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1、重庆交通大学数学模拟建模竞赛我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 题目：房地产价格与住房保障规模房地产价格与住房保障规模摘要本文依据1998-2008年全国房地产价格及相关影响因素的变化数据，对房地产价格问题进行了综合分析和评价，运用层次分析法，多元线性回归法，多元非线性回归法，并应用Matlab等数学软件，找到了影响房地产价格的主要因素，确定了各主要因素与房地产价格的定量关系，并且以此为出发点，结合有关政策和规划，对未来几年我国或某一地区在不同的保障房建设力度下房地产价格趋势进行了预测。对于问题1：利用层次分析法建立了定量评价房地产价格与居民人均GDP，土地交易价格等
2、影响因素的层次分析模型。通过建立目标层与准则层，准则层与因素层之间的判断矩阵，得出总体优先级向量A，再根据向量元素大小确定优先级。总体优先级向量（各元素按照土地交易价格，保障型住房规模，房地产竣工面积，居民平均消费水平，人口密度，人均GDP，金融政策，税收政策排列）如下：由此得出各因素影响力（从大到小）为土地交易价格，房地产竣工面积，人均GDP，保障型住房规模，居民平均消费水平，税收政策，人口密度和金融政策。对于问题2：通过问题一的结论，找到影响房地产价格的主要因素。取土地交易价格因素x1，房地产竣工面积因素x2，人均GDP占有量因素x3，保障性住房因素x4，并设房地产价格为y。最终得到利用F
3、检验求证出该模型有显著性意义。对于问题3：利用问题二所建立的不同模型，根据有关政策和规划对未来几年我国或某一地区在不同的保障房建设力度下就房地产价格趋势进行仿真或预测：通过回归方法，分别作出各个因素随时间变化的函数，计算出2011年至2020年的各因素的数值，作为预测未来10年房地产价格的依据。运用Matlab中的矩阵运算，（见附录）并由模型一，模型二，模型三，可以对房地产价格进行仿真和预测。对于问题4： 结合第一问当中的重要影响因素，通过仿真预测，写一份房地产价格问题的咨询报告。关键词：层次分析法，多元回归，逐步回归分析,Stepwise 问题重述1.1背景近十年来我国一些城镇的商品房价格上
4、涨过快，过高的房价使城镇中低收入者无力购买住房,为了社会持续稳定的发展,政府一直出台各种文件，对房地产市场进行调控。但由于各部门配合得不协调，房地产的价格在过去的几年时间里快速地上涨，房价成了各种社会矛盾的焦点。与此同时，保障房建设正在加速推进,中共中央政治局常委、国务院副总理李克强在全国保障性安居工程工作会上强调，要认真贯彻落实党中央、国务院的决策部署，大规模实施保障性安居工程，加大投入，完善机制，公平分配，保质保量完成今年开工建设1000万套的任务，努力改善群众住房条件。物价水平、国内生产总值、国民收入水平、金融政策、税收政策、土地、城市化率等都是影响房地产价格的因素，然后，公租房、廉租房
5、和经济适用房等各类保障性住房的建设力度加大，有利于增加房地产的供给力度，对房地产市场价格会产生较大影响。1.2问题1. 对有关统计数据进行分析，用适当方法寻找影响房地产价格的主要因素或指标2. 建立房地产价格与包括城镇住房保障规模在内的主要因素或指标之间联系的数学模型。3. 利用所建立的关于房地产价格的数学模型，根据有关政策和规划对未来几年我国或某一地区在不同的保障房建设力度下就房地产价格趋势进行仿真或预测（可以根据模型的需要对未来的情况作适当的假设）。 4. 根据所建立的数学模型和仿真结果，对房地产价格问题提出你们的咨询建议。 问题分析对问题1当中影响房地产价格主要因素的确定，由于存在着居民
