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1、摘 要数字滤波器是数字信号处理中最重要的组成部分之一。在许多科学技术领域中，广泛使用滤波器对信号进行处理。数字滤波器可以分为两类，即有限冲激响应数字滤波器(FIR)和无限冲激响应数字滤波器(IIR)。本文就分别对这两类数字滤波器的设计和实现来进行分析研究。在FIR滤波器的设计过程中主要探讨了两个问题，其一是FIR线性相位滤波器的特点及相关公式推导；其二是用窗函数设计FIR滤波器，重点介绍了基于等波纹切比雪夫逼近准则实现了FIR数字滤波器的优化设计并通过MATLAB的仿真实现。在IIR滤波器的设计过程中，将设计步骤分为三步，即模拟滤波器原型设计，模拟一数字滤波器变换，滤波器频带变换。着重介绍了频
2、域直接设计法和优化设计法。在这两类滤波器的整个设计过程都是按照理论分析、编程设计、具体实现的步骤来进行的。关键词：数字滤波器；MATLAB；优化设计算法；冲击响应ABSTRACTDigital filter is one of the most important parts of digital signal processing.1J1 many fields of science and technology, it is widely used for signal processing. Digital filter can be divided as the Finite Impu
3、lse Response digital filter (FIR) and the Infinite Impulse Response digital filter (IIR).The paper aims at respective study in the design and realization of these two kinds of digital filters. Two major points are discussed about the design of FIR filters: the characteristics of FIR linear phase fil
4、ter and the reasoning of related formulas: the other is about the design of the FIR filters by means of window functions. Introduce with emphasis based on and so on ripple Chebychev approached the criterion to implement the FIR filters optimized design and through the MATLAB simulation implementatio
5、n.The design of IIR filters can be achieved through three steps: the design of prototype of analog low-pass filter, analog-to-digital filter conversion and the conversion of filter frequency band. Introduce the frequency range direct design law and the optimized design law emphatically. The design o
6、f FIR and IIR follows the procedures of theoretical analysis, programming design and concrete realization.Key Word:Digital filter; MATLAB; optimization design algorithm; shock response41目 录摘 要IABSTRACTII前 言1第 1 章绪 论21.1数字滤波器的定义21.2数字滤波器的发展概况21.3MATLAB 软件介绍3第 2 章数字滤波器62.1数字滤波器的设计与实现62.2数字滤波器的分类62.3数字
7、滤波器的设计要求和方法72.3.1幅频特性72.3.2相频特性82.4数字滤波器设计方法概述11第 3 章有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器123.1FIR滤波器的窗函数法设计123.1.1窗函数设计法的基本思想123.1.2窗函数的种类133.1.3设计实验结果163.2FIR滤波器的均方误差最小准则设计183.3FIR滤波器的最大误差最小化准则设计203.4FIR滤波器的优化设计22第 4 章无限长单位冲击响应（IIR）数字滤波器274.1IIR滤波器的s-z变换设计274.1.1标准z变换274.1.2双线性z变换284.1.3设计实验结果294.2IIR滤波器的振幅平方函数近似设计
