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1、1 1.1.11.1.1 正弦定理正弦定理 课堂探究课堂探究 一、判断三角形解的个数一、判断三角形解的个数 剖析：剖析：(1)代数法 在ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得 sin Bbasin Am 当 sin B1 时，这样的B不存在，即三角形无解 当 sin B1 时，B90，若A90，则三角形有一解，否则无解 当 sin B180时，三角形无解；当A180，且A180时，有两解；当A180时有一解(2)几何法 根据条件中A的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况作出已知A，以A为圆心，边长b为半径画弧交A的一边于C使未知的边AB水平，顶点C在边AB上方，以点
2、C为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线AB交点的个数，即为解的个数，如下表所示：A A为锐角为锐角 A A为钝角或直角为钝角或直角 图图 形形 关系关系式式 absin A ab bsin Aab ab ab 解的解的个数个数 一解 两解 无解 一解 无解 二、教材中的二、教材中的“探索与研究探索与研究”在正弦定理中，设asin Absin Bcsin Ck 请研究常数k与ABC外接圆的半径R的关系(提示：提示：先考察直角三角形)2 剖析：剖析：(1)如图 1，当ABC为直角三角形时，直接得到asin Absin Bcsin C2R(a，b，c分别为ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)
3、(2)如图 2，当ABC为锐角三角形时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD因为AD，所以asin Aasin D2R，同理bsin Bcsin C2R，即asin Absin Bcsin C2R(3)如图 3，当ABC为钝角三角形且A为钝角时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，A180D，所以asin Aasin(180D)asin D2R 由(2)知bsin Bcsin C2R，即asin Absin Bcsin C2R 综上所述，对于任意ABC，asin Absin Bcsin C2R恒成立 归纳总结：归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式：(1)asin Bbsin A；
4、asin Ccsin A；bsin Ccsin B(2)absin Asin B；sin Bbsin Aa(3)asin Absin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C2R(R为ABC外接圆的半径)(4)abcsin Asin Bsin C(5)边化角公式：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(6)角化边公式：sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R 3 题型一题型一解三角形解三角形【例例 1 1】已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B 分析分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一当知道两个角时，即可知道第三个角
5、，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形 解：解：asin Acsin C，A45，C30，acsin Asin C10 sin 45sin 30102，B180(AC)180(4530)105 又bsin Bcsin C，bcsin Bsin C10 sin 105sin 30 20sin 75 20624 5(62)反思反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边【例例 2 2】在ABC中，已知a3，b2，B45，求A，C和c 分析分析：已知两边和其中一边的对角的解
6、三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数 解：解：由正弦定理asin Absin B，知 sin Aasin Bb32 asin BbAC，得满足 sin C32的角C有两个 正解：正解：由正弦定理，得 sin CABsin BAC32 因为ABAC，所以C60或 120 当C60时，A90，SABC12ABACsin A23；当C120时，A30，SABC12ABACsin A3所以ABC的面积为 23或3【例例 6 6】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c62，C30，求ab的最大值 错解：错解：因为C30，所以AB150，即B150A 由正弦定理，得asin Absin(150A)62sin 30 6 又因为 sin A1，sin(150A)1，所以ab2(62)2(62)4(62)故ab的最大值为 4(62)错因分析：错因分析：上述解法错误的原因是未弄清A与 150A之间的关系，这里A与150A是相互制约的，不是相互独立的量，sin A与 sin(150A)不能同时取最大值 1，因此所得的结果是错误的 正解：正解：因为C30，所以AB150 由正弦定理，得asin Absin(150A)62sin 30 因此，ab2(62)sin Asin(150A)(843)cos(A75)843 故ab的最大值为 843