《高中数学学案：2.2.2等差数列的前N项和课堂探究学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学学案：2.2.2等差数列的前N项和课堂探究学案.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 2.2.22.2.2 等差数列的前等差数列的前 N N 项和项和 课堂探究课堂探究 一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 剖析：剖析：(1)当等差数列an有偶数项时，设项数为 2n，设S偶a2a4a6a2n，S奇a1a3a5a2n1，得S偶S奇nd，得S偶S奇S2n，得S偶S奇n2(a2a2n)n2(a1a2n1)2an12anan1an(2)当等差数列an有奇数项时，设项数为 2n1，设S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，得S奇S偶a1ndan1，得S偶S奇S2n1(2n1)an+1，得S奇S偶n12(a1a2n1)n2(a2
2、a2n)(n1)an1nan1n1n 综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：(1)项数为 2n时，S偶S奇nd，S偶S奇S2n，S偶S奇an1an(2)项数为 2n1 时，S奇S偶a1ndan+1，S偶S奇S2n+1(2n1)an+1，S奇S偶(n1)an1nan1n1n 熟练运用这些性质，可以提高解题速度 知识链接：知识链接：除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有：等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列 若Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列等价于Snn是等差数列 若an，bn都为等差数列，Sn，Sn为它们的前n项和，则ambmS
3、2m1S2m1 二、教材中的二、教材中的“？”2 如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？剖析剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值因为该数列的通项公式为an4n32，其各项为28，24，4，0，4，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n的值为 7 或 8 三、教材中的三、教材中的“思考与讨论思考与讨论”1 1如果已知数列an的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析剖析：确定了，由公式an来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n1 的情况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式
4、 2 2如果一个数列的前n项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析剖析：等差数列前n项和公式变形为Snd2n2(a1d2)n当d0 时，是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列的通项公式是an 只有当c0 时，a1abc才满足an2anab因此，当数列的前n项和公式为Snan2bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d2a 题型一题型一等差数列的前等差数列的前n n项和公式的直接应用项和公式的直接应用【例例 1 1】在等差数列an中，(1)已知a1030，a2050，Sn242，
5、求n；(2)已知S824，S1284，求a1和d；(3)已知a620，S510，求a8和S8；(4)已知a163，求S31 分析分析：在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量 解：解：(1)由得 Sn242，12nn(n1)22242 解得n11 或n22(舍去)n11 11,1,2,nnS nSSn,1,2,2.abc nanab n101201930,1950.aadaad112,2.ad3(2)由得 a14，d2(3)由得 a8a62d32，S88(a1a8)288(4)S31a1a31231a163193 反思：反思：在等
6、差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质 题型二题型二S Sn n与与a an n的关系问题的关系问题【例例 2 2】(2013广东高考，文 19 改编)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna2n14n1，nN N，且a23(1)证明：a24a15；(2)求数列an的通项公式 分析：分析：(1)对条件中的等式赋值n1 即可；(2)由anSnSn1(n2)这一关系得出数列中项之间的关系即可(1)证明：证明：当n1 时，4a15，4a15 a
7、n0，a24a15(2)解：解：当n2 时，4Sn14(n1)1，4Sn4n1，由，得 4an4Sn4Sn14，4an4(an2)2 an0，an+1an2，当n2 时，an是公差d2 的等差数列 a2，a5，a14构成等比数列，a2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23 由(1)可知，4a154，a11 a2a1312，an是首项a11，公差d2 的等差数列 8112182824,126684SadSad14,2.ad 6151520,51010aadSad110,6.ad 22a22a2na21na21na2na21na2na25a22a4 数列an的通项公式为an2n1 反思反
8、思：利用an求an时，切记验证n1 时的情形是否符合n2 时an的表达式 题型三题型三等差数列前等差数列前n n项和性质的应用项和性质的应用【例例 3 3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的中间项及项数 分析分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系 解：解：设等差数列an共有(2n1)项，则奇数项有(n1)项，偶数项有n项，中间项是第(n1)项，即an+1 S奇S偶12(a1a2n1)(n1)12(a2a2n)n(n1)an1nan1n1n443343，得n3 2n17 又S奇(n1)an+
9、144，an+111 故这个数列的中间项为 11，共有 7 项 反思：反思：在等差数列an中，(1)若项数为 2n1(nN N+)，则S奇S偶n1n，其中S奇(n1)an+1，S偶nan+1；(2)若数列项数为 2n(nN N)，则S偶S奇nd 题型四题型四等差数列前等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题【例例 4 4】在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值 分析分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an0，an10 或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项 解：解：解法一：由S17S9，得 2517172(171)d25992(91)d，解得d2，Sn25nn
10、2(n1)(2)(n13)2169，由二次函数的性质得当n13 时，Sn有最大值 169 解法二：先求出d2(解法一)a1250，11,1,2nnS nSSn5 由得 当n13 时，Sn有最大值 169 解法三：先求出d2(同解法一)由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140 d20，a10，a130，a140 故n13 时，Sn有最大值 169 解法四：先求出d2(同解法一)得Sn的图象如图所示，由S17S9知图象的对称轴n917213，当n13 时，Sn取得最大值 169 反思：反思：本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题
11、，方法迥异，殊途同归 解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于Snd2n2(a1d2)n是关于n的二次式，因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值，但要注意这里的nN N+(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小)(3)通项法：由于SnSn1an，所以当an0 时，SnSn1；当an0 时，SnSn1，因此当a10 且d0 时，使an0 的最大的n的值，使Sn最大；当a10，d0 时，满足an0 的最大的n的值，使Sn最小 题型五题型五易错辨析易错辨析【例例 5 5】若数列an的前n项和为Sn3n22n1，求数列an的通项公式，
12、并判断它是否为等差数列 错解：错解：anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5，1252(1)0,2520nnanan6 an1an6(n1)5(6n5)6(常数)数列an是等差数列 错因分析：错因分析：错解忽略了anSnSn1成立的条件“n2”正解：正解：当n2 时，anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)1 6n5 当n1 时，a1S12，an 数列an不是等差数列【例例 6 6】已知两个等差数列an与bn，它们的前n项和的比SnSnn3n1，求a10b10 错解：错解：设Snk(n3)，Snk(n1)，则a10b10S10S9S10S9k(103)k(93)k(101)k(91)1 错因分析：错因分析：错解由于错误地设出了Snk(n3)，Snk(n1)，从而导致结论错误 正解正解 1 1：利用等差数列的性质，得a10b10192(a1a19)192(b1b19)S19S191931911110 正解正解 2 2：设Snkn(n3)，Snkn(n1)，所以a10b10S10S9S10S9k10(103)k9(93)k10(101)k9(91)1110 2,1,652.nnn