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1、2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。I.设全集1/=-3,-2,-1,I.2.3 ,集 合/=-1,I ,2,3 ,则（C M）DB=（）A.1 B.1,2 C.2.3 D.1.2.3 2 .已知复数z=W（其中i为虚数单位），则z的共挽复数为（）A.-y +y i B.-i C.y+y i D.；一3 .已知向盘z，石满足H =2邛 卜1,ZH，若8 +可上仅-花），则实数工的值为（）A.2 B.2百 C.4 D.14 .算数书是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年
2、代出土，大约比现有传本的 九章算术 还要早近二百年.算数书内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”.在 算数书成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大.如书中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成 一.此术相当于给出了圆锥的体积/的计算公式为其中L和分别为圆锥的底面周长和高.这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（）A.3.0 0 B,3.14 C.3.16 D.3.2 05.(x+l p +l 的展开式中，一次项的系数与常数项之和为()A.3 3 B.3 4 C.3 5 D.3 6)第1页，共5页7.若a=sin 1 +tanl
3、,b=2,c=In 4+,则 a,b.C 的大小关系为（）A.c b a B.c a b C.a b c D.b c 0,且 则 下 列 结 论 正 确 的 是A.对于任意的”2 2,都有a.i B.对于任意的4 0,数列 4 不可能为常数列C.若0劣2,则数列/为递增数列 D.若 2,则当“2 2时，2aat12.己知esinx=e*siny,则（）A.sinx-cosy c.sinxcosy D.cosx siny三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知Z U B C内角/,B.C的对边分别为a,b,c,那么当a=时，满足条件节=2,4=30”的A A B C 有两个.（
4、仅写出一个a的具体数值即可）14.老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇，则 该 同 学 能 及 格 的 概 率 是.15.在 圆/+/一 女 一6尸=0内，过点E（0,1）的最长花和最短弦分别为/C和8。，则四边形A B C D的面积为第2页，共5页1 6 .已知/(*)为/(x)的导函数，且满足0)=】，对任意的X总有2/，(x)-/(x)2,则不等式/(x)+2 2%W的解集为.四、解答迤：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.在中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos
5、 B(yf3ab s i n C)=b s i n B c o s C求以(2)若c =2 a,&15C的 面 积 为 竽，求&48C的周长.1 8 .已知等差数列 4 的 前 八 项 和 为 q=2,S,=2 6.正项等比数列也 中，4=2,4 +4=1 2.求 4 与 4 的通项公式；(2)求数列%，)的前四项和7；.1 9.某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为1 0 (e N),统计得到以下2 x 2 列联表，经过计算可得K?*4.0 4 0.男生女生合计喜欢6/1不喜欢5n合计I O n1 0(1)完成表格求出值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性
6、别有关；(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9 人，再从这9 人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取1 0 人，记其中对长跑喜欢的人数为X,求 X的数学期望.附表：尸 附 认)0.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 12.70 63.8 4 15.0 2 46.6 3 51 0.8 2 8附：犬=_ _ _ _ _ _ S 一 二 _ _ _ _ _ _ _.(a+b)(c+d)(a+c)(6 +d)第 3 页，共 5页2 0 .如图，己知正方形N2