8、294.3IIR滤波器的频率变换法设计314.4IIR数字滤波器的优化设计33第 5 章总结38致谢40参考文献41前 言数字滤波是数字信号处理理论的一部分。数字信号处理主要是研究用数字或符号的序列来表示信号波形，并用数字的方式去处理这些序列，把它们改变成在某种意义上更为有希望的形式，以便估计信号的特征参量，或削弱信号中的多余分量和增强信号中的有用分量。具体来说，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、均衡、增强、压缩、识别、产生等加工处理，都可纳入数字信号处理领域。数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究。关于数字滤波器，早在40年代末期，就有人讨论过它的可能性问
9、题，在50年代也有人在研究生讨论过数字滤波器的问题。但直到60年代中期，才开始形成关于数字滤波器的一整套完整的正规理论。在这一时期，提出了各种各样的数字滤波器结构，有的以运算误差最小为特点，有的则以运算速度高见长，而有的则二者兼二有之；出现了数字滤波器的各种逼近方法和实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较，统一了数字滤波器的基本概念和理论。数字滤波器的基本概念和理论。数字滤波器领域的一个重要发展是对有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)关系的认识的转化。在初期，一般认为IIR滤波器比FIR滤波器具有更高的运算效率，因而明显的倾向于前者，但当人们提出用快速傅立叶变换(FFT)实
10、现卷积概念之后，发现高阶FIR滤波器也可以用很高的运算效率来实现，这就促使人们对性能FIR滤波器的频域方法和时域方法并驾齐驱的局面。然而，这些均属数字滤波器的早期研究。70年代科学技术蓬勃发展，数字信号处理开始与大规模集成电路技术、微处理技术、高速数字算术单元、双极型高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术、新工艺结合了起来，并且引进了计算辅助设计方法，它使数字滤波器的设计仅仅是对相应模拟滤波器的逼近。一般说来，通过模拟滤波器函数的变换来设计数字滤波器，很难达到逼近任意频率响应或冲激响应，而采用计算机辅助设计则有可能实现频域或时域的最佳逼近，或频域时域联合最佳逼近。这样，数字滤波器的分析与设计
11、其内容也更加丰富起来；各种新的数字信号处理系统，也都能用专用数字硬件实时加以实现。 第 1 章 绪 论1.1 数字滤波器的定义数字滤波器通常是指一个有限精度算法实现的离散线性是不变系统。通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器，可以用下式表示： 式中，称为滤波器幅频响应， 称为滤波器的相频响应。幅频响应表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频响应反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。滤波器性能最容易通过它的幅频响应的形状来描述 。滤波器在某个频率的幅度增益决定了滤波器对此频率输入的放大因子，增益可取任意值。增益高的频率范围，信号可以通过，称之为滤波器的通带，增益低的频率范围，滤波
12、器对信号有衰减和阻塞作用，称这位滤波器的阻带。1.2 数字滤波器的发展概况数字滤波是数字信号处理理论的一部分。数字信号处理主要是研究用数字或符号的序列来表示信号波形，并用数字的方式去处理这些序列，把它们改变成在某种意义上更为有希望的形式，以便估计信号的特征参量，或削弱信号中的多余分量和增强信号中的有用分量。具体来说，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、均衡、增强、压缩、识别、产生等加工处理，都可纳入数字信号处理领域。数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究。关于数字滤波器，早在40年代末期，就有人讨论过它的可能性问题，在50年代也有人在研究生班讨论过数字滤波器的
13、问题。但直到60年代中期，才开始形成关于数字滤波器的一整套完整的正规理论。在这一时期，提出了各种各样的数字滤波器结构，有的以运算误差最小为特点，有的则以运算速度高见长，而有的则二者兼二有之；出现了数字滤波器的各种逼近方法和实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较，统一了数字滤波器的基本概念和理论。数字滤波器的基本概念和理论。数字滤波器领域的一个重要发展是对有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)关系的认识的转化。在初期，一般认为IIR滤波器比FIR滤波器具有更高的运算效率，因而明显的倾向于前者，但当人们提出用快速傅立叶变换(FFT)实现卷积概念之后，发现高阶FIR滤波器也可以用很
14、高的运算效率来实现，这就促使人们对性能FIR滤波器的频域方法和时域方法并驾齐驱的局面。然而，这些均属数字滤波器的早期研究。70年代科学技术蓬勃发展，数字信号处理开始与大规模集成电路技术、微处理技术、高速数字算术单元、双极型高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术、新工艺结合了起来，并且引进了计算辅助设计方法，它使数字滤波器的设计仅仅是对相应模拟滤波器的逼近。一般说来，通过模拟滤波器函数的变换来设计数字滤波器，很难达到逼近任意频率响应或冲激响应，而采用计算机辅助设计则有可能实现频域或时域的最佳逼近，或频域时域联合最佳逼近。这样，数字滤波器的分析与设计其内容也更加丰富起来；各种新的数字信号处理系统
