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1、易错题专练16抛物线一.单选题1.己知抛物线C：V=4 x 的焦点为尸，准线为/,P 是/上一点，Q 是直线小 与抛物线C 的一个交点，若1户用=3|尸。|,则 3 1=(）844 8A.3 B.4 或 3C,、2+片D.或=1/、2.若 1,m,9 三个数成等比数列，则圆锥曲线 m272 2V2 展的离心率是()A.3或 后 B.3或 2C.3 或 2 D.3 或 炕3.斜率为2 的直线/经过抛物线V=4 x 的焦点尸，且与抛物线相交于4,4 两点，则AF+BF所 耐 的 值 为()_A.2 B.1 C.2 D.42s _=i 正 夕4.若抛物线V=2 p x(p 0)的焦点到双曲线8 p
2、的渐近线的距离为彳，则抛物线的标准方程为()A/=16x p y2=8x Q y2=4x D =5.抛 物 线 V=2 p x(p 0)的焦点为尸，/、8 为抛物线上的两个动点，且满足|A/N|/AFB=6Q.过 弦 的 中 点/作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 M N,垂足为N,则 的 最 大 值为()V3273A.3 B.3c.1D.26.己知抛物线C：/=2 p x(p 0)的焦点为尸，为坐标原点，力，8 为抛物线C 上两点,AF+BF=-.、M|=M 尸且 4,则 4 8 的斜率不可能是（）272A.3 B.-2收 C.2近72D.27.如图，过抛物线V=4 x 的焦点厂作直线/交抛
3、物线于48 两点，点M 是线段Z 8 的中点，过 M 作V轴的垂线交抛物线于P 点，记|4 8|=如 尸 产 则4 的值为()A.2 B.4 C,6 D.81 7y=-X2+y2 _ 2y+_=08.点 M 为抛物线 4上任意一点，点N 为圆 4 上任意一点，若函数/(x)=log“(x+2)+2(a l)的图象恒过定点尸，贝 1 山0尸叶1世1的 最 小 值 为()5 11 13A.2 B.4 C.3 D.4二.多选题29.设/、8 是抛物线y=x 上的两点，是坐标原点，且。/_ L 0 8,则下列结论成立的是()A.点 到直线N 8的距离不大于1 B.直线4 8 过定点0,0)C.直 线
4、过 点(*)D.Q H 叩 2P(-,1),210.已知点 2,0 为坐标原点，A,8 为曲线C：V=2 x 上的两点，F 为其焦点.下列说法正确的是()A.点尸的坐标为2B.若 尸 为 线 段 的 中 点，则 直 线 的 斜 率 为-2C.若直线相 过点尸，且1尸 0 是Mi 与超 用 的等比中项，则M8|=10D.若直线4 8 过点F,曲线C 在点力处的切线为4,在点8 处的切线为4,则4,41 1.设抛物线V=2 p x(p 0)的焦点为尸.点加 在v 轴上，若线段F M 的中点3 在抛物线3 72上，且点8 到抛物线准线的距离为4 ,则点M 的坐标为()A.(0,-D B(0,-2)c
5、.(0,2)D(0,1)1 2.设 加，2是 抛 物 线 上 的 两 个 不 同 的 点，是坐标原点，若直线旭与 的 斜率 之 积 为 2 ,则下列说法错误的是()A OM+ON4y/2B.以仰为直径的圆的面积大于4 1C.直线N过 抛 物 线 的 焦 点D.0到直线仰的距离不大于2三.填空题1 3 .已知抛物线丁=8，焦点为尸，准线为/,尸为抛物线上一点，P A L I,“为垂足，如 果 直 线 的 斜 率 为 一 方，那么止用=,S O F=(。是坐标原点).1 4 .已知抛物线=2 p x(p 0)的焦点为厂(1,0),过点尸作直线/交抛物线于N,8 两点，A F_ _ 9 _则P=,才