7、 C D和矩形X C E F所在的平面互相垂直，AB=&，A F =t,M是线段)的中点.求证：平面B D E；(2)若线段4c上总存在一点尸，使得P F 1 BE,求，的最大值.2 1.已知椭圆E:+=l(a b 0)的右焦点为段上顶点为H,0为坐标原点，N Og=30。,a b点(吟)在椭圆E上.求椭圆E的方程；设经过点5且斜率不为0的直线1与椭圆E相交于A,B两点，点尸(-2,0),2(2,0).若M,N分别为直线A P,B Q与y轴的交点，记 M P Q，d N P Q的面积分别为5 4“，SN P Q,求 沁 的 值N P Q2 2.已知函数/)=与 和8(0=处有相同的最大值.ea
8、x(1)求 a；(2)证明：存在直线尸b,其与两条曲线=/(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.第4页，共5页2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷参考答案1.c2.D【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的共扰复数的定义求解.【详解】解：因 为 片i 币=i(图l-i)言=51+19所以Z =故选：D3.C【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.【详解】因为GJLL所 以&B =o，依题意(u +卜-刀)=忖.-义网,-(%-1”石=4-4 =0 ,则入=4 ,故选：C.4.A【分析】由圆的周长公式可得半径，再由
9、圆锥体积公式结合己知可得.【详解】因为 =2*所以，=上，I)h l)h12=-36.”=3 .故选：A.5.D【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可【详解】因为(x +l),的 通 项 公 式 为=C “T=CK1所以(x +l)s(|+l)的展开式中，一次项的系数为2 C；+C；=2 5,常数项为C：+2 C”1 1,所以一次项的系数与常数项之和为2 5 +1 1=3 6,故选：D6.C答案第1 页，共 1 0 页【分析】利 用 给 定 图 象 求 出 进 而 求 出。即得函数/(x)解析式，再代入求解作答.【详解】由/(0)=sin 夕,。/，得。=.,1 ,4兀 7 T .r
10、/C l 15,5.由 cw-+=E,A w Z,又，。0,得力=k ,AwN,15 34 4观察图象知,7 r-5E54T4-11-4l-2解 得/春，则k=1=T,因此，/(x)=sin(yx+y),所以/(乃)=sin(|兀+g)=si呜+?)=g.故选：C7.A解析：令x)=21nx+-x,则/，(公=2 +二毕二L =二 二!工0,则/(x)在xX X2 JT X2定义域(0.+8)上单调递减，所以/(2)/(1)=0,即2in2+g-2 0,所以足4+；c,g(x)=sin x+tan x-2x,则 g(x)=8 sx+-2=*三 _ _2 1 2)cos X cos X因为 xe
11、 所以 cosxe(0,1),令力=/-2/+1,x e(0,l),则A(X)=3X2-4X=X(3X-4)M)=0,所以g，(x)0,即g(x)在(0卷)上单调递增，所以g g(0)=0,即sinl+ta n l-2 0,即sinl+tanl 2,即 a 6,综上可得 abc；故选：A.8.B9.BCD【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理判断即可：【详解】解：对于A.若m L a、汨/,则&，/或2与夕平行或，。与月相交不垂直，故A错误：对于B:设过的平面广与。交于。，则 /a,又m _ L a,m 1 a,m J.)，A B正确；对于C：a 夕，a内的所有直线都与平 行,且m u
12、 a,，C正确;对于D：根据线面角的定义，可得若所叫a ll。,则加与a所成的角和与夕所成的角相等，故D正确.答案笫2员，共10页故选：BCD.10.ACD11.ACD12.ABC【分析】将e，sinx=esi9 变为史=出吆结合指数函数的性质，判断A;构造函数e sinxx）=E,x e（V r）,求导，利用其单调性结合图象判断x y 的范围，利用余弦函数单调性,sinx判断B;利用正弦函数的单调性判断C,结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0 x y 0 ,e=suv,A sin sinx,A 对：e smx sinxQX px-=-令/(x)=-,xe(0,/r).即有/(x)
