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1、 本科生毕业论文（设计）题 目：基于ANSYS的齿轮模态分析目 录第一章 绪论- 1 -1.1课题的研究背景和意义- 1 -1.2 齿轮弯曲应力研究现状- 1 -1.3 齿面接触应力研究现状- 2 -1.4 齿轮固有特性研究现状- 2 -1.5 论文主要研究内容- 3 -第二章 齿轮三维实体建模- 3 -2.1 三维建模软件的选择- 3 -2.2 齿轮参数化建模的基本过程- 4 -2.3 利用pro/e对齿轮进行装配- 5 -第三章 齿轮弯曲应力有限元分析- 6 -3.1齿轮弯曲强度理论及其计算- 6 -3.1.1 齿轮弯曲强度理论- 6 -3.1.2 齿形系数的计算方法- 7 -3.2 齿轮
2、弯曲应力的有限元分析- 8 -3.2.1选择材料及网格单元划分- 8 -3.2.2约束条件和施加载荷- 8 -3.2.3计算求解及后处理- 9 -3.3 齿轮弯曲应力的结果对比- 12 -第四章 齿轮接触应力有限元分析- 13 -4.1经典接触力学方法- 13 -4.2 接触分析有限元法思想- 14 -4.3 ANSYS有限元软件的接触分析- 16 -4.3.1 ANSYS的接触类型与接触方式- 16 -4.3.2 ANSYS的接触算法- 16 -4.4 齿轮有限元接触分析- 17 -4.4.1将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中- 17 -4.4.2 定义单元属性和网格划分- 17 -4
3、.4.3 定义接触对- 18 -4.4.4 约束条件和施加载荷- 18 -4.4.5 定义求解和载荷步选项- 19 -4.4.6 计算求解及后处理- 19 -4.5有限元分析结果与赫兹公式计算结果比较- 21 -第五章 齿轮模态的有限元分析- 22 -5.1 模态分析的必要性- 22 -5.2 齿轮的固有振动分析- 22 -5.3 模态分析理论基础- 22 -5.4 模态分析简介- 24 -5.4.1模态提取方法- 24 -5.4.2模态分析的步骤- 25 -5.5 齿轮的模态分析- 25 -5.5.1 将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中- 25 -5.5.2 定义单元属性和网格划分-
4、25 -5.5.3 加载及求解- 26 -5.5.4扩展模态和模态扩展求解- 26 -5.5.5 查看结果和后处理- 27 -5.6 ANSYS模态结果分析- 28 -第六章 全文总结与展望- 31 -6.1 全文总结- 31 -6.2 本文分析方法的优点- 31 -6.3 本文缺陷及今后改进的方向- 32 -参考文献- 33 -附录1 外文翻译- 34 -附录2 GUI操作步骤- 41 -致 谢- 45 - 45 -绪论第一章 绪论1.1课题的研究背景和意义 本文研究的对象是履带式拖拉机变速箱齿轮。随着履带式拖拉机性能和速度的提高，对变速箱齿轮也提出了更高的要求。改善齿轮传动性能，如提高承载
5、能力、减轻重量、缩小外形尺寸、提高使用寿命和工作可靠性等，成为齿轮设计中的重要内容。履带式拖拉机变速箱齿轮广泛应用的是圆柱齿轮和圆锥齿轮，其中大约90%是直齿圆柱齿轮。变速箱齿轮工作应力很高，结构上要求重量轻、精度高，并具有足够承载能力和可靠性。齿轮传动失效主要发生在轮齿，主要失效形式有轮齿折断、齿面磨损、齿面点蚀、齿面胶合和塑性变形等1。根据齿轮工作特点，在传递功率和运动过程中，轮齿齿根产生弯曲应力，齿面产生接触应力，齿面间相对滑动摩擦而产生磨损。齿轮主要失效特征是弯曲应力作用造成轮齿的变形和折断、接触应力作用而造成的表面疲劳剥落和摩擦作用而造成的磨损。在履带式拖拉机变速箱的维修中，失效齿轮