6、 一 而 的 最 小 值 为 一.1 5 .过抛物线V=2 P x(p 0)上一定点尸(天 ,%)(%0)作两条直线分别交抛物线于“区，%)，B&,%),若 左 与尸8 的斜率存在且倾斜角互补，则 .1 6 .希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点4,8 的距离之比为定值彳伍*1)的点的轨迹是圆”.后 来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简 称 阿 氏 圆.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，()，8(0,4),则九 2点尸满足 2的 阿 波 罗 尼 斯 圆 的 方 程 为.已知点C(-2,4),。为抛物线E：P=8 x上的动点，点。在直线x
7、 =-2 上的射影为，M 为(x +2+V=4上动点，则M C+QH+QM 的最小值为.四.解答题1 7.已知抛物线V=2x,过点尸.I)分别作斜率为，质的抛物线的动弦Z 8,C D,设M,N 分 别 为 线 段 CD的中点.(I)若尸为线段/B 的中点，求直线4 8 的方程;(I I)若匕+&=1,求 证 直 线 恒 过 定 点，并求出定点坐标.18.已知抛物线。：/=2*(0 0)的 焦 点 为/，/为 C 上位于第一象限的任意一点，过点力的直线/交 C 于另一点8,交x 轴的正半轴于点O.(1)若当点/的横坐标为3,且 尸 为 等 边 三 角 形，求 0 的方程；(2)对 于(1)中求出
8、的抛物线C,若点 2,记点8 关于x 轴的对称点为E,NE交x 轴于点P,且求证：点P 的坐标为(-%,0),并求点P 到 直 线 的距离”的取值范围.19.平面直角坐标系 切 中，已知抛物线V=2px(p 0)及点/(2,0),动直线/过点M 交抛物线于“，8 两点，当/垂直于x 轴时，AB =4.(1)求的值；(2)若/与x 轴不垂直，设线段“3 中点为C,直线4 经过点C 且垂直于N轴，直线4 经过点”且垂直于直线/,记R 4 相交于点，求证：点尸在定直线上.20.在平面直角坐标系 伽 中，已知抛物线C：/=2 处(p 0),过抛物线焦点尸且与夕轴垂直的直线与抛物线相交于/、8两点，且
9、0 4 8 的周长为2+石.(1)求抛物线0的方程；(2)若直线/过焦点尸且与抛物线C相交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线C的切线4、切线4 与4相交于点尸，求：I 尸用2 _|.|帆 的 值.易错题专练16抛物线答案1 .解：当。在尸尸的延长线时，过 0向准线/作垂线，垂 足 为 根 据 已 知 条 件，尸|=3|尸 0|,|F F|I 尸I=3结合抛物线的定义得、Q,/|FF|=p=2o -I1 上Q匕&11=3-，Q当。在尸尸之间时，过。向准线/作垂线，垂足为,，根据已知条件，FF|P F|_ 3结合抛物线的定义得3 1 IPS 2.|FF=p=2 Q Q，l=3故选：D2.解：三个
10、数1,机，9 成等比数列,则/=9,解得，m =3,当机=3 时，曲线 3 为椭圆，cV 6则 a J 3 3 ；X?上=1当机=-3 时，曲线为 3 为双曲线，则离心率e=2.故选：c.3 .解：由 =4x得尸(1,0),p=2y =4-1)由已知得l =4 x ，消去V得/-1 8 x +l =0.设 1(%,乂)，B ,%),则占+Z=1 8,x,x2=1乂|/尸|=再+1,|S F|=x,+1所以 I 用 8 尸|=(x,+l)(x,+1)=x,x,+X,+x2+1 =20|A F|+1 5F|_ x,+x2+2 _ 20 _AF-B F=_ 20 =20 =故选：8.4 .解：抛物线