6、平均消费水平，居民人均GDP，房地产竣工面积，土地交易价格，保障房建设规模和相应金融、税收政策等众多因素，故采用层次分析法将房地产价格问题按决策层、准则层、方案层的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。对于问题2要求建立房地产价格与包括城镇住房保障规模在内的主要因素之间联系的数学模型的问题，我们可以应用Matlab绘图软件，分别作出房地产价格y与土地交易价格因素x1，竣工面积因素x2，人均GDP占有量x3，保障住房因素x4，散点图（见附录
7、）。由图观察并探索其间的数学关系，并建立模型。利用问题二所建立的不同模型，根据有关政策和规划对未来几年我国或某一地区在不同的保障房建设力度下就房地产价格趋势进行仿真或预测：通过回归方法，分别作出各个因素随时间变化的函数，计算出2011年至2020年的各因素的数值，作为预测未来10年房地产价格的依据。运用Matlab中的矩阵运算，（见附录）并由模型一，模型二，模型三，可以对房地产价格进行仿真和预测。 模型假设1、各因素之间相互独立，没有影响。2、所得数据真实可靠。3、短时间内可以认为各因素与时间的关系不变。 符号说明-层次分析法判断矩阵权向量-最大特征根 -回归线性方程系数CI -判断矩阵特征根
8、的变化CR -一致性比例U -回归平方和Q -残差平方和P -自变量数目n -数据量 模型的建立及求解5.11确定影响房地产价格的的主要因素根据1998年到2008年的数据，以居民人均GDP，房地产竣工面积，土地交易价格，保障房建设规模和相应金融、税收政策等8项影响因素为方案层，以供给关系，需求因素和宏观经济因素为准则构建准则层，确立房地产价格波动为目标层，得到层次结构模型如下： 在建立层次分析模型后，在各层元素中两两进行比较，从而构造出比较判断矩阵。首先，考虑决策层对准则层的影响。用分别表示准则层供给关系，需求因素和宏观经济因素；用分别表示因素层土地交易价格，保障型住房规模等8项影响因素。之
9、比，则决策层对准则层的判断矩阵为：A= ， A=判断矩阵A的权向量为。同样的，我们可以得到准则层对因素层的3个判断矩阵： 同时可以同理求解出上述3个判断矩阵的权向量，依次为：以为列向量组成矩阵w，则：由此得出，决策层对因素层的综合权向量为：5.12 一致性检验对于判断矩阵A，有最大特征根为：则：故认为决策层对准则层建立的判断矩阵一致性良好，是可以接受的。对于判断矩阵B1，有最大特征根为：则：故认为准则层对因素层建立的判断矩阵一致性良好，是可以接受的。对于判断矩阵B2，有最大特征根为：则：故认为准则层对因素层建立的判断矩阵一致性良好，是可以接受的。对于判断矩阵B3，有最大特征根为:则：故认为准则
10、层对因素层建立的判断矩阵一致性良好，是可以接受的。综上所述，所有判断矩阵都是一致性矩阵，全部可以接受。5.13 结论由此得出各因素影响力（从大到小）为土地交易价格，房地产竣工面积，人均GDP，保障型住房规模，居民平均消费水平，税收政策，人口密度和金融政策。5.2建立房地产价格与主要影响因素之间联系的数学模型在此，取第一问中影响最大的四个影响因素，并设土地交易价格因素x1，房地产竣工面积因素x2，人均GDP占有量因素x3，保障性住房因素x4。利用Matlab绘图软件，分别作出房地产价格y与x1,x2,x3,x4的散点图（见附录）。由图可看出，大致认为y与这四个因素存在线性相关关系。根据各影响因素
11、变量情况，编写相应的Matlab程序（具体程序参见附录）多元线性回归方程可写为： 记则随机变量y与变量x的关系可化为： 其中为随机项，。通过Matlab相关程序可以解得：由此得出，房地产价格与各因素之间的回归模型一：然后，该模型进行多元线性回归检验：1、F检验值F= 122.7133，说明显著。2、相关系数平方值R2=0.9879,说明模型拟合程度较高。3、显著性概率p=00.05,故拒绝零假设，认为模型1中至少有一个自变量的系数不为零，因而从总体上模型是有意义的。得到的系数的置信区间为：的置信区间为 -1.5724 ,0.8756的置信区间为 -0.0015 0.0040的置信区间为 -0.