6、有80%以上是由于面接触疲劳造成的。为了避免由于齿轮接触疲劳而引发的行驶事故，造成不必要的人员伤亡和经济损失，有必要对齿轮的齿面接触应力和齿根弯曲应力进行分析和评估，为变速箱齿轮传动的设计提供依据。齿轮轮体破坏是重载机械齿轮必须避免的一种破坏形式，为避免由于齿轮共振引起的轮体破坏，有必要对齿轮进行固有特性分析，通过调整齿轮的固有振动频率使其共振转速离开工作转速。1.2 齿轮弯曲应力研究现状实验表明，齿轮的工作寿命与最大弯曲应力值的六次方成反比，因此最大弯曲应力略微减小，齿轮工作寿命即会大大提高2。齿轮的最大弯曲应力往往出现在齿轮的齿根过渡曲线处，因此精确计算渐开线齿轮齿根过渡曲线处的应力，进而
7、合理设计过渡曲线，对延长齿轮工作寿命、提高齿轮承载能力至关重要。为了进行齿根弯曲强度计算，分析齿根弯曲状态，必须分析齿根的弯曲应力。因此，分析计算轮齿应力与变形的分布特点和变化规律具有重要的意义。而在渐开线齿轮过渡曲线处，轮齿形状发生变化，产生应力集中现象，会直接影响齿轮的寿命和承载能力。齿轮弯曲应力和变形计算大致有四种方法，即材料力学方法、弹性力学方法、试验分析方法和数值方法3。随着计算技术的迅速发展与广泛应用，以有限元法为代表的数值计算方法为齿轮应力和变形分析提供了一种方便、可靠的研究方法目前齿轮工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法(FDM)、边界元法（BEM)和有限元法(FEM)3
8、。在数值计算方法中最引人注目的是有限元法。有限元法用于齿根应力分析大约起始于二十世纪六十年代末、七十年代初，此后迅速发展，国外不少研究人员如Chabert、Wilcox、户部、Chang、Bibel等都进行过这方面的研究工作因此，在用有限元方法对直齿轮的齿根应力进行分析时，都把它简化为力学中的平面应变问题。1.3 齿面接触应力研究现状 为了进行齿面接触强度计算，分析齿面失效和润滑状态，必须分析齿面的接触应力。经典的齿面接触应力计算公式是建立在弹性力学基础上，而对于齿轮的接触强度计算均以两平行圆柱体对压的赫兹公式为基础。1908年，威迪基(E.Videky)最先把Hertz公式应用于直齿圆柱齿轮
9、的齿面接触强度计算中，明确提出了齿面接触应力的概念，为以后的齿面接触强度计算方法奠定了基础。由于齿轮副啮合齿面的几何形状十分复杂，采用上面的方法准确计算轮齿应力和载荷分配等问题非常困难甚至无法实现。随着计算机的普及，齿轮接触问题的数值解法获得了越来越广泛的应用。数值解法可以求解复杂的齿面接触问题，但不能给出一般性的函数关系。在工程应用上数值解法具有很大的实用价值，己经取得了很多重要成果，例如有限元法、边界元法、有限差分法以及与数值方法相配合的各种变分法、实变函数法、泛函分析法等。在所有这些方法中，有限元法的应用最为广泛，可以求解边界条件、几何形状和载荷方式复杂的工程接触问题。Filiz和Eye
10、rcioglu采用有限元法，对在集中、分布和模拟接触三种载荷形式下的三个轮齿模型进行了应力分析。他们采用三维模型使用自动接触单元对修形、修形和偏斜安装等不同情况的齿轮啮合进行了分析。1.4 齿轮固有特性研究现状齿轮副在工作时，在内部和外部激励下将发生机械振动。振动系统的固有特性，一般包括固有频率和主振型，它是系统的动态特性之一，同时也可以作为其它动力学分析的起点，对系统的动态响应、动载荷的产生与传递以及系统振动的形式等都具有重要的影响。在进行结构设计时，使激振力的频率与系统的固有频率错开，可以有效的避免共振的发生。然而，在齿轮的设计阶段，往往很难得到齿轮固有特性的实验数据，只能通过理论计算得到
11、进行动力学分析的参数，目前最好的方法是有限元分析法。对齿轮进行模态分析方面4，叶友东等研究了直齿圆柱齿轮的固有特性，采用有限元法建立了直齿圆柱齿轮的动力学模型，通过有限元分析软件ANSYS对齿轮进行了模态分析，得到了齿轮的低阶固有频率和主振型，为齿轮系统的动态响应计算和分析奠定了基础。陶泽光等建立了单级齿轮减速器的有限元模型，用I-DEAS软件研究了该系统的固有特性。马红采用有限元法分析了齿轮-轴承-转子系统的弯扭耦合振动，讨论了弯扭藕合对系统固有频率、振型及稳定性的影响。Choy等人提出了一个分析方法来模拟齿轮转动系统中的振动，该方法把转子-轴承-齿轮系统的动态特性同齿轮箱结构的振动相耦合，
