《高中数学学案：1.3.2奇偶性课堂导学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学学案：1.3.2奇偶性课堂导学案.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 1.3.21.3.2 奇偶性奇偶性 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、函数的奇偶性概念【例 1】判断下列论断是否正确：(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数为偶函数.思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看 f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.二、函数奇偶性的判断【例 2】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+;(2)f
2、(x)=+;(3)f(x)=;(4)f(x)=kx+b(k0);(5)f(x)=x+(a0);(6)f(x)=ax2+bx+c(a0).解：(1)由得 x=1，函数定义域为x|x=1.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.(2)由得 x2=1，函 数 定 义 域 为 x|x=1.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.(3)函数定义域为x|x0且 f(-x)=-f(x).f(x)为奇函数.(4)函数定义域为 R，当 b=0 时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当 b0 时，为非奇非偶函数.(5)函数定义域为x|x0，且 f(-x)=-x-=-f(x).
3、函数为奇函数.(6)函数定义域为 R，当 b=0 时，f(-x)=f(x)为偶函数；b0 时，为非奇非偶函数.温馨提示温馨提示 1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看 f(-x)与 f(x)的关系，即 f(-x)=f(x)或 f(-x)f(x)=0.也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断.2.若定义域关于原点对称，且 f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.1xx112x21xxx|xa01,01xx,01,0122xxxx|xa2 3.一次函数 y=kx+b 为奇函数b=0.4.二次函数 y=ax2+bx+c 为偶函数b=0.【例 3】已知函数 f(x)是定义在(-,
4、+)上的奇函数，当 x0 时，f(x)=x(1+),求：(1)f(-8);(2)x0,f(x)=x(1+),所求的 f(-8)、x0 时的 f(x)最终要利用奇偶性化归为 f(8)、f(-x)来表示.解：由于函数是定义在(-,+)上的奇函数，因此对于任意的 x 都有 f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x).(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+)=8(1+2)=24,f(-8)=-f(8)=-8(1+)=-8(1+2)=-24.(2)当 x0,f(-x)=-x(1+)=-x(1-),f(x)=-x(1-)=x(1-).三、函数奇偶性的应用举例【例 4】已知 f(x)是偶函数
5、，而且在(0,+)上是减函数，判断 f(x)在(-,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.解：f(x)在(-,0)上是增函数.证明如下：设 x1x2-x20,f(-x1)f(-x2).由于 f(x)是偶函数，因此 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2).f(x1)0 时，则-x0,f(-x)=-x1+(-x)=-x(1-x)=-f(x),当 x0,f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x).于是 f(-x)=f(-x)=-f(x)，故 f(x)是奇函数.类题演练类题演练 3
6、3 若 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数，且 x0 时，f(x)=2x(1-x),求 f(x)的解析式.解析：设 x0,f(x)是奇函数，f(-x)=-2x(1+x),f(x)=2x(1+x).f(0)=0,f(x)=变式提升变式提升 3 3 设函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0,f(x)=x2-2x+3,试求出 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.解析：f(x)是 R 上的奇函数，f(0)=0.当 x0,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3),f(x)=其图象如右上图所示.由图象得单调增区间是（-,-1），1,+，单调减区间是-1,0
7、,(0,1).类题演练类题演练 4 4 已知 f(x)是偶函数，而且 f(x)在a,b上是增函数，判断 f(x)在-b,-a上是增函数还是减函数，并证明.解析：减函数.证明如下：设-b,-a上任意两个自变量 x1,x2，且 x1-x1-x2a,f(x)在a,b上是增函数，).0(),1(),0(),1(xxxxxx.0),1(2,0),1(2xxxxxx.0,32,0,0,0,3222xxxxxxx5 f(-x1)f(-x2).f(x)是偶函数，f(x1)f(x2),f(x)在-b,-a上是减函数.变式提升变式提升 4 4 若 f(x)是 R 上的偶函数，且在0,+上是减函数，求满足 f()f
8、(m)的实数 m 的取值范围.解析：f()f(m)f()|m|,-m.类题演练类题演练 5 5（2006 全国文，13）已知函数 f(x)=a-,若 f(x)为奇函数，则 a=_.解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解 a-=-(a-),得 a=.答案:变式提升变式提升 5 5 已知奇函数 y=f(x)在(0,+)上是增函数,且 f(x)0,试问 F(x)=在(-,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解：减函数.证明如下:任取 x1,x2(-,0),且 x1-x20,y=f(x)在(0,+)上是增函数,且 f(x)0,f(-x2)f(-x1)0,又f(x)是奇函数,f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),-f(x2)-f(x1)f(x1)0,F(x1)-F(x2)=-=0,即 F(x1)F(x2),F(x)=在（-,0）上是减函数.121x121x121x2121)(1xf)(11xf)(12xf)()()()(2112xfxfxfxf)(1xf