12、0000 0.0000的置信区间为 -0.0002 0.0001的置信区间为 -0.0007 0.0012所有因素的置信区间都包含了零点，表明回归变量x1,x2,x3,x4对变量y的影响不显著，进而，对数据（x ,y）进行非线性拟合。通过Matlab编程计算，得出：进而得到模型二：对该模型进行多元线性回归检验：1、系数平方值R2=0.9830,说明模型拟合程度较高。2、显著性概率p=2.8173e-0090.05,故拒绝零假设，认为模型1中至少有一个自变量的系数不为零，因而从总体上模型是有意义的。5.3利用所建立的关于房地产价格的数学模型，根据有关政策和规划对未来几年我国或某一地区在不同的保障
13、房建设力度下就房地产价格趋势进行仿真或预测利用问题二所建立的不同模型，根据有关政策和规划对未来几年我国或某一地区在不同的保障房建设力度下就房地产价格趋势进行仿真：通过回归方法，分别作出各个因素随时间变化的函数，计算出2011年至2020年的各因素的数值，作为预测未来10年房地产价格的依据。土地交易价格因素随时间变化图房地产竣工面积因素随时间变化图保障型住房规模因素随时间变化图折线图可认为土地交易价格x1，房地产竣工面积x2，保障性住房（2005年以后）x4与时间t成线性关系:由一元线性回归（详见附录）人均GDP占有量随时间变化图由折线图可知，可以假设人均GDP x3与时间t满足： 转换 由线性
14、回归可得a=1.3994E-100，b=1.1269所以 ，x3=1.3994E-100 *1.1269t2011至2020土地交易价格x1,房地产竣工面积x2,人均GDPx3,保障性住房x4(2005年后)预测值:tx1x2x3x4x1x2x3x419981142.7517566.66796270.91050.915911.356498.37519991242.7521410.871594371178.0120897.177323.01820001345.4325104.97858542.41305.12258838252.30920011418.3129867.48622599.61432
15、.2330868.839299.52720021462.7234975.893985891559.3435854.6510479.6420031584.1241464.1105426221686.4540840.4811809.520041744.1242464.912336606.41813.5645826.313308.1320051902.845341714040519.21940.6750812.1314996.93528.81520062013.255830.915931696.82067.7855797.9616900.04681.57820072260.8260606.71826
16、8834.112194.8960783.7819044.66834.3412008247466544.822675982.64232265769.6121461.42987.10420092449.1170755.4321499.51139.86720102576.2275741.2622971.031292.6320112703.3380727.0924442.561445.39320122830.4485712.9125914.091598.15620132957.5590698.7427385.621750.91920143084.6695684.5628857.151903.68220
17、153211.77100670.430328.682056.44520163338.88105656.231800.212209.20820173465.9911064233271.742361.97120183593.1115627.934743.272514.73420193720.21120613.736214.82667.49720203847.32125599.537686.332820.26由上表可得各个因素xi（1=1,2,3,4）从1998至2020年的预测值，运用在Matlab中的矩阵运算，（见附录）并由模型一，模型二，模型三，可以对房地产价格进行仿真和预测。预测结果为：年份
18、观测值Y预测值Y1预测值Y2预测值Y3199818061673.421745.51835.492199919971868.421962.81999.742200020632044.022159.12168.394200122912180.4223112288.1200224492268.522409.52361.043200326522469.0226362560.443200427592637.8228272823.24320053005.72889.123116.43083.94200633833054.623290.13265.20720073791.73395.923671.13671