12、用有限元模型表示齿轮箱结构，使用NASTRAN软件求解模态参数。杨晓宇建立了齿轮传动系统和结构系统的三维动力有限元模型，计算了由齿轮-传动轴-轴承-箱体组成的齿轮系统的动态响应，给出了齿轮箱受迫振动的位移-时间历程，并对整个齿轮系统进行了试验模态分析。刘辉等研究了斜齿轮体的固有振动特性并归纳了齿轮本体和轮齿的主要振型类型，分析了齿轮本体结构对固有频率的影响以及相邻齿对轮齿模态特性的影响，所得结论为动态设计提供参考。于英华等采用Pro/E软件实现斜齿轮的参数化建模并利用ANSYS有限元软件对斜齿轮进行模态分析，研究斜齿轮的固有振动特性，得到了斜齿轮的低阶固有振动频率和主振型。1.5 论文主要研究
13、内容开发用于履带式拖拉机变速箱齿轮的设计平台，在此平台上完成齿轮的三维模型设计，对轮齿进行弯曲和接触有限元分析，获得齿轮弯曲应力和接触应力，为齿轮的参数设计和工作可靠性提供依据。最后对齿轮进行固有特性分析，得到系统的固有频率和主振型，具体研究内容如下：1.建立直齿圆柱齿轮的三维实体模型利用Pro/e软件强大参数建模方法建立渐开线齿轮的三维实体模型。2.轮齿弯曲应力分析利用Pro/e与ANSYS软件之间良好的数据交换接口，将Pro/e中的齿轮以IGES格式文件导入到ANSYS中划分网格生成有限元模型，并施加约束和载荷，最终求解可获得齿轮的弯曲应力。3.齿面接触应力分析将Pro/e中的一对齿轮以I
14、GES格式文件导入到ANSYS中生成有限元模型并设置合理的接触对，再施加约束和载荷，运用完全牛顿-拉普森迭代算法对考虑摩擦的齿轮进行接触应力的静力学求解，并与传统的计算方法进行对比验证。4.齿轮系统的模态分析在ANSYS中对齿轮副进行模态分析，利用Block Lanczos法提取系统的低价固有频率和主振型。为了避免齿轮传动系统发生共振，激振力的频率应与系统的固有频率错开。第二章 齿轮三维实体建模2.1 三维建模软件的选择ANSYS 软件是集结构、热、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元分析软件。虽然ANSYS 本身具有建模功能，但是其建模能力非常有限，只能处理一些相对简单的模型
15、。随着ANSYS 的应用日益广泛，它需要处理的模型也越来越复杂，ANSYS 自带的建模功能就显得非常不足，Pro/e拥有强大的参数化设计能力，可以进行复杂的实体造型。所以，利用ANSYS 与Pro/e 软件之间的模型数据转换，就可以充分齿轮三维实体建模发挥Pro/e 软件强大的造型能力与ANSYS 软件强大的分析功能。在有限元分析过程中，建模是非常关键的步骤，模型是否准确将直接影响计算结果的正确性，如果模型错误或者误差太大，即使算法再精确，得到的分析结果将是错误的。一个渐开线轮齿，其截面曲线是由齿顶圆、渐开线、齿根过渡曲线和齿根圆四部分组成。建模的关键是如何获得精确的齿面曲线方程及如何生成齿面
16、曲线。表2-1为齿轮的基本参数。表2-1 齿轮的基本参数齿轮模数Mn齿数Z压力角Alpha螺旋角Beta齿宽B齿顶高系数Hax顶隙系数Cx变位系数X齿轮12.520200141.00.20齿轮22.546200151.00.202.2 齿轮参数化建模的基本过程 (1)创建齿轮参数及驱动方程，并绘制齿轮基本圆 启动Proe之后，建立一个新文件，文件类型选择为零件，子类型为实体，文件名为gear1。利用“工具”“参数”命令，设置标准直齿圆柱齿轮的基本参数，在以后的零件设计中，可直接调用这些参数，达到参数化设计的目的，这样能有效的提高设计效率，避免重复性工作。齿轮模型添加的参数按表2-1所示齿轮的参
17、数添加。利用“工具”“关系”命令，在关系对话框中添加关系式5：d=m*zdb=d*cos(alpha)da=d+2*m*hadf=d-2*m*(ha+c)利用“草绘”命令，选择Front面作为草绘平面，绘制4个同心圆，分别为分度圆、齿顶圆、齿根圆和基圆，定义它们的直径分别为d、da、df和db。确定后，就可重新生成新的尺寸。(2)创建一个渐开线齿廓曲线利用“曲线”“从方程”命令，在记事本中输入以下关系式，即可生成一个渐开线齿廓曲线。在笛卡尔坐标系下输人下列方程5：x=t*sqrt(da/db)2-1)y=180/pir=0.5*db*sqrt(1+x2)theta=x*y-atan(x)z=0