15、，也都能用专用数字硬件实时加以实现。数字信号处理理论与技术的发展，主要是由于电子计算机与大规模集成电路的大量生产和广泛应用，替代了原来的模拟信号处理中的线性滤波与频谱分析所应用的模拟计算机和分立元件L、C、R线性网络，高度发挥了计算机技术与数字技术相结合的特色和优越性。特别是微处理器和微型计算机技术日新月异的发展，将更有利于电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能化等方向发展，促使它们成为富有智能性的电子系统。现在，包括数字滤波在内的数字信号处理技术正以惊人的速度向纵深和高级的方向发展，据估计这种趋势还要持续一个较长的时期，未来的发展可能会比过去的进程更为激动人心，必将引
16、起某些领域的飞跃性转折。1.3 MATLAB 软件介绍MATLAB是英文Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写。它是由美国MathWorks公司推出的用于数值计算和图形处理的数学计算环境。在MATLAB环境下，用户可以集成的进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。它优异的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在同类软件中脱颖而出。MATLAB推出的工具箱使各界领域的研究人员可以直观方便的进行科学研究、工程应用，其中的信号处理(signal processing)、图像处理(image processing)、小波(wavelet)等工具箱为数字滤波器
17、研究的蓬勃发展提供了有力的工具。MATLAB语言之所以能如此迅速的普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其它语言的特点：1、语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数及其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用其丰富的库函数避开了繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作，由于库函数都是由本领域的专家编写，所以用户不必担心函数的可靠性。 2、运算符丰富。由于MATLAB是C语言编写的，所以MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变的极为简短。 3、MATLAB既具有结构化的控制语句，又有面向对象编程的特性。 4、语法限制不严格，程序设计自由度大
18、。 5、程序的可移植性好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。 6、MATLAB的图形功能强大。在C和FORTRAN语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。此外，MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。 7、MATLAB具有的一项重要特色是拥有功能强大的工具箱。MATLAB包含两部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分有数百个核心内部函数。其工具箱又可分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱能用于多种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的，如
19、control toolbox、signal processing toolbox、communication toolbox等。 8、源程序的开放性。除内部函数以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。MATLAB软件自1984年推向市场以来，历经十几年的发展和竞争，现已成为(IEEE评述)国际公认的最优秀的科技应用软件。它功能强大、界面友善、语言自然、开放性强的特点使它获得了对应用科学（特别是边缘学科和交叉学科）的极强适应力，并很快成为应用学科计算机辅助分析、统计、仿真、教学及至科技文字处理不可缺少的基础软件
20、。在欧美等高校，MATLAB已成为理工科高级课程的基本教学工具，成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB已经成为研究和解决各种具体工程问题的一种标准软件。近几年来该软件系统开始在我国国内流行，受到理工科大专院校师生及科研人员的重视。第 2 章 数字滤波器2.1 数字滤波器的设计与实现滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波器一般可用两种方法实现：一种是根据描述的数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一
