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1、2021-2022学年湖南省长沙市长郡雨花外国语教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷一、单选题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）C.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项判断即可.【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意;B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心
2、，旋 转 180度后与自身重合.2.2021年 5 月 11日国新办举行新闻发布会介绍第7次全国人口普查的结果，我国二孩生育率明显上升，从年龄结构上看0-14岁少儿人口数量比2010年增加了 3092万人，请你用科学记数法表示3092万（）A.0.3092x108 B.3.092x107 c.30.92xl06 D.309.2x105【答案】B【解析】【分析】把一个大于10的数记成a x 10的形式，其中“是整数数位是一位数的数，是正整数，3092口口 a x 10的形式,即可.【详解】3092 万=30920000=3.092x1（）7故选：B.【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解
3、题的关键找准和找准小数点的位置.3.抛物线y=/l 6 x+5的顶点坐标为口 口A.口3口14口 B.C 3 D4 O C.3 DD4 Q D.3 O 4 D【答案】A【解析】【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标.【详解】解：产x 2-6 x+5=(x-3)2-4,抛物线顶点坐标为(3,-4).故答案为(3,-4).故选A.【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式为尸a Cx-h)z+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是直线产儿也考查了配方法.4.已知。的直径是8,圆心。到直线。的距离是3,则直线a和。的位置关系是()A,相离 B.相交 C.相切 D.外切【答案】B
4、【解析】【分析】根据题意可得半径尸4,根据长,可判断直线。与。的位置关系.【详解】解：的直径为8,二半径=4,.圆心0到直线a的距离为3,圆心。到直线a的距离 r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；时，圆和直线相交.5.如图，将Z 8 C绕点/顺时针旋转6 0。得到N E。，若 4B=4,AC=3,B C=2,则8 E的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据将A/8 C绕点A顺时针旋转6 0。得到/加）可得/8 E是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得.【详解】解：；将/8 C绕点A顺时针旋转6 0。得到：.AE=AB,ZBAE=6O,.N 8 E是等边三角形，
5、：.BE=AB=4,故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，得出/8 E是等边三角形是解题的关键.6.如图，在。中，半径尸10,弦/8=16,尸 是 弦 上 的 动 点，则线段O P长的最小值【答案】C【解析】【分析】过点。作于C,连接04根据垂径定理的求得/C=8,由勾股定理求出0 c=6,由垂线段最短得：当P与C重合时，O P最短为6即可.【详解】解：过点。作。C L 4 8于C,连接0 42 2的半径尸1 0,.0/1=1 0,在 中，由勾股定理得：O C=J._ A02=J 1 0 2 _&2 =6,由垂线段最短得：当尸与C重合时，O P最短=O C=6,故选：
6、c.【点 睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.7.如图，A,B,。是口。上的三个点，若N 8=32。，则N Q A C=()【答 案】BC.68D.55【解 析】【分 析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质即可求解.【详 解】解：如 图，N3=32,.ZAOC=2ZB=2 X 32=64.04=O C,Z0AC =ZACO=|x(180-64)=58,故选：B.【点 睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理.8.如 图，已知关于x的函数y的图象如图所示，/(-2,-2),B(1,1),C(3,-1),D(2,2),函数值y的 取 值