18、 绘制出一侧的渐开线后即可“镜像”出齿轮另一侧的渐开线，从而生成渐开线齿廓曲线，如图2-1所示。然后对齿廓曲线进行“倒角”等处理，继而由“拉伸”和“实体化”功能，可产生第一个齿形轮廓的完整三维实体造型，如图2-2所示。 图2-1 创建4个圆 图2-2 创建一个轮齿(3)创建完整的直齿轮运用“特征操作”“复制”命令将创建的一个齿糟绕齿轮中心轴旋转360/Z创建副本，然后利用“阵列”命令生成其它的齿廓，如图2-3所示。然后可以利用“拉伸工具”“去除材料”命令，创建齿轮轮毂和腹板等。再开键槽、倒角，最终生成直齿轮模型，如图2-4所示。 图2-3 齿轮胚体 图2-4 齿轮1模型图 (4)实现齿轮参数化
19、的自动生成第(1)步中确定的控制参数是可以实现模型参数的改变。当齿轮设计要求改变时，其结构尺寸也应作相应改变以满足新的需要，为达到这一要求，只需要修改特征参数即可将前述实体模型转换为满足要求的齿轮。从设计角度上极大地提高没计者的工作效率，能更加快捷地参与到后续的有限元分析工作。2.3 利用pro/e对齿轮进行装配 （1）对齿轮2进行三维实体造型 因为齿轮2的齿数为46，大于42，无法利用齿轮1的模型进行重生成，启动Pro/齿轮弯曲应力有限元分析e之后，命名文件为gear2。利用上述操作构建齿轮2的三维实体造型。完成后退出Proe。（2）装配前的准备启动ProE之后，建立一个新文件，文件类型选择
20、为组件，子类型为实体，文件名为gear。接着创建2条相互平行的线和，2条线之间的距离为，如图2-5所示。（3）齿轮的装配首先调入gear1，使齿轮1的轴线与对齐，中心面和FRONT面对齐。接着调入gaer2，使齿轮2的轴线与对齐，并且使齿轮2的中心面和FRONT面对齐即可。具体装配体如图2-6所示。图2-5 创建2条中心线 图2-6 齿轮装配图第三章 齿轮弯曲应力有限元分析表3-1 齿轮材料特性材料弹性模量E泊松比密度齿轮40Cr206GPa0.287.8kg/3.1齿轮弯曲强度理论及其计算3.1.1 齿轮弯曲强度理论目前的齿轮弯曲强度计算公式是以路易斯所提出的计算公式为基础，采用各种系数修正
21、材料强度和齿轮的载荷，并考虑齿轮精度的影响，以接近临界载荷的计算法作为主要的方法6。路易斯的计算法是把轮齿当作与其内切的抛物线梁来考虑的，以这个抛物线梁的弯曲应力作为齿根应力。如图3-1所示，垂直于齿面的载荷作用线和齿形中心线的交点A是抛物线的顶点，连接齿形的内切抛物线和齿根过渡曲线的切点的断面BC即是危险断面。当弯曲载荷作用在抛物线梁的顶端时，该梁断面上无论那个位置的最大应力都是相等的，因此，可以把抛物线在齿形的内切位置作为危险断面，而在这个危险断面的位置上考虑弯曲应力。在图3-1中，如齿面法向载荷为；危险断面齿厚为；从内切抛物线梁顶端到危险断面的高度为；齿宽为b，模数为m时，则齿根应力如下
22、式： (2-1)式中： 图3-1 路易斯法 图3-2 切线法3.1.2 齿形系数的计算方法 在计算渐开线齿轮的齿根应力时，不能像计算简单的悬臂梁的弯曲应力那样给定梁的参数。目前计算方法有霍法(HHofer)提出的切线法7。该法如图3-2所示，连接与齿形中心线成的直线在齿根圆角处的切点的平面作为危险断面，取载荷作用线和齿形中心线的交点与危险断面的距离作为梁的高度，利用内切抛物线法的齿形系数计算式计算系数值。有限元法与经典的解析法不同。在经典的解析法中，通常都是从研究连续体中微元体的性质着手，在分析中允许微元体无限多而它的大小趋近于零，从而得到描述弹性体性质的偏微分方程，求解微分方程可以得到一个解