11、ylp xg o)的 焦 点 为 叱，0)；尸到双曲线8 P 的 一 条 渐 近 线 入 7P 的距离为1 1 1-1-=一化简得8 P 4,解得=8；:抛物线的标准方程为丁=1 6x.故选：A.5.解：设M用=。，1=6,由抛物线定义，得/用=M 0l,BF=BP在 梯 形 尸。qa,:.2MN=AQ+BP=a+b由余弦定理得，|AB|2=A2+b2-2abcos 60=a2+b2-ab配方得，1 8 =(。+与2-3 ,(的又 2,31(a+b)2-3ab(a+b)2 (a+b)2=-(a+b)244得到亭+|AV|0)的 焦 点 为 2,。为坐标原点，又 4 8 为抛物线C 上两点，AO
12、=AFt故 犯=7,代入=2 p x 得易知|AF|=|AO=+yA2=-4p”，所 以 B F =4 4 =2.x+=型所 以 5 2,所以4=。，代入V=2 p x 得，几=土夜p故 8(p,及 p),或(p,-6 p).kAB故怎一金2 0 43,或-Op-阜-旦=-2五一 何+0 一 2夜,或3,或及p+-=272故选：D .7.解：抛物线V=4x的焦点为/。，0),准线方程为x =-l(I)当直线48存在斜率时，设直线的方程为 =%(、-1)(%二 ),y2=4x由 tr=%(x-l),消去V,得 心 2 _(2左 2+4)%+%2=0；设力区，必)，8(%，力),2k2 +4%+Z
13、=-3 则 发，|AB|=&+&+p=&+2=4 公+4k2X)+x2 _ 2 k2+2中点坐标胡 的横坐标为 2 k29 1 =屋卓_1)二纵坐标为 2 k2 k,4 ,1=4x x =由k,解得 k,1所以点尸的横坐标为F,|尸尸|=3+1=袈所以 k-k-,所以|明=4|P F|.(2)当直线N8不存在斜率时，I P 用=1,1/例=4,所以M8|=4 1 P 可.综上知，1 明=4 1 口|,2=4.故选：B .y _1 218.解：抛物线一“上化为标准形式是x=外，焦点是2 0,1),准线方程是x=3 1112+y2 _ 2 y H =0 x2+(y I)2=w r 一圆的方程 4
14、可化为 4,圆心是C(0，D,半径为 2.函数/(x)=log“(x+2)+2(a 1)的图象恒过定点尸(-1,2),又 点 为 抛 物 线,十 上 任 意-点，点N为圆上任意二点；由图象知，”HL的 最 小 值 为 回 fTT）-将直线A B方程代入抛物线方程了 =/,/（演，必），B（X2 ,力），得*2 Ax-6=0,贝IJX|+Z=左，X,X2=-b OA1OB t-OA-kO B=-b =-；6=1.于是直线Z 8方程为夕=丘+1,该直线过定点（，1）,不过点所以选项6、C错误；d=/W 1又点到直线4 8的距离为 VA-2+l,所 以/正确；当A=时，1钏8|取得最小值2,所以|C
15、%HO812,选项。正确.故选：AD.c 2 X2=y=4 x y 尸（0,一）1 0.解：由V=2 x得 2 8-,则焦点坐标 8,故/错误,设 4（%,M）,B（X2,%）,4 B:y=kx+b,代入 y=2/得自+/,=2/，gj 2x2-k x-b =0 fk匹 +X)=一则-2,x+x2 _ 1:尸为线段N 8的中点，A 2 2,k X+“2 =-=-即-2,得k=-2,故 8 正确,若直线4 5 过点尸，且 I尸。I是I网 与 I S的等比中项,|“尸|8尸|=|尸。=(-4)2+1=1 +9=。则24 4,y kx H-c 2 2 12 =0由抛物线的准线方程为,8,代入y=2