7、范 围 为()A.-2ylB.-2y3C.-ly2D.2y =/噂+加和丁=皿 2+2+2 的图像可能是（）【解析】【分析】关键是加的正负的确定，对于二次函数严2+bx+c,当A0时，开口向上；当a 0时，开口向下.对称轴为=-2,与V轴的交点坐标为（0,c）.2。【详解】解：A.由函数尸加r+加的图象可知m VO,则函数产-加+2什2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B.由函数尸除计加的图象可知加 0,则函数产T%N+2X+2开口方向朝上，对称轴为尸b 1 0,则函数产-?/+2肝2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D.由函数尸加什加的图象可知m V 0,则函数尸切 优2+2%+
8、2开口方向朝上，对称轴为x=b 1=0,则对称轴应在y轴左侧，与图象符合，故D选项正确.2a m故选：D.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题.二、填空题11.函数y 一中，自变量x的取值范围是x-【答案】X彳1的一切实数【解析】【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围.【详解】解：根据题意得：x-厚0,解得：x声.故答案为xrl.【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3
9、)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.1 2.如图，抛物线y =aV与直线y =H+c的两个交点坐标分别为4(-2,4),8(1,1),则关于x的方程ax2-bx-c=O的解为.【解析】.2v =Q X T【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 )的解为y=bx+cx,=-2 f x2=1),于是易得关于x的方程a x 2-b x-c=0 的解.3=4 出=1【详解】解：抛物线y =与直线y =f e x+c 的两个交点坐标分别为A(2,4),8(1,1),%=-2 x2=1y=4，1%即关于x的方程o r?-法-c =O的解为玉=-2 ,x2=1.故答案为X l=-2
10、,X 2=l.【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数尸a x 2+b x+c (a/)的顶点坐标是(-2,处世)，对称轴直线x=-2.也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问2a 4a 2a题.13.关于X的一元二次方程依z+2 x-1=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是方程组 y =ax 的解为0,解得%-1.又.该方程为一元二次方程，：.k 丰。,，%-1 且。0.故答案为：攵一1且攵工0.【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键.1 114.若王、电 是 一 元 二 次 方 程 3x +l =0的两个根，则
11、.+=.【答案】3【解析】1 1 X,+Xy【分析】根据韦达定理可得%+=3,占=1,将一+一整理得到-一，代入即玉 x2 xx2可.【详解】解：丹、是一元二次方程一一3+1=0的两个根，/.X +=3 ,XxX2=1 ,1 1 X.+X,O+=-1=3,X,x2 xtx2故答案为：3.b c【点睛】本题考查韦达定理，掌握X 1+X,=-，X/2=一是解题的关键.a a15.如图，在平面直角坐标系中，将点P (2,3)绕原点。顺时针旋转9 0 得到点P,则【解析】【分析】如图，过尸、尸,两点分别作x 轴，y轴的垂线，垂足为A、B,由旋转9 0。可知,0 日丝 0 P 3,贝 i J P 3=E
12、 4=3,B O=O A=2,由此确定点P的坐标.【详解】解：如图，过 P、P 两点分别作无轴，y轴的垂线，垂足为A、B,.线段O P绕点O顺时针旋转9 0 ,/.N POP=N AOB=9G,/.Z A O P=A P O B,且 0P=0尸，ZPAO=ZPBO=90,:.O A P d O B P Y A A S),BP PB=PA=3,BO=OA=2,：.P(3,-2).【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系.关键是根据旋转的条件，确定全等三角形.16.如图，正方形/BCD 的边长为10.E 为正方形内的一个动点，连 D E、A E、8 E 且满足B E L A E,线段。E 的最小
13、值为【解析】575【分析】取 力 8 中点凡 连接E R D F,先 由 四 边 形 是 正 方 形 得/8 4 9 0。,AB=AD=0,而N 4E B=90,则再由勾股定理求得。尸 =5石，再根据两点之间线段最短得到不等式。E+5Z5有，变形为。地 5道 5 即可得答案.【详解】解：如图，取 中 点 产，连接E G DF,.四边形N 8CZ)是正方形，A ZB A D=90,48=40=10,:BE _LAE,：.N AE B=90,:.E F=AF=；4B=5,:DF=yAD2+A F2=7 102+52=5后，：DE+E F DF,：.DE+5 5 s5 ,：.DE 5 45-5,.D