23、析解。这种解是一个数学表达式，它给出物体内每一点上所要求的未知量的值。然而，对于大多数工程实际问题，由于物体的几何形状的不规则，材料的非线性或不均匀等原因，要得到问题的解析解，往往十分困难。有限元法则从研究有限大小的单元力学特性着手，最后得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。应用现成的计算方法，总是可以得到在节点处需要求解的未知量的近似值。3.2 齿轮弯曲应力的有限元分析大小齿轮材料相同，接触应力在两相互啮合齿轮的齿面上大小相同，而对于没对接触的齿来说，小齿轮的齿根应力均大于大齿轮的齿根应力，所以在进行齿根弯曲强度校核的时候只需对小齿轮进行校核即可。齿轮弯曲应力的限元分析的步骤为：1选择材料
24、及网格单元划分； 2 约束条件和施加载荷； 3计算求解及后处理8。3.2.1选择材料及网格单元划分首先打开软件ANSYS11.0，改文件名为“Bending stress”，并将标题名改为“Bending Anasys of a gear”；启动PRO/E，打开gear1，.将文件保存IGES格式文件副本；将gear1.igs导入到ANSYS11.0中；根据计算对象的具体情况(边界变化情况、应力变化情况等)、计算的精度要求、计算机容量大小、计算的经济性，以及是否有合适的程序等等因素进行全面分析比较，选择合适的单元形式。为了提高计算精度并减少计算量，选择单元类型为8节点四面体单元So1id45；
25、定义材料的弹性模量E，泊松比，密度。其中弹性模量E=206GPa ，泊松比= 0.28，密度=7.8kg/。对齿轮进行网格单元划分。选择自由网格划分方式。网格划分结果见图3-3。图3-3 列表显示节点数和单元数3.2.2约束条件和施加载荷施加边界约束条件是有限元分析过程中的重要一环。边界条件是根据物理模型的实际工况在有限元分析模型边界节点上施加的必要约束。边界约束条件的准确度直接影响有限元分析的结果。在有限元分析中确定边界条件一般应做到以下几条：要施加足够的约束，保证模型不产生刚体位移；施加的边界条件必须符合物理模型的实际工况；力求简单直观，便于计算分析。轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大。根据
26、分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对啮合区最高点。因此，齿根弯曲强度也应该按载荷作用于单对啮合区最高点来计算。由于这种算法比较复杂，通常只用于高精度的齿轮传动。为了便于计算和施加载荷，通常将全部载荷作用于齿顶，作用方向为齿顶圆压力角。为了加载方便，将沿啮合线作用在齿面上的法向载荷在节点处分解为2个相互垂直的分力，即圆周力与径向力。载荷的大小9可以根据设计承载的扭矩按公式求得。 （3-1） （3-2）式中，为圆周力；为径向力；T为扭矩；d为载荷作用点处齿轮直径。施加位移约束：对齿轮内孔分别对X、Y、Z三个方向上的平动和转动进行约束。施加载荷：对齿轮其中一个轮齿的齿顶圆上的节点施加圆周
27、力与径向力。每个节点上施加的力9按式（3-3）和（3-4）计算。其中圆周力为6496N，径向力为2364.25N，单个轮齿的齿顶圆上的节点数为16个，故求得=147.77N,=406N。施加约束和载荷具 体结果见图3-4所示。 图3-4 施加约束和载荷 （3-3） （3-4）3.2.3计算求解及后处理有限元模型的求解不是目的，求解得出的数学模型的计算结果才是所关心的。ANSYS提供了2个后处理器：通用后处理器和时间历程后处理器。本文对齿轮进行的是静态分析，采用通用后处理器对求解结果进行后处理。利用ANSYS求解器对齿轮进行求解：采用通用后处理器对齿轮分析结果进行显示。（1）浏览节点各分量的位移
28、和应力值。依次选择Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，弹出【Contour Nodal Solution Data】对话框。在【Item to be contoured】列表框中分别选择“DOF Solution”和“stress”选项，再在“DOF Solution”和“stress” 选项中分别选择X,Y,Z三个方向，单击OK按钮，生成结果如图3-5图3-10所示。 图3-5 齿轮1X方向位移 图3-6 齿轮1X方向应力 图3-7 齿轮1Y方向位移 图3-8 齿轮1Y方向应力 图3-9 齿轮1Z方向位移 图