19、.92220083882.43667.123955.83664.708200946813739.6494036.6483981.18920103954.6494271.2944189.96720114169.0634505.944398.74520124383.774740.5864607.52320134598.4774975.2324816.30120144813.1855209.8785025.0820155027.565444.5245233.85820165242.5995679.175442.63620175457.3065913.8165651.41420185672.01361
20、48.4625860.19220195886.7216383.1076068.9720206101.4286617.7536277.749对各个模型的预测值与观测值作散点图进行比较：由散点图可以看出，各个模型与观测值之间存在差异，但在误差允许的情况下，可认为各个模型的预测值具有一定的可信度。其中，第二个模型预测结果更接近真实值，预测结果较好。5.4 关于房地产价格问题的咨询建议土地交易价格，房地产竣工面积，人均GDP，保障型住房规模等因素是影响房价的关键因素，而这几项指标的控制权很大程度上取决于政府的宏观调控和相关政策的出台。所以我们的建议是：一、完善国有土地拍卖制度,做到以拍限价。在社会主义
21、市场经济中,政府拍卖土地给商家搞房地产开发的行为是无可非议,但商家唯利是图的本性是存在的。同一块土地,政府拍卖的价位越高,商家投资成本就越重,必然转嫁到老百姓身上的钱也越多,同时银行与商家绑成利益共同体就越来越紧。此时,商家的兴风作浪似乎理直气壮。在房价下跌时,政府或明或暗救市托市也就不得不为之。可以说,房价一路飙升与目前国有土地拍卖制度不完善有很大关系。政府拍卖国有土地,本意通过拍卖形式获得更多的土地出让金搞活当地经济、惠及民生,但效果适得其反,加重了老百姓住房负担。 建议政府出让土地时,要充分发挥拍卖作用,做到以拍限价。即一块土地,可参照当地当时的土地出让金价格和商品房平均价,然后规定该块
22、土地出让金多少,拟订一个商品房平均价进行拍卖,以保证土地出让金不变,承诺开发出的商品房平均价越低者而得。 二、完善公共租赁住房建设制度,做到以租为家。公共租赁住房与经济适用房不同,前者是租赁关系,房权属国家所有；后者是买卖关系,房权为私人所得。在实际操作中,后者更容易产生腐败和新的不公平。 建议一是加快公共租赁住房建设力度,确保土地出让金专款专用、账目公开；二是完善公共租赁住房管理制度,确保真正有困难有需求的老百姓能够租得到房、租得起房、并且可以以租为家,安居乐业；三是进一步规划好公共租赁住房的建设。公共租赁住房不是只可建在市效或边远的地方。不要顾此失彼,虽然老百姓租起了房,但他们的出行成本却
23、增加了,赚钱脱贫仍然困难。 三、完善住房公积金制度,做到有工必有金。住房改革,原本是改掉国家工作人员的某些特权,改掉一些不公平。但住房公积金没有得到全面普及,这种不公平以另一种形式依然存在。建议:住房公积金应该与医疗保险、养老保险一样,强制推行、全面普及。无论你是为政府工作,还是为私人企业或个体商户工作,只有你和它发生劳动关系,你就有权获得相应的公积金报酬。模型的推广和改进对于问题2的模型二得到的系数的置信区间为：的置信区间为 1.0782 1.8734的置信区间为 -0.0050 0.0277的置信区间为 -0.0829 0.0237的置信区间为 -0.6036 1.0458通过各因素的置信
24、区间发现，X2，x3, x4 的系数区间包括了零点，表明回归变量x2,x3,x4对变量y的影响不太显著，因此需从模型中移除次变量，只保留主变量x1。利用Matlab中Stepwise对房地产价格y与土地交易价格进行线性回归，结果如下：由表格相关数据知，b0=-41.4745，b1=1.6425所以回归模型三为：对回归模型三进行回归检验：1、R2=0.9915, 说明模型拟合程度较高。2、显著性概率P=2.8173E-09F(1,8),说明回归方程有显著性意义。 附录%各变量与y的散点图x1=1142.75;1242.75;1345.43;1418.31;1462.72;1584.12;1744
25、.12;1902.84;2013.2;2260.82;2474;x1 = 1.0e+003 * 1.1427 1.2428 1.3454 1.4183 1.4627 1.5841 1.7441 1.9028 2.0132 2.2608 2.4740 x2=17566.6;21410.8;25104.9;29867.4;34975.8;41464.1;42464.9;53417;55830.9;60606.7;66544.8;x2 = 1.0e+004 * 1.7567 2.1411 2.5105 2.9867 3.4976 4.1464 4.2465 5.3417 5.5831 6.0607