13、=/(),smy sinx 八 sinxsin x 4/(X)在(0,*递减，在 仔 上 递 增，因为/(x)=/(),，O v x K v y ,4工 cos(万一)-COS。,B 对;结合以上分析以及图象可得x+,an n n n且?/乃，一:sinl-1 =008,C 对；答案第3页，共 10页由c的分析可知，（三,在区间-1,?上，函数v=c o s x不是单调函数，即cos（1-N）cosx不成立，即sinyvcosx不成立，故D错误；故选：ABC.【点睹】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函
14、数，数形结合，综合分析，进行解答.13.1.5（答案不唯一）l a 彳，s in 5 a,1,即l a/i0 x2/5=10/2.故答案为：10五.16.0,-H)#X|JTS0【分析】构造新函数8(H=/空2,利用已知条件2/”(x)-/(x)2,可以判断g(x)单调递增，利用g(x)的单调性即可求出不等式的解集,/(x)+2,、/3e;；e/(x)+2 2 r【详解】设函数g(x)=!,则g(x)=-=L Je2e22c2又；2/(X)-/(X)2:.g(x)0所以g(x)在 R上单调递增，又g(0)=/(0)+2=3故不等式/(x)+223e：可化为g(x)g(0)由g(x)的单调性可得
15、该不等式的解集为0,+oo).故答案为：0,+o)17.(D y 2 6+2【分析】(1)利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对己知式子化简变形，可求出角以(2)由三角形的面积和c=2a，3=y,可求出a，c 的值，再利用余弦定理求出6,从而可求出三角形的周长答案第5页，共 10页(1)V cosB(/3a-6sinC)=/jsin5cosC,*4 3a cos 8-b cos 8 sin C=6sin B cos C，4 3a 8sB=0sin 5cosc+6cos Bsin C,岛cosB=bsin(B+C)=bsinA由正弦定理可得：氐iMcosB=sinBsinJ,V sinJ*O,*V
16、3cosB=sin*.tan=V3 V B G(O,/T)/.B=%(2)的 面 积 为 逋，LacsinB=E a c=递，得ac=0,：c=2a,二 =2,3 2 4 3 3 3.a0,.a=,；.c=2a=也，由余弦定理可得33b2=a2+c2-2accosB=-+-2xx x-=4,：b0,：.b=2,二三角形的周长3 3 3 3 2为 a+b+c=2 心+2+1=2 6 +23318.a,=3-l,bn=2 7 (3 I)2 +8【分析】(1)由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可：(2)由错位相减法求解即可(1)设等差数列的公差为d,4x3由己知得，4x2+ad
17、=2 6,解得d=3,所以*=q=2+3(n-l)=3/i-l,即。”的通项公式为4=3 -1：设正项等比数列 的公比为g,(g 0),因为4=2,0*4 =12,所以2(g+g?)=1 2,所以/+g-6 =0,解得9=2或g=-3(负值舍去)，所以。=2.(2)a也=(3-1)2”,答案第6页，共10页所以 7；=2x2+5x22+8x2+(3”-4)2+伽-1 ,所以27；=2x22+5x23+8x2+(3-4)2+(3”-1)2，相减得，-7；=2x2,+3x2?+3x2,+3x2+32-(3-1)2“=2x2+-(3 n-l)2 M.所以 7；=(3”-4)2“+8.19.(1)列联
18、表答案见解析，=2 0,有 95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关；(2)弟鳄.【分析】(1)利用给定数据完善2x2列联表，计算A：z的观测值即可求出，再与临界值表比对作答.(2)利用分层抽样求出抽取的9 人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；利用二项分布的期望公式计算作答.(1)2*2列联表如下表所示:男生女生合计喜欢6n5nn不喜欢4n5n9n合计10nlOn2Qn八空黑磊啜匕翁.。，而f,于是得.。4。3刎，所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.(2)采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9 人，这 9 人中男生的人数为4,女生