29、3-10齿轮1Z方向应力（2）浏览节点上的等效应变和应力值。依次选择Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，弹出【Contour Nodal Solution Data】对话框。在【Item to be contoured】列表框中分别选择“DOF Solution”和“stress”选项”，接着分别选择“Displacement vector sum”和“von Mises stress”选项，单击OK按钮，生成结果如图3-11和图3-12所示。图3-11 Displacement vector sum(位移矢量
30、图)图3-12 von Mises 等效应力图（3）列出节点的列表结果。依次选择Main Menu General Postproc List Result Nodal Solution，弹出【List Nodal Solution】对话框。在【Item to be listed】齿轮接触应力有限元分析列表中选择“Stress”选项和“von Mises stress”选项，单击【OK】按钮。每个单元角节点的6个应力分量将以列表的形式显示，如图3-13所示。图3-13 列表显示节点结果3.3 齿轮弯曲应力的结果对比Von Mises是一种屈服准则,它遵循材料力学第四强度理论(形状改变比能理论)
31、10。由图3-10可得，齿轮在外力的作用下齿轮的最大变形量为0.026217cm，变形量不大；由图3-11可得，齿轮在外力的作用下齿轮的最大应力为669.066MPa。齿轮的需用弯曲应力为722.9MP，因此符合强度要求。除了齿顶圆上的最大应力，其他部分的应力分布远远小于许用应力。由由图3-11可得最大应力分布在齿顶圆施加载荷的地方，而不是出现在传统的齿根部分，这可能是由于在齿顶圆的线宽上出现了应力集中。用传统方法计算了齿根弯曲疲劳强度1，按式（3-5）计算可得齿根弯曲疲劳强度为454MPa。有限元分析的弯曲应力的结果和传统方法的结果具体见表3-2所示。 （3-5）表3-2 结果比较有限元法传
32、统方法整个轮齿669.066MPa454MP阿齿根223.023MPa454MPa 由上表可知，有限元法分析的是整个轮齿的应力分布情况，而传统方法只能计算齿根处的弯曲应力，没有将齿顶处的应力集中考虑在内；对于齿根处的弯曲应力，从图3-11中可以看出齿根处得应力为223.023左右，而传统方法计算为454MPa，用传统方法得到的结果具有一定的裕度。第四章 齿轮接触应力有限元分析4.1经典接触力学方法渐开线齿轮齿面为形状较为复杂的曲面。然而由于接触区宽度远小于齿面在接触点的曲率半径，因而可对啮合齿面作适当简化。Weck等人的试验结果表明:当运转条件相同时，轮齿间的接触状态可用一对滚子来模拟，所以图
33、4-1中的一对轮齿之间的啮合可以转换为如图4-2所示的两个圆柱体沿其母线的接触，两圆柱体的半径分别与啮合点大小齿轮的齿面曲率半径相等11。在法向压力Fn作用下，由于接触表面局部弹性变形，形成宽为2b，长为L的长方形接触面，如图 所示。根据赫兹公式1，使用公式（4-1）计算赫兹半宽b。 （4-1）式中: 、分别是两圆柱材料的弹性模量， 、是两圆柱材料的泊松比。接触表面上所承受的压力是处处不等的，此压力向量的分布呈半椭圆柱形。最大压力发生在初始接触线处的各点上，并等于平均压力的/4 。若接触应力为，则接触面上压力的合力为 。接触面上的应力应与外力平衡，故有： （4-2） （4-3）接触应力的基本公
