根据变量X的不同类型设置（13），1表示矩阵变量X为对称块对角阵，2表示矩阵变量X为满秩阵，3表示矩阵变量X为其它；struct（结构）：若type=1, 则struct的第 i行描述X的第i个块对角阵，其中struct (i,1)代表块的大小，struct (i, 2)代表块的性质，如果是尺度块t*I，则struct
29、(i, 2)取0，如果是满块，则取1，如果是0块，则取-1。若type=2，假如X是MN矩阵，则struct=M,N。若type=3，则struct是一个与X同维的矩阵，其中，struct(i, j)取值为：当X(i, j)=0时，struct(i, j) =0，当X(i, j)为第n 个待求变量时，struct(i, j) =+n，当X(i, j)为第n 个待求变量乘上（-1）时，struct(i, j) = -n。3. lmiterm（termID, A, B, flag）：给当前描述的LMI系统中的某个LMI增加一项。其中，termID为4输入向量，用来指定项的位置和性质。对于termI
30、D(1) ：若该项位于第n个LMI的左边，则termID(1)=+n，若该项位于第n个LMI的右边，则termID(1)= -n。对于termID(2: 3) ：若该项属于LMI的第（i, j）块，则termID(2: 3)=i, j，若该项属于外部因子，则termID(2: 3)=0 0。对于termID(4) ：若该项属于常数项，则termID(4)=0，若该项属于变量项A*X*B，则termID(4)=m，若该项属于变量项A*XT*B：termID(4)=-m，其中，m 为由函数lmivar返回的变量X的标识。A可以是外部因子，常数项或者变量项A*X*B或A*XT*B的左系数，B是变量项
31、A*X*B或A*XT*B的右系数。Flag：设置flag=s，在一个lmiterm函数内快捷定义表达式A*X*B+BT*XT*AT。4. LMIs=getlmis：如果系统已经用lmivar和lmiterm进行了完整描述，则返回这个LMI系统的内部描述LMIs。内部描述LMIs能够直接传递到求解工具或者其它LMI-Lab函数中去。5. tmin,xfeas=feasp (LMIs, options, target)：求解LMI系统定义的线性矩阵不等式约束条件问题的可行解。如果问题是可解的，则输出xfeas将是待求向量的一个可解值。给定L(X) R(X)的可解性问题，解决凸优化过程：对：L(X)
32、 R(X) +t*I求：minimize t。如果LMI系统可解，则极小化值tmin将是负的。feasp在每次迭代过程中给出t的当前最佳值。LMIs：LMI约束的描述；options（选择项）：控制参数的5输入向量。Target（选择项）：tmin的目标值（缺省值=100）。一旦tTarget，则代码终止。tmin：终止时的t。而且仅当LMI系统是可解的，tmin0。xfeas：相应的极小化值，如果tmin0, xfeas将是LMI约束的一个可行向量。使用dec2mat可以从xfeas取出相应的矩阵变量的值。6. copt ,xopt=mincx (LMIs ,c ,options ,xini
33、t，Target)：针对约束L(X)R(X)，极小化cTX.。其中，X是待求变量。LMIs：LMI约束的系统描述；c：与X同维的向量；options（选择项）：控制参数的5输入向量；xinit（选择项）：X的初始值。Target（选择项）：目标值，一旦可行的X找到，即：cTXTarget，中断迭代；copt：目标cTX的极小化值；xopt：待求变量X的极小化值。使用dec2mat可以从xopt取出相应的矩阵变量的值。7. tmin,xopt = gevp(LMIs,nlfc,options,t0,x0,target)：求解广义特征值最小化问题。对LMI约束C(x) 0，0 Bj(x)以及Aj(
34、x) 0必须很好限定，涉及t的LMIs必须最后限定。LMIs：LMI约束的系统描述；nlfc：涉及t的LMIs的数目；options（选择项）：控制参数的5输入向量；t0，x0（选择项）：t，x的初始值；target（选择项）：tmin的目标值，只要t小于这个值，则代码终止；tmin：t的最小值；xopt：待求变量x的极小化值。使用dec2mat可以从xopt取出相应的矩阵变量的值。这里用一个例子说明如何建立LMI。例题 求满足PI的对称矩阵P，使得 其中：，此问题应用LMI工具箱中有关函数编程如下：A1=-1 2;1 -3； %常数矩阵A2=-0.8 1.5;1.3 -2.7；A3=-1.4
35、 0.9;0.7 -2.0；na=size(A, 2)； %矩阵A的列数setlmis() %建立一个新的LMIP=lmivar(1,na,1) %定义矩阵变量P=PT，其维数为nalmiterm(1 1 1 P,1,A1,s) %LMI A1TP+PA1 #1lmiterm(2 1 1 P,1,A2,s) %LMI A2TP+PA2 #2lmiterm(3 1 1 P,1,A3,s) %LMI A3TP+PA3 #3 lmiterm(-4 1 1 P,1,1) %LMI P #4lmiterm(4 1 1 0,1) %LMI I lmis=getlmis tmin,xfeas=feasp(l