21、台专门的设备，构成专用的信号处理机，这就是硬件实现方式；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序来让计算机来执行，这也就是软件实现方式。在硬件实现方式中，是以数字组件如延迟器、加法器和乘法器作为基本部件构成专用的数字信号处理系统。在软件实现方式中，它是借助于通用计算机机器语言、汇编语言或高级语言程序来做数字滤波器的运算过程。MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数调用。只要正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具函数，即可以得到正确
22、的设计结果，使用非常方便。数字滤波器的设计与实现，通常按下述步骤进行：首先，根据不同用途提出数字滤波器的技术指标；然后，设计一个稳定的、因果的数学模型H(z)来逼近所要求的技术指标；最后，设计专用的数字硬件来实现这个数学模，或者用通用的电子计算机运行软件予以实现。与微型计算机一样，CPU也是单片机的核心部件。它一般由运算器、控制器和中断电路等组成。根据单片机的字长（CPU一次处理的数据位数）不同，其数据处理能力不同。字长加长则数据处理能力越强，执行速度也越快。每种单片机的CPU都有自己的指令系统，用于编制应用程序。不同厂家的单片机有不同的指令。2.2 数字滤波器的分类按元件分类，滤波器可分为：
23、有源滤波器、无源滤波器、陶瓷滤波器、晶体滤波器、机械滤波器、锁相环滤波器、开关电容滤波器等。按信号处理的方式分类，滤波器可分为：模拟滤波器、数字滤波器。按通频带分类，滤波器可分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。除此之外，还有一些特殊滤波器，如满足一定频响特性、相移特性的特殊滤波器，例如，线性相移滤波器、时延滤波器、音响中的计权网络滤波器、电视机中的中放声表面波滤波器等。按通频带分类，有源滤波器可分为：低通滤波器（LPF）、高通滤波器（HPF）、带通滤波器（BPF）、带阻滤波器（BEF）等。按通带滤波特性分类，有源滤波器可分为：最大平坦型（巴特沃思型）滤波器、等波纹型（切比雪
24、夫型）滤波器、线性相移型（贝塞尔型）滤波器等。按运放电路的构成分类，有源滤波器可分为：无限增益单反馈环型滤波器、无限增益多反馈环型滤波器、压控电源型滤波器、负阻变换器型滤波器、回转器型滤波器等。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可将数字滤波器分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。2.3 数字滤波器的设计要求和方法2.3.1 幅频特性设采样周期为T，令z= ，从z变换理论即可得到H(z)的频率特性，可表示为：表示数字滤波器的幅频特性或：表示相频特性另外，是数字滤波器的频率传递函数，它表示决定数字滤波器的幅频特性与相频特性的频率特性。假定T=1, 可表示为：由
25、于是周期2的周期函数，在02或的范围内求，即可以确定数字滤波器的频率特性。再考虑到则有，所以设计滤波器时，只需考虑的部分就够了。但是当幅频特性要求很高，不能得到满意结果时，不仅要采用更高阶的FIR滤波器，还必须考虑采用IIR滤波器。2.3.2 相频特性设计数字滤波器时，不仅要考虑它的幅频特性，相频特性也是需要考虑的重要问题。特别是在线性相位滤波器中，相位的延迟不会造成波形的失真，所以在波形要求很高时，滤波器具有线性相位是非常重要的。为了分析FIR滤波器的相频特性，设传递函数为 （2.1）代入z= ，即可得到 （2.2）如果（k=0,1，N-1），即为线性相位。则有：当N为奇数时，可以得到 （2
26、.3）当N为偶数时，可以得到 （2.4）同理，如果，也为线性相位。则有： （2.5） 或 （2.6） 当下式表示数字滤波器的频率特性时 （2.7） 由式（2.3）和（2.4）可以得到 相频特性： 幅频特性： N为奇数时， （2.8） N为偶数时， （2.9） 由式（2.5）和（2.6）可以得到 相频特性： （2.10） 幅频特性： N为奇数时， （2.11） N为偶数时， （2.12）严格讲，只有FIR滤波器可以实现完全的线性相位，但也可以设计出非常接近线性相位的IIR滤波器。IIR低通滤波器指标参数如下图， 图2.1 IIR低通滤波器指标参数图中， ：通带截止频率：阻带截止频率：通带波纹2：
27、阻带波纹:通带内所允许的最大衰减(dB):阻带内允许的最小衰减(dB) (2.13) (2.14)一般要求：当时， （2.15）当 （2.16）2.4 数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法很不相同，IIR滤波器设计方法有两类：(1)借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计思路是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(S)，然后Ha(S)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(Z)。这一类方法是基于模拟滤波器的设计方法相对比较成熟，它不仅有完整的设计公式，也有完整的图表供查阅。更可以直接调用MATLAB中的对应的函数进行设计。(2)直接在频域或者时域中进行设计的，设计时必须用计