34、式如下： （4-4）图4-1 齿轮啮合图 图4-2 两圆柱体接触4.2 接触分析有限元法思想弹性接触问题属于边界非线性问题，其中既有接触区变化引起的非线性，又有接触压力分布变化引起的非线性以及摩擦作用产生的非线性，求解过程是搜寻准确的接触状态的反复迭代过程12。为此，需要先假定一个可能的接触状态，然后带入定解条件，得到接触点的接触内力和位移，判断是否满足接触条件。当不满足接触条件时修改接触点的接触状态重新求解，直到所有接触点都满足接触条件为止。接触过程通常是依赖于时间的，并伴随着材料非线性和几何非线性的变化过程。特别是在接触过程中，接触界面的区域和形状以及接触界面上的运动学和动力学的状态也是未
35、知的。这些特点决定了接触问题通常采用增量方法求解。所谓增量解法，是首先将载荷分为若干步，相应的位移也分为若干步，。每两步之间的增长量为增量。增量解法的一般做法是假设第m步载荷和相应的位移己知，而后载荷增加为，再求解，。如果每步载荷增量足够小，则解的收敛性是可以保证的。同时，可以得到加载过程中各个阶段的中间值数值结果，便于研究结构位移和应力等随着载荷变化的情况。图4-3表示了用NewtonR即hson方法求解增量方程的过程。根据接触状态的判定条件，接触条件都是不等式约束，也称之为单边约束。此外，接触面的范围和接触状态也是未知的，所以如何将接触面条件适当的引入求解过程是接触问题求解的关键。鉴于接触
36、问题的特殊性，求解过程需要采用试探一校核的迭代方法进行，每一增量步的迭代过程12可一般性的表述如下：(l)根据前一增量步的结果和当前增量步给定的载荷条件，通过接触状态的检查和搜索，假设此增量步第一次迭代求解的接触区域和接触状态指两物体的“粘着”或“滑动”状态。(2)根据上述对接触面区域和状态所作的假设，对于接触面上的每一点，将运动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程并进行求解。(3)利用接触面上的计算结果和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式约束条件作为校核条件对假定的接触状态进行检查。如果接触面上的每一点都不违反校核条件，则完成本增量步的求解并转入下一增量步的计算;
37、否则修改接触状态，回到步骤。(4)再次进行搜寻和迭代求解，直至每一点的解都满足校核条件。然后再转入下一增量步的求解。 图4-3 用N一R法解增量方程 综合以上的分析，给出接触问题求解算法的一般流程图(见图4-4)，以方便理解其整个求解过程。输入模型定义接触体输入增量步检查接触状态定义接触约束施加载荷装配刚度矩阵施加接触约束平衡方程求解应力计算更新接触约束是否收敛穿透是否合适是否最后增量步结束是是是否否迭代细分增量步是否最后增量步图4-4 求解算法的流程图4.3 ANSYS有限元软件的接触分析4.3.1 ANSYS的接触类型与接触方式ANSYS软件提供了两种接触类型13:刚体一柔体接触与柔体一柔
38、体接触。刚体一柔体接触，适用于两接触面的刚度相差较大的物体间接触，假定刚度较大的面是刚体。一般情况下，一种软材料和一种硬材料的接触可被假定为此类接触;柔体一柔体接触是一种更普遍的类型，它假定两接触体均为变形体，适用于两个弹性模量和结构刚性比较接近的物体间接触。本文中分析的一对啮合齿轮材料相同，有近似的刚度，故采用柔体一柔体接触。ANSYS软件支持三种接触方式13：点一点接触、点一面接触与面一面接触。点一点接触主要用于模拟点一点的接触行为，用户需预先知道确切的接触位置，只适于模拟接触面间有较小相对滑动的情况。点一面接触允许接触面上某一节点和被接触体上的某一单元相接触，不需预先知道确切的接触位置，
39、接触面之间也不需要保持一致的网格，并且允许有热传导、有大的变形和大的相对滑动等非线性行为。面一面接触方式，计算量相对较少，适合于复杂表面、大变形、含摩擦力的接触问题求解。圆柱齿轮传动过程中，由于接触部刚度的变化，导致齿面的接触实际上是发生在接触线附近有限的面上。接触面上的节置在发生相互作用时并不固定，且存在齿面的相对滑动，显然点一点型不适合用于轮的接触分析。点一面型可以指定接触面为一组节点，从而代替面一面型接触。但是面-面单元与点一面单元相比有许多优点，例如:没有刚体表面形状限制，允许有自或网格离散引起的表面不连续;支持有大滑动和摩擦的大变形，协调刚度阵计算，提供不对称刚度选项;提供为工程目的