19、的人数为5,再从这9 人中抽取3 人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”C3 4 20 11的概率为p=i-旨=1-五=芸；由(1)知，任 抽 1人喜欢长跑的概率p=/,依题意,O 4 T /1 ZU5(10,11),所以X 的数学期望是E(X)=1 0 x*答案第7页，共 10页20.(1)证明见解析 近【分析】(1)设4CC|8O=。，连接。”，逋 过 证 明 即 可 得 出；设 炉=抚3,求 出 而，丽，利 用 丽.鹿=0求出-2。-#+-=0,即可得出，的最大值.(1)设ZCC|8O=。，连接。M,因为/8C。是正方形，所以。是4C中点，又因为4CE尸是矩形，M是线段 尸的中点，所以4
20、。W，4。=矶，,所以四边形/。旧为平行四边形，所以4W。&又平面8DE,OEu平面B D E,所以ZM平面8DE;(2)正方形4 8 8和矩形4CE尸所在的平面互相垂直，则可得CD,C8,C两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，/(V I,右,O),C(O,O,O),E(O,O,。，则CA=(V2,V2,0)，因为点尸在线段/C上，设 历=义声，其中;I e0,1,则 而=(V22.V2A.0),从而P点 坐 标 为(内，历1,0),于是方二卜反-质儿&-EN),而 赤=(0,-亚/),则由尸尸1 8E可 知 所.施=0,即-2(IY)+=0,所以尸=2(1-4)4 2,解得T
21、&,故,的【分析】(1)由2。明=30。，得b=&,再将点1当代入椭圆方程中，结合/=+/可答案第8页，共10页求出a 力，从而可求出椭圆方程,（2）设直线，：x=mp+l,4（占,必），8（2,必），将直线方程代入椭圆方程消去X,整理后利用根与系数的关系，可 得 孙”=2+”），表示出直线AP的斜率4=汽，直线3。的2 +2斜 率&=上 行,%-25 叩；1 喇。必|叫而 产=多-=舄=廿|，代入化简即可SNPQ ljp g|.|OA T|。叫|2 1由N O 明二3 0。，得b =&（c 为半焦距），点 同 在 椭 圆 E上，则*磊=1 X a2=b2+c2 解得a =2,6 =百，c =
22、1.工椭圆E的方程为=十乙=1.4 3（2）由 知片（1,0）.设直线/：工=啊+1,4（不凹）,8（0 力）.x=m y+由 犬 y2 消去 x,f#（3 f f i2+4）/+6/M y-9 =0.-4-=14 3显然 A =1 4 4（f f?+l）0.-6 w-9则，跖=尔 即防=1（%+%）由尸（-2,0）,0（2,0）,得直线AP的 斜 率&=,直 线 8。的斜率4 2=士.&+/X2-2又 用 二 耨，k 卜符闫困=2，.侬=肘.也 丝=如竺性=幽=限31 图 SANPQ l|p g|.|Q/V|1 1 K 2 I.k=MX）=乂（*1）二叫力必=:（必+%）一%J%=1飞a+2
23、）必（町+3）厂 孙 必+3 厂孤+%）+3/+9一 3,答案第9 页，共 1 0 页.$4MPQ _ 1SNPQ 32 2.(1)a=l；(2)由(1)知/(x)=，,g(x)=/(ln x)=当，由于 x 0 时，/(x)0 ,%1 时，g(x)0 ,1Y1因此只有0bJ才可能满足题意，记(x)=5-b,且0 0,(0)=-6 0,所以存在再e(O,l),使得力(芭)=0 ,设(p(x)=eT-x2,则(px)=/-2 x ,设加(x)=/(x),则m/(x)=e4-2,0 x ln 2时，zn (x)ln 2 时，加(x)0,加(幻递增，所以加(x)1 rM =m(ln 2)=2 -2
24、1 n 2 0 ,所以d(x)”(ln 2)0,/(x)是增函数，x 0 时，p(x)9(0)=l 0,若)=0,b又所以存在瓦使得(%)=0，即此时丁=b 与y =/(x)有两个交点，其中一个交点在(0 1)内，另一个交点在(1,用)内，同理y =b 与y =/(ln x)=g(x)也有两个交点，其中一个交点在(0,e)内，另一个交点在(e,+8)内，若y =b 与y =/(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线y=/(x)和N =g(x)的公共点,记其横坐标为巧，令/(入2)=8(公)=/(加2 )，则占w(Le),g e(，l)，记V=b 与y=/(x)j=g(x)的三个交点的横坐标从左到右依次为马公用，且满足xj l x2 e x4,/(x3)=/(x2)=g (v2)=g ),且 刍=粤，即x；=e 勺 h u?,又e x2/(XJ)=/(1IKJ)/(xa)=/(lnr4 )，且与,皿 e(O,l),X2，lnx4 e(l,e),且/(x)在(0,1)和(l,e)上分别单调，所以弓=1 1 2，丫 2=1 1 1%4，即x,=e l 所以x；=毛,与为x“x,的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标X“X2，X.成等比数列.答案第1 0 页，共 1 0 页