28、算机作辅助设计，直接调用MATLAB中的一些程序或者函数可以很方便的设计出所需要的滤波器。FIR滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是窗函数法和频率采样法。也可以借助计算机辅助设计软件采用切比雪夫等波纹逼近法进行设计。第 3 章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器在数字滤波器中，FIR滤波器是一类结构简单、且总是稳定的滤波器。严格讲也只有FIR滤波器可以实现线性相位。从这些特点考虑，FIR滤波器在实用上有许多优点。本章将介绍FIR数字滤波器的几种典型设计方法，并通过这些方法的设计实例相互比较,明确各种设计方法的特点。3.1 FIR滤波器的窗函数法设计3.1.1 窗函数设
29、计法的基本思想数字信号处理就是在有限区间使用所观测到的信号序列进行各种各样的处理。截取信号区间两端的位置微小变化，将会导致结果产生很大变化，这种现象一般在信号处理中是必须避免的。为此，不仅应注意截取信号区间的长度，而且要注意截取区间两端不应造成急剧的变化。截取持续信号中部分信号的工作，可以看作是通过一个窗函数采集所看到的信号序列。这种为截取信号所使用的窗口称为窗函数(window function)。窗函数不仅适用于离散时间信号，也适用于连续信号。实际上，设观测到的信号为x(t)，窗函数为w(t)，从窗口观测的信号为y(t)，则 y(t)=w(t)*x(t) (3.1)可见，窗函数对于观测信号
30、起到一种滤波器的作用。对于离散时间信号，设x (nT)、y(nT)、w(nT) (n=0，1，N-I)的离散傅立叶变换(DFT)分别为X(k)、Y(k)、W(k)(k=0，1，N-1)，则可得到 （3.2）式中，T为采样周期。对于连续时间信号，设x(t)、y(t)、w(t)的傅立叶变换分别为 、，则 （3.3）3.1.2 窗函数的种类已经知道有很多种类函数，这里仅介绍几种代表性的窗函数。下面介绍几种代表性的窗函数：如R= nn=0,1，N-1），以及R=nnN）等。另外，还介绍N为奇数时，仅将信号序列平移(N-1)/2，并设： 时的窗函数。式中T为采样周期。1) 矩形窗 (rectangula
31、r window) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) 图3.1 矩形窗的幅频特性2) 汉明窗(Hamming window) (3.8) (3.9) (3.10) (3.11)3) 汉恩窗(hann window) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15)4) 布莱克曼窗(Blackman window) (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) 5) 道尔夫一切比雪夫窗(Dolph-Chebyshev window)反复利用下式进行计算，就可以确定道尔夫切比雪夫窗的系数 （3.20） （3.21） (3.22) (3.23) (3.24) 式中，设N
32、为奇数，则M=（N-1）/2。及分别表示M阶切比雪夫多项式。并且可用下式表示： （3.25） 式（3.25）的 是为使主瓣幅度为矩形窗的倍，即为4/（2M+1）而引入的参数。当旁瓣的最大值固定时，道尔夫-切比雪夫可使主瓣幅度为最小。另外，该函数的特点是所有的旁瓣振幅都相等。3.1.3 设计实验结果采用矩形窗设计一个FIR 数字低通滤波器。该滤波器的通带截止频率，单位脉冲响应h(n)的长度M= 500。M=500; wc=pi/4;n=0:M-1; r=floor(M-1)/2);nr=n-r+eps*(n-r)=0);hdn=sin(wc*nr)/pi./nr;if rem(M,2)=0 hd
33、n(r+1)=wc/pi;endwn1=boxcar(M); hn1=hdn.*wn1; subplot(2,1,1);stem(n,hn1,.); line(0,20,0,0);xlabel(n),ylabel(h(n),title(矩形窗设计的h(n);%hw1=fft(hn1,512); w1=2*0:511/512;%subplot(2,1,2), plot(w1,20*log10(abs(hw1)hw1,w=freqz(hn1,1); subplot(2,1,2), plot(w/pi,20*log10(abs(hw1);axis(0,0.5,-10,10);xlabel(w/pi)
34、, ylabel(幅度(dB); title(幅度特性(dB);图3.2 M=500时幅度和幅度特性N=21;M=1024;b=fir1(N,0.25,boxcar(N+1);h=freqz(b,1,M);t=0:21;subplot(211);stem(t,b,.);hold on;plot(t,zeros(1,22);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;subplot(212);plot(f,abs(h);grid; 图3.3 M=1024时幅度和幅频特性3.2 FIR滤波器的均方误差最小准则设计为利用式(2.8)和式(2.9)设计线性相位FIR滤波器，当N为奇