40、所采用的更好的接触结果，如法向应力和摩擦应力。综合以上，选用面一面单元进行齿轮的接触分析比较合理。4.3.2 ANSYS的接触算法ANSYS在对接触问题的求解上提供三类算法14:拉格朗日乘子(Lagrangemethod)，罚函数法 (penaltymethod)和增广拉格朗日乘子法(AugmentedLagrangemethod)，下面对这三种算法作简单的介绍。(l)拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法通过增加一个独立自由度，即接触压力，来满足无穿透条件，不需要定义人为的接触刚度去满足接触面间不可穿透的条件，可以直接实现穿透为零的真实接触条件，计算结果较精确。但是该方法增加了系统变量数目，并使刚度阵
41、中出现了对角线元素为零的子矩阵，需要实施额外的操作才能保证计算精度，给计算带来麻烦，这对圆柱齿轮这类三维接触问题尤为不利。还有一个可能发生的严重问题，就是在接触状态发生变化时，接触力有个突变，接触状态的振动式交替改变，如何控制这种改变是纯粹的拉格朗日算法所难以解决的。这种算法主要用于采用特殊的界面单元描述接触的问题分析。该方法限制了接触物体之间的相对运动量，并需要预先知道接触发生的确切位置，以便施加界面单元。(2)罚函数法罚函数法是一种近似方法，它允许相互接触的边界产生穿透并通过罚因子将接触力和边界穿透量联系起来。罚因子出现在刚度矩阵中与接触面上的节点有关的那部分子矩阵的对角线元素上，克服了拉
42、格朗日乘子法中出现零对角线矩阵的缺点。但是若罚因子太大，在计算接触应力时会产生高频震荡，容易出现计算不收敛的情况。并且在罚函数法中，罚因子趋向无穷时，接触条件方能精确满足，而实际计算时只能取有限值，因此接触条件只能近似满足。（3）增广拉格朗日乘子法将罚函数和拉格朗日乘子法结合起来施加接触协调条件称为增强的拉格朗日法。在迭代的开始，接触协调条件由罚刚度决定。一旦达到平衡，就检查穿透量。如果迭代中发现穿透量大于最大允许穿透值(使用FTOLN值控制)，则将各个接触单元的接触刚度加上接触力乘以拉格朗日乘子的数值，继续进行迭代。增强的拉格朗日算法是为了找到精确的拉格朗日乘子而对罚函数的接触刚度反复修改并
43、迭代求解，直到计算的穿透值小于允许值为止。尽管与拉格朗日法相比，扩展拉格朗日法的穿透并不为零，与罚函数法相比，可能迭带次数会更多。但是，与前两种算法相比，扩展拉格朗日法有下列优点:l)不易引起病态条件，对接触刚度的敏感性小。2)与罚函数法相比较少病态，与单纯的拉格朗日法相比，没有刚度阵零对角元。因此在选择求解器上没有限制。3)用户可以自由控制允许的穿透值。通过上述的分析可以看出，对于三维斜齿轮接触问题的求解算法，最适合的应该是增广拉格朗日乘子法。此算法通过拉格朗日乘子迭代，最终求得满足精度要求的接触力，而在整个过程中不增加总体方程的未知数个数，而且通过迭代求解大大降低了对罚刚度值选取的要求，同
44、时数值实施较方便，接触条件能精确满足。4.4 齿轮有限元接触分析 齿轮接触应力的限元分析的步骤为：1将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中 2定义单元属性和网格划分 3定义接触对 4 约束条件和施加载荷 5 定义求解和载荷步选项 5 计算求解及后处理15。4.4.1将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中启动PRO/E，打开gear.asm，.将文件保存IGES格式文件副本。4.4.2 定义单元属性和网格划分选用六面体八节点单元solid45 进行网格划分。其力学特性为弹性模量E=206GPa ，泊松比= 0.28，密度=7.8kg/，摩擦系数为f=0.3。利用Meshtool 自由划分，并利用网格划分控制对局部网格尺寸进行控制。对总体单元大小和面单元大小的长度设置为3。网格划分结果见图