14、E的最小值为56-5,故答案为：5A/5-5.【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.三、解答题17.计 算：-(-3)+|1-A/3|+(-1)20 21.【答案】13+/3【解析】【分析】按照零指数幕公式，负整数指数基公式，化简绝对值的方法，-1的奇数次方是-1计算即可.【详解】解：原式=16-1 +6-1 -1=13+6【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幕，负整数指数幕，准确熟练地运用公式计算是解题的关键./a 2 1 8化简求值：+1 +,其中。=2.f c 。1 1【答案】-，-
15、2 a-1 3【解析】【分析】首先进行分式的化简运算，再把。=2 代入化简后的式子，即可求得结果.【详解】解:+1 4-1 2 +13 a 2、1 一 心。+。+1 1 -/3。a +1-a22。+1 +a+i（1-2 ）（1 +2。）-al-2 a当。=2 时,原 式=会 三【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简.1 9.某市一中学组织学生参加防范电信网络诈骗知识竞赛活动.为了解活动的效果，学校从全校9 0 0 名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分1 0 0 分，得分x 均为不小于 6 0 的整数）并将测试成绩分为四个等级：基本合格（6 0
16、 夕 7 0）,合 格（7 0 r 8 0）,良好（8 0 夕=3 9 ,求N A 4。的度数(2)求证：Z1=Z2【答案】(1)7 8 ；(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质由B C=D C得到/C B D=/C Z)B=3 9 ,再根据圆周角定理得N 8/C=N C 08=3 9 ,ZCAD=ZCBD=3 9，所以N 8 Z 6 N 8/C+N 04 0=7 8 ；(2)根据等腰三角形的性质由E C=8 C得/C E 8=/C 8 E,再利用三角形外角性质得ZCE B=Z2+ZBAE,则/2+/8/E=N l+N C 8。，加上/A 4 E=/C 8 Z),所以/l=/
17、2.【详解】(1)解：8 C=Z)C,:.N CBD=N CDB=3 9,V ZBAC=ZCDB=3 9,ZCAD=ZCBD=3 9Q,；./BAD=/BAC+N CAD=3 90+3 9 =7 8 ；(2)证明：E C=BC,ZCE B=ZCBE,而N C E Q/2+/8/E,N CBE=N l+N CBD,：.Z2+ZBAE=Zl+Z CBD,：N BAE=N BDC=N CBD,.Z1=Z2.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形，外角的性质，解题的关键是熟练运用各个定理.2 2.在R t A B C中，0A C B=9 O,A C=B C=3狡，点D是斜边A B上一 动 点(点D与
18、点A、B不重合)，连接C D,将C D绕点C顺时针旋转9 0。得到C E,连接A E,D E.(1)求 回A D E的周长的最小值;(2)若C D=4,求A E的长度.ADB【答案】6+3亚；3-夜 或 3+疗【解析】【分析】11）根据勾股定理得到A B=0 A C=6,根据全等三角形的性质得到A E=B D,当DE最小时，AADE的周长最小，过点C 作 CF_LAB于点F,于是得到结论；一 2）当点D 在 CF的右侧，当点D 在 CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：（1 I.在 RtAABC 中，ZACB=90 JAC=BC=3 五.,.AB=V2 AC=6D:ZECD=ZACB
19、=90D，NACE=NBCD,AC=BC在AACE 与ABCD 中，,NACE=NBCDCE=CE：.AACEABCDUSAS.AE=BDOAADE 的周长=AE+AD+DE=AB+DEU.当DE最小时，aADE的周长最小，过点C 作 CF_LAB于点FD二A F D B当 CDJ_AB时，CD最短，等于3,此时DE=3亚口AAADE的周长的最小值是6+3 2）当点D 在 C F的右侧，VCF=-AB=3QCD=4U2.-.DF=77.AE=BD=BF0DF=30 出当点D 在 CF的左侧，同理可得AE=BD=3+J7 口综上所述：A E的长度为30 J 7 或 3+五口【点睛】本题考查旋转的
20、性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质.2 3.如图，在R t A 4 8 C中，4 C 8=9 0。，点。为力8边的中点，以C D为直径作。，分别与AC,BC,AB 交于点、E,F,G.(1)求证：AE=CE；【解析】【分析】(1)由题意连接E。，根据圆周角定理和直角三角形斜边中线是斜边的一半证得RMCEDM RsAED(HL),进而即可求证；(2)根据题意连接C G,E F,设D G =x,结合勾股定理利用CA2_A G2=C2_EG2建立方程即可求得。G的长.【详解】(1)证明：连接E D,为直径,/.ED1CE,.乙4 c 8=