26、6.6545 x3=6796;7159;7858;8622;9398;10542;12336;14040;15931;18268;22675;x3 = 6796 7159 7858 8622 9398 10542 12336 14040 15931 18268 22675 x4=270.9;437;542.4;599.6;589;622;606.4;519.2;696.8;834.11;982.64;x4 = 270.9000 437.0000 542.4000 599.6000 589.0000 622.0000 606.4000 519.2000 696.8000 834.1100 982
27、.6400 y=1806;1997;2063;2291;2449;2652;2759;3005.7;3383;3791.7;3882.4;y = 1.0e+003 * 1.8060 1.9970 2.0630 2.2910 2.4490 2.6520 2.7590 3.0057 3.3830 3.7917 3.8824 subplot(1,4,1),plot(x1,y),title(y与x1的散点图);subplot(1,4,2),plot(x2,y),title(y与x2的散点图);subplot(1,4,3),plot(x3,y),title(y与x3的散点图);subplot(1,4,4
28、),plot(x4,y),title(y与x4的散点图)%线性回归X=1142.75,17566.6,6796,270.9;1242.75,21410.8,7159,437;1345.43,25104.9,7858,542.4;1418.31,29867.4,8622,599.6;1462.72,34975.8,9398,589;1584.12,41464.1,10542,622;1744.12,42464.9,12336,606.4;1902.84,53417,14040,519.2;2013.2,55830.9,15931,696.8;2260.82,60606.7,18268,834.1
29、1;2474,66544.8,22675,982.64;X = 1.0e+004 * 0.1143 1.7567 0.6796 0.0271 0.1243 2.1411 0.7159 0.0437 0.1345 2.5105 0.7858 0.0542 0.1418 2.9867 0.8622 0.0600 0.1463 3.4976 0.9398 0.0589 0.1584 4.1464 1.0542 0.0622 0.1744 4.2465 1.2336 0.0606 0.1903 5.3417 1.4040 0.0519 0.2013 5.5831 1.5931 0.0697 0.226
30、1 6.0607 1.8268 0.0834 0.2474 6.6545 2.2675 0.0983 Y=1806;1997;2063;2291;2449;2652;2759;3005.7;3383;3791.7;3882.4;Y = 1.0e+003 * 1.8060 1.9970 2.0630 2.2910 2.4490 2.6520 2.7590 3.0057 3.3830 3.7917 3.8824 a1=ones(11,1);A=a1,X;b,bint,r,rint,stat=regress(Y,A)b = 151.6163 1.2377 0.0136 -0.0177 0.2438b
31、int = 1.0e+003 * -1.5724 1.8756 -0.0015 0.0040 -0.0000 0.0000 -0.0002 0.0001 -0.0007 0.0012r = 54.3997 35.0927 -89.7456 -17.3855 32.2292 8.6003 -60.5651 -108.4079 89.4952 134.3870 -78.0999rint = -65.4192 174.2187 -194.0189 264.2043 -285.4765 105.9853 -244.9241 210.1531 -183.2164 247.6747 -191.6674 2
32、08.8680 -292.9396 171.8093 -218.7305 1.9146 -122.6065 301.5970 29.1837 239.5903 -110.3789 -45.8209stat = 1.0e+004 *0.0001 0.0123 0.0000 1.0208%逐步回归stepwise(X,Y)%非线性回归X=1142.75,17566.6,6796,270.9;1242.75,21410.8,7159,437;1345.43,25104.9,7858,542.4;1418.31,29867.4,8622,599.6;1462.72,34975.8,9398,589;1