36、mis) %计算可行性向量：xfeaspp=dec2mat(lmis,xfeas,P) %返回相应的矩阵变量在求解后，矩阵变量P如下：P=上述的计算结果表明，可找到一个对称的矩阵使线性矩阵不等式PI 成立，同时满足前面提到的三个条件。3 LMI算法应用3.1基于LMI算法的有机结构控制互联大系统的有机结构控制实质上是这样一个问题：对于一个具有多个子系统的互联大系统，在它运行期间受到了不确定的结构扰动，即某些子系统暂时脱离了大系统，在这种结构扰动下，如何确定各子系统的自主分散控制律，使整个大系统保持稳定运行。在这个问题中，由于将整个大系统看成是一个有机体，因此把对它的结构扰动的控制以及对整个系统
37、的镇定称为大系统的有机结构控制。它包含三层基本含义：一是系统的关联稳定性问题，即当子系统脱离大系统时，大系统仍能保持是稳定的，这是有机结构控制最基本的含义。在这一层中，有机结构控制实质上就是如何来设计系统的自主分散控制律，使系统能够在突然的结构重构后仍能保持系统是稳定的。它的第二层意思是考虑控制器投入与切除时系统的关联稳定问题。从控制的可靠性出发，我们可以对一个系统设计多个控制器，构成多控制器的可靠控制系统。在这一层中，有机结构控制实质上就是如何来设计系统的自主分散控制律，使系统能够在任何一个控制器故障后仍能保持系统是稳定的。第三层意思是考虑多对象问题，即一个控制器控制多个对象。在实际的控制系
38、统中，有很多这样的系统。在这一层中，有机结构控制实质上就是如何来设计系统的自主分散控制律，使系统能够在被控对象中的某一个脱离该控制器时，整个系统仍能保持稳定。现在最主要的任务是找到一种控制方法使系统在结构扰动下是稳定的。鲁棒控制的LMI算法便可以使上述问题得到解决。下面就对该方法做一下简单介绍。考虑一个具有N个子系统的互联系统S： (3.1)相应的N个子系统为： (3.2)这里，是第i个子系统的状态，是第i个子系统的输入，是子系统间的互联。我们假设子系统间的互联项是关于t和x 的分段连续函数，且满足二次约束： (3.3)这里，是不确定互联的界，约束矩阵是常数矩阵。将互联大系统写成紧缩形式： (
39、3.4)这里，是大系统的状态，且；是大系统的输入，且；和是相应维数的常数矩阵，且，。在这个紧缩形式中，系统的互联函数为，其二次约束可写为： (3.5)为了使大系统S镇定，我们利用下面的分散状态反馈控制律： (3.6)整个系统(3.4)的控制规律有类似的块对角形式 (3.7)为了求得控制增益,保证闭环系统 (3.8)的关联稳定性。Siljak采用Liapunov理论进行分析，选择二次型能量函数为： (3.9)其中，。要保证系统(3.8)的关联稳定性，必须满足下式(3.10)，即： (3.10)将式(3.5)写成二次不等式形式 (3.11)根据S-过程引理，当满足式(3.10)时，式(3.11)等
40、价于下式 (3.12)其中，。将式(3.12)左乘式(3.13)，并右乘式(3.14) (3.13) (3.14)可以得到 (3.15)其中，。利用Schur补引理进行等价变换，式(3.15)重写为 (3.16)其中，。由于式(3.16)并不是关于变量Y和K的线性矩阵不等式，因此设 (3.17)这时，式(3.16)变为 (3.18)为了保证式(3.17)的结果易于实现，必须限制每一个子系统控制阵Ki（i=1,2,N）。在限制控制阵Ki时，可以借助于每一个子系统的Li和Yi-1（i=1,2,N）来实现。设， ， (3.19)式(3.19)等价于线性矩阵不等式 ， (3.20)同样，设， ， (3
41、.21)式(3.21)等价于线性矩阵不等式， (3.22)为了得到满意的互联界，作如下约束 ， (3.23)其中，为每一个子系统给定的互联界最小值。这样，闭环系统（3.8）的关联稳定性问题可归结为下面的线性矩阵不等式最小化 使得 (3.24)这里，。通过求解线性矩阵不等式(3.24)，可以得到。根据式(3.17)，便可以得到控制器增益阵。3.2 LMI编程中的拆分矩阵法对于基于LMI算法的鲁棒分散控制方法，应用MATLAB软件中的LMI工具箱进行具体仿真，在描述式(3.24)所示的线性矩阵不等式中的项时，由于互联电力系统的模型中B阵为长方形矩阵，导致式(3.17)中矩阵变量LD为长方形对角矩阵
42、，并且每个对角块均为长方形矩阵。同时，函数lmivar(type,struct)中，type=2时，struct=(m,n)代表矩阵变量的维数。这使得编程过程中不能直接定义矩阵变量LD，必须单独定义矩阵变量LD中的每个对角块元素。本人经过研究和具体的仿真实验，得出了下面的解决方法。根据分块矩阵的定义，可将阶A矩阵分块为： （3.25）其中的维数为，并且，。为便于说明，令m=2，n=2。根据矩阵乘法，如下的列向量与行向量的乘积为： （3.26）其中；，是行数与的列数相同的单位阵；是列数与的行数相同的单位阵。，是为了在相乘后与矩阵A的维数相同而选取的相应维数的零阵。为此我们定义了拆分矩阵法，给出定
43、义如下：定义1. 设矩阵A为阶矩阵，按照分块矩阵的定义，将矩阵A分成若干小块，若由各个小块分别组成列向量或行向量，则矩阵A可表示为形如式（3.26）所示的向量乘积的形式，我们将这种方法叫做拆分矩阵法。应用MATLAB软件中的LMI工具箱中提供的函数进行编程时，由于互联电力系统的系数矩阵BD为长方形对角矩阵，而基于LMI的鲁棒分散控制方法求解不等式，即式（3.24）中出现了矩阵变量与矩阵BD的乘积，这就要求矩阵变量为长方形块对角矩阵。另外，由于Lyapunov函数取为二次型，其中矩阵P为块对角阵结构并且为正定对称矩阵，即P阵的主对角块上的每个子块均为正定对称的结构。通过的变换，使得也是块对角结构。和的具体结构如下： （3.27）由式（3.27）和可知，的主对角块上为正定对称方阵，在应用LMI工具箱中的函数lmi