16、x 得 8k1X,+x2=x,x2=则 2,16,则 8,8,A FW BF|=(凹 +；)(%+=y,y2+凹 +%)+专,、1 r i i,yl+y2=k(Xt+x2)+-=+-y2=4(x,x2)2=4 x=-4 2 4,16x16 641,、1 5代入E y22 H8(yM,+乃)H-=6 44,1 1 ,k2 1、I 5-1 (-1 )4-=-得 64 8 2 4 64 4,得 矛=1 9,满足判别式(),11 Z.2 1 1 10 1则|AB|=|AF+BF=y,+8-+月y,8=2 +-4 +-4 =2 +-2 -10,故 C 正确,设 A(xi,M),B(x?,y2),则必=2
17、x：得乂=2x；,函数 2 x 2 的导数F(x)=4x,即在A 处切线斜率%=/a)=4%,在B 处切线斜率k2=f(x2)=4X2,则 2 =4 再4%=16 芭%,由选项C 知，、总=一 而，ktk2=16 x(-)=1 .则-16,即故。正确.故选：BCD.2X=-1 1.解：根据题意，抛物线y=2px(p0)的 焦 点 为 2,0),准 线 方 程 为-2,设 8 的坐标为（叽）,m -=一若B为F、M 的中点，则 2 4,3五 p/p、3夜又由点8 到抛物线准线的距离为4,则 4 2 4,解可得P=J2,2旭=正则 抛 物 线 的 方 程 为 2。，且“一 丁，=2/2 x=18
18、在抛物线上，则 4,解可得=1,祗则 8 的 坐 标 为 4,1）,则点”的坐标为（，）或（，-2）；故选：BC.1 2.解：设直线网的方程为“=即+力，y2=x联立方程组L =+消去X可 得/_ 切 一 人=0,设 区，必），N5,%）,则 必+为=加，必必=一6,，x1x2=（加 必 +b）（my2+b）=m2yy2+mb（y+必）+从=,k k 弘必_ _ J_ b 1中 2 2,.2,故6=2,直 线.方 程 为、=叫+2,过定点（2,0）,故C 错误；MN|=Jl+m2 J（必 +y2）2-4 必=Jl+阳2 J 加 2 +8=V/w4+9/H2+822加QMJ3 4._ 24.以M
19、 N为直径的圆的面积-4”,故 8 错误；2到直线 N 的距离为V/H2+1W2故。正确;当加=时，直线”N 的方程为x=2,此时10M 目0Vl=，故|OM|+|CW|=264亚，故/错误.故选：ABC.1 3.解：抛 物 线 焦 点 为 尸(2,0),准线/方程为x=-2,由直线4尸的 斜 率 为,直线A F的方程为y=-逐 a -2),x=-2-xo 乂+”,%+N o2P-=2-P-由尸N,P 8 倾 斜 角 互 补 知 即 M+盟%+%可得必+%=-2%A A =-2故 故-2PA _ 1 .+(_ 16 .解：设/XJ),由题意可得：P B 2,即 J 、3-4)2 2,整理可得:
20、X2 4-J/2=4做出图象如右：设圆(x +2)+/=4是动点M(x,y)到 C(-2,4)与到定点D(-2,m)的距离比为 2的阿氏圆.(x +2)2+(y _ 4)2 _?2 8(W-1)4W2-16 N所以4+2)2+3_”?)2 ,化简得“+y 3-y+-3 则团-1=0,所以相=1,故。(-2,1),.,结合抛物线定义3目0 用，-MC+QH+QM=MD+QM+QFFD n 2(当且仅当。，M,Q,尸四点共线，且,“在。，尸之间时取等号)，此时|FD=J(-2-2)2+(l-0)2=V 17故-2M，C+QH+QM 的最小值为ar7-故 x 2+y 2=4,7 17.ip Fx=-