35、数时，定义 (3.26)当N为偶数时，定义 （3.27）下面说明当= ，k=0,1,2N-1成立时的设计过程。当然，k=0,1,2，N-1成立时，设计过程也是完全相同的。假定所希望达到的幅频特性为，加权函数为，如将评价函数写成： （3.28）通过以下过程可以求出为最小时的优化系数。 当N为奇数时，令 当N为偶数时，令 则 (3.29)式中，T为转置。进一步令则 如果对称矩阵为正则矩阵，求解 （3.30）即可求得优化系数。另外，对区间0进行适当分割，如果着眼于(k=0,1,N-1)的离散点，则可以用代替评价函数，并用 （3.31）式中，K应选择足够大的数。现在用表示将代入时的c值，并设 则可得到
36、 （3.32） 因而，因而，如果对称矩阵A是正则矩阵，则可得到与式相同形式的一次联立方程，求解该方程即可得到优化解。 评价函数中使用了加权函数，考虑到实际计算，希望在不同区段应为不同的常数。例如，设低通滤波器的过渡带为假如过渡带的特性是任意的，则可取，。该方法同样适用于评价函数。3.3 FIR滤波器的最大误差最小化准则设计下面我们来讨论使通带及阻带的波纹最大值为最小的最大误差最小化评价准则设计线性相位FIR滤波器的有关问题。设理想幅频特性为,权函数为，误差函数为则评价函数为 （3.34）式中，与式（3.26）或式（3.27）中所使用的函数相同。另外，设不需做幅频特性的过渡带中，用表示需对幅频特
37、性作评价的通带。当通带的允许波纹为，阻带的允许波纹为时，设通带的加权为1，阻带的加权为，则可使用通带和阻带即在中、且允许波纹时的设计方法。交错点组原理：设X为区间上任意闭合子集，对于在X上给出的连续函数的最大误差最小化评价条件下，如果一般化的多项式P（x）是f（x）的最优近似： 也就是使误差函数振幅的最大值 为最小的优化近似。优化近似的充要条件是当误差函数为 e(x)=f(x)-P(x)时，P(x)在f(x)上至少存在n+1个交错点。由于函数系（k=0,1，M）满足哈尔条件，所以可用交错点原理求得优化解。式中，当N为奇数时，取M=（N-1）/2,N为偶数时取M=（N-2）/2。要利用交错点组原
38、理决定H（）,就必须求出式（3.33）误差函数的绝对值为最大时的M+2个值，=（i=0,1，M+1）。假定这些可以给出最大误差最小化解，取误差函数的振幅为，即可得到 （3.35）首先考虑N为奇数时的情况，此时M=（N-1）/2，取： 改写式（3.35）即可得到下面的一次联立方程： （3.36）再考虑到函数系（k=0,1，M）满足哈尔条件，从式（3.36）就可以唯一地决定（k=0,1，M）以及Q值。当（i=0,1，M+1）给出最大误差最小化解的优化解时，则式（3.36）成立，但是如果它们不是优化解时，就没必要求解式（3.36）以得到（k=0,1，M）。因而，只需用式（3.36）求Q值，即可得到
39、（3.37） （3.38）另外，当N为偶数时，此时M=（N-2）/2,如果取：则有 （3.39）这种情况下，不需要求解式（3.36），只需求解式（3.39）的一次联立方程即可。将是（3.36）与式（3.39）比较可知，用代替了。但与N为奇数时完全一致，N为偶数时也是从式（3.37）求式（3.39）的Q值，可由式（3.38）给出。通过以上方法求得Q值后，即可求得 （3.40）3.4 FIR滤波器的优化设计最优化设计是指采用最优化准则来设计的方法。在FIR数字滤波器的最优化设计中，最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近（也称最大误差最小化）准则两种。实际设计中，只有采用窗函数法中的矩形
40、窗才能满足前一种最优化准则，但由于吉布斯效应的存在，使其根本不能满足设计的要求。为了满足设计的要求，可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应，但此时的设计已经不能满足该最优化准则了。因此，要完成FIR数字滤波器的最优化设计，只能采用后一种准则来实现。给出M+2个（i=0,1，M+1）和Q时，利用式（3.40）即可决定（i=0,1，M）。因而利用拉格朗日插值公式可以求得（0）。同时又有可能利用这个插值曲线来研究（0）的极大值与极小值。如果误差函数满足，。也就是说，在指定的（i=0,1，M+1）点上，但在指定的点之外的点上，存在的点。Remez交换算法，就是利用插值曲线的极值，重新选定使增加的（i=0
41、,1，M+1）点。这种操作过程可一直延续到不再改变，最终逼近最大误差最小化解，从而求得等波纹滤波器。可以形成极值的点，就是的符号发生改变的地方，荡然它包括极点，也包括端点。利用这种方法，如果选定给出极值的M+2个点，即，（i=0,1，M+1）的点，从该极值就能决定波纹的大小。基于等波纹切比雪夫逼近准则的FIR数字滤波器的优化设计步骤：给出所需的频率响应，加权函数以及滤波器的单位抽样响应h(n)的长度N。由（1）中给定的参数来形成所需的，W表达式。根据Remez算法，求解逼近问题。根据求得的P(w)表达式，利用傅里叶逆变换计算出单位抽样响应h(n)的表达式即可获解。利用数字信号处理工具中的remezord和zemez函数可以实现FIR数字滤波器的优化设计。在此介绍这俩个函数：（1） 功能：利用remezord函数可以通过估算得到滤波器的近似阶数n，归一化频率带边界，频带内幅值及各个频带内的加权系数weights。输入参数为频带边缘频率，a为各个频带所期望的幅度值，dev是各个频带允许的最大波动值。（2） 功能：利用remez函数可以得到优化设计的FIR数字滤波器的h(n)的系数，输入参数n是滤波器的阶数，