33、584.12,41464.1,10542,622;1744.12,42464.9,12336,606.4;1902.84,53417,14040,519.2;2013.2,55830.9,15931,696.8;2260.82,60606.7,18268,834.11;2474,66544.8,22675,982.64;X = 1.0e+004 * 0.1143 1.7567 0.6796 0.0271 0.1243 2.1411 0.7159 0.0437 0.1345 2.5105 0.7858 0.0542 0.1418 2.9867 0.8622 0.0600 0.1463 3.497
34、6 0.9398 0.0589 0.1584 4.1464 1.0542 0.0622 0.1744 4.2465 1.2336 0.0606 0.1903 5.3417 1.4040 0.0519 0.2013 5.5831 1.5931 0.0697 0.2261 6.0607 1.8268 0.0834 0.2474 6.6545 2.2675 0.0983 Y=1806;1997;2063;2291;2449;2652;2759;3005.7;3383;3791.7;3882.4;Y = 1.0e+003 * 1.8060 1.9970 2.0630 2.2910 2.4490 2.6
35、520 2.7590 3.0057 3.3830 3.7917 3.8824 beta0=1.2 0.05 0.3 3.2; nlinfit(X,Y,s1,beta0) %非线性回归b0 = 1.4758b1 = 0.0114b2 = -0.0296b3 = 0.2211Y = 1.0e+003 * 1.7452 1.9625 2.1587 2.3105 2.4088 2.6353 2.8263 3.1154 3.2891 3.6701 3.9548ans = 1.4758 0.0114 -0.0296 0.2211b, bint, r, rint, stats = regress(y,X)b
36、 = 1.4758 0.0114 -0.0296 0.2211bint = 1.0782 1.8734 -0.0050 0.0277 -0.0829 0.0237 -0.6036 1.0458r = 60.7688 34.4761 -95.7088 -19.4855 40.1661 16.7418 -67.2761 -109.7096 93.9156 121.6018 -72.3721rint = -63.8601 185.3978 -168.6525 237.6046 -278.4615 87.0438 -222.1414 183.1703 -168.4926 248.8248 -181.5
37、677 215.0512 -284.1945 149.6424 -207.5414 -11.8778 -98.3341 286.1653 -56.5793 299.7829 -147.5784 2.8341stats = 1.0e+003 * 0.0010 0.1901 0.0000 8.8174stepwise(X,Y)预测：模型一的仿真 a= 1.24 0.01 -0.02 0.24;b = 1.0e+004 * 0.1143 0.1243 0.1345 0.1418 0.1463 0.1584 0.1744 0.1903 0.2013 0.2261 0.2474 1.7567 2.141
38、1 2.5105 2.9867 3.4976 4.1464 4.2465 5.3417 5.5831 6.0607 6.6545 0.6796 0.7159 0.7858 0.8622 0.9398 1.0542 1.2336 1.4040 1.5931 1.8268 2.2675 0.0271 0.0437 0.0542 0.0600 0.0589 0.0622 0.0606 0.0519 0.0697 0.0834 0.0983 c=a*bc = 1.0e+003 * 1.5218 1.7168 1.8924 2.0288 2.1169 2.3174 2.4862 2.7375 2.9033 3.2443 3.5155模型二的仿真： a=1.4758 0.0114 -0.0296 0.2211;b = 1.0e+004 * 0.1143 0.1243 0.1345 0.1418 0.1463