21、2 1 7.解：（i）设 a ，）,8（X J）,则y、2 x，-,得（y -y）（y +y）=2（x -x）.又因为a 1）是线段/B的中点，所以y +y=2,.y-y 2所以，x -x y+厂.又直线48过P（l，l）,所 以 直 线 的方程为y=x（1 1 ）依题设（X ,y”），直线N8的方程为六亦即y =+代入抛物线方程并化 简 得k R2 kk、2 2 -2 kkX +4=：2 =,2 所以，勺%；1-秘2 ,1 -WXM .2 +4 2 _ 左；2 4于是，k1 ,用l-k,k2 1XN=,2 Xv=,同理，卜2,与.易知K*,所以直线MN的斜率 XM-XN1 1-3、y=（x-
22、故直线M N的方程为 h 1一贴 也 ,，V=2x.-1 =尢（X-1）,即 y =4 x+-k+（2人向-2）x +=03=k Ay=j x+l即.此时直线过定点（）.故直线施V 恒过定点（0,1）.产（之,0）I五川=3 +1 8.解：（1）由题知 2 ,2则。（3+p,o）,即 的 中 点 坐 标 为 一+彳 之+型=3由2 4,解得P =2 ,所以抛物线C的方程为/=；（2）依题可设直线N 8 的方程为、=叼+/5*0）,点”区，必），B Q、乂），则 Eg,-力），y2=4xL2因为 0 2 ,所以=1 6 +1 6%0,yt+y2=4 m）yt-y2=-4x0；设尸的坐标为（巧 ,
23、）,则 2 =（%一 4,一%）,P A=（xt-xp,-y）；由 题 知 而 而，所以 乂-Xp卜必+（西一xp）力=0七,+占 卜 2 =（必 +y2）XP=+%）即44.x =地显 然%+%=4 机*0,所 以 4,即证如+x 0=0,由题知A A P 8 为等腰直角三角形，所以=1,乂+为 二 J山=】即再一 4 ,也即4、*，所 以 乂-%=4,所以（必+力）74 M%=1 6,即 1 6 7n 2+1 6/2 =1 6 m2=1 x0 xQ 1x。2一 _ 0)过点(2,2),代入抛物线方程，得4=2 p x 2,解得。=1：(2)证明：由题意设直线/的方程为：V=(x-2),且在
24、x O,点”区，M),B Q Z,%),联立y2=2xy =x _ 2),消去x,化简得 2 _ 2 y _ 4 左=0,2乂 +%=一由根与系数的关系得 k,必为=-4；_ 必 +%1 1-.=.y=一又点在直线1 8 上，则 2 k,所以直线4 的 方 程 为 k1 /C、,y=(%2)又直线人过点M 且与直线/垂直，则直线4 的方程为 k.1y二y=-(x-i)联立k,解得X=111y=7 尸(1,7)k,所以点 k所以点尸在定直线x =l 上.（0,马2 0.解：（1）由题意知焦点厂的坐标为 2（-p,）（p,）8 的坐标分别为 2 、2 ,，将；=2代入抛物线C 的方程可求得点A、有
25、|四=2 乙 QI=3 I=%+9=1P可得 04 8的周长为2 p+4p,有2p+亚p=2+后,解得p=l；所以抛物线C 的方程为V=2y；1 2V=X ,（2）由（1）知抛物线C 的方程可化为 2 ,求 导 可 得 =。设点朋 N 的 坐 标 分 别 为 必）、（%,y2）.,1y=K X H 设直线 的方程为 2 （直线/的斜率显然存在）；,1y=kx+一.21 ,pi+x2=2ky=-x,j 1联立方程2,消去整理为：X-2 丘-1=0,可 得 X R=T有%+%=%区+2）+1 =2/+11-4=%221-4可得直线4的方程为y-xt2=xl（x-x）y=x.x1 ,整理为 21 2同理直线,2 的方程为 y=X2一 X-2 Xj-联立方程X=_(须+x2)则点P 的坐标为 2.MF=y i+-|=7,+-由抛物线的几何性质知 2,2,I PF=0)2+(_；42=7F 7T|M F|.|N F|=(y,+!)(2 +:)=%2 +!(必 +卜2)+；=；+(2%2 +1)+；=4 2 +1有 2 2 2 4 4 4P F|2-|M F|.|2VF|=0