21、9 0。，点。为 边 的 中 点,CD=AD=BD,在 RtCED 和 RtAAED 中，ED=DE CD=AD：.Rt4CED 三 RtAED(HL),AE=CE；(2)解：连接 C G,EF,V ZACB=90,CE=4,CF=3,尸为直径，E F =C D =d W+U =5,C D 为直径，/.C G A B,设 O G=x,则有 C 42-A G2=C D2-D G2,:A E=C E,C D =A D =BD,.C 4 =8,A G =A O+G =5 +x,C )=5,782-(5+X)2=52-X2,解得x=m，75/.D G【点睛】本题考查圆周角定理以及全等三角形判定和性质与
22、勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线是斜边的一半以及结合勾股定理利用方程思维求解是解题的关键.2 4.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6 元.为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第尤天生产的粽子数量为y只，y 与 x 满足如下关系式：5 0 x(0 x 5)3 0 x4-12 0(5 x 0,w 随x的增大而增大,.当 x=5 时，卬 最大=9 5x 5=4 7 5(元)；5 V 烂9 时，w=(6-4.1)x (3 0 x+120)=57 x+228,V57 0,随x的增大而增大，.当 x=9 时，卬 最 大=57 x 9+228=7
23、 4 1(元)；9 Vx 15 时，w (6-O.Lr -3.2)x (3 0 x+120)=-3 x?+7 2x +3 3 6,-3 4 8,解得：0.1,答：第 13 天每只粽子至少应提价0.1元.【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，二次函数的应用以及一元一次不等式的应用，主要是利用了二次函数和一次函数的性质求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式.25.如图，已知抛物线y =-8/九 丫 一 9 2与工轴交于工，8两点，且与y轴交于点C(0,-3),4 c B=90,过 4 B,C 三点作。0 ,连接 Z C,BC.(1)求。的圆心。的坐标：(2)点 E是 4C 延长线上的
24、一点，/B C E 的平分线8 交。0 于点。，求点。的坐标，并直接写出直线8 c 和直线B D的解析式；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点尸，使得/P D B=N C B D,若存在，请求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)点。的坐标为(4,0)(2)点。的坐标为(4,-5),直 线 的 表 达 式为：尸;x-3,直线8。的表达式为：y=x-9；/2、右-氏 z 9+A/T /4T 2 9、-p.,.(3)存在，(-,-)或(14,25)2 6【解析】【分析】(1)求出点Z、8的坐标，利用0 为的中点，即可求解；(2)证明NODB=90,即O D L N B,即可求解；
25、(3)分点尸在直线8。下方、P在2。的上方两种情况，分别求解即可.【小 问1详解】解：y=nvc-8twc-9 m ,令 y=0,解得：x=-l 或 9,故点/、8的坐标分别为：(-1,0)、(9,0),.过1,B,。三点作。，故O 为Z 8的中点，.点O 的坐 标 为(4,0)；【小问2详解】解：ZACB=90,：.N BCE=90,N B C E的平分线为CD,ZBCD=45,：.Z DOB=90,即 O。,4 8,圆的半径 为;/8=5,故点。的坐 标 为(4,-5),设直线BC的表达式为：y=kx+h,f 10=9k+Z?k=-则 ,c ，解得：3,b=-3 .i 匕=-3故直线8 c
26、的表达式为：严gx-3,同理可得直线8D的表达式为：y=x-9；【小问3详解】解：.点 C(0,-3),9?=3,1:m=一 ,31Q二抛物线的表达式为：y =-x2x-3 ,3 3当点尸（P）在直线B D下方时，/PDB=/C B D,：.DP/B C,则设直线。尸 的表达式为：尸;X+，将点。的坐标代入上式并解得：t=-y,1 19故直线Q P 的表达式为：尸，联立并解得：x=9 （舍去负值），2故点P的坐标为（9+如,四 二 3 9）.2 6当点尸在8。的上方时，由8。的表达式知，直线8。的倾斜角为45。，以8。为对角线作正方形。边 MB交直线。尸 于点，直线。尸交N 8 边于点H,19对于直线。P ：J=-X-,当 x=9 时，y=-,即 BH =3 3根据点的对称性知：故点H（U,0）,3 3由点。、，的坐标得，直线。”的表达式为：产 3x-1 7，联立并解得：尸3 或 1 4（舍去3）,故点P的坐标为（1 4,2 5）；故点尸的坐标为：（9+W,叵0）或（1 4,2 5）.26【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质、圆的基本知识等，综合性强，难度较大.