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1、2016-2020年全国卷I理科数学 圆锥曲线高考真题试卷汇编一、填空题。X*2 *y2二、选择题。2.（2 0 1 9全国1 卷 1 0 题）已知椭圆C 的焦点为（T，）,与（L）,过B的直线与C 交于/,3 两点.若1 和1=2|巴 町|幽=|期 I,则 C 的方程为（）-2=1（。0/0）1.（2 0 2 0 全国1 卷 1 5 题）已知尸为双曲线 a-b-的右焦点，4 为 C 的右顶点,8 为 C 上的点，且 8尸垂直于无轴.若的斜率为3,则 C 的离心率为-1C.4 3+/=1A.2 ,23.（2 0 1 8全国1 卷 8 题）设抛物线C：产=心的焦点为凡 过 点（-2,0）且斜率为
2、5 的直 线与。交于A/,N 两点、,则FM ,FN=（）oA.5 B.6 C.7 D.8X2_ 2 _ 14.（2 0 1 8全国1 卷 1 1 题）已知双曲线C：TV _ I O为坐标原点，尸为。的右焦点，过产的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若 为直角三角形，则|M N =（）o3A.2 B.3 C.2-V3 D.45.(2 0 1 7 全国1 卷 1 0 题)已知尸为抛物线C：=4 x 的焦点，过了作两条互相垂直的直线/),12,直线/|与 C 交于4 8 两点，直线/2 与 C 交于。、E 两点，则|N 8|+|的最小值为()A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0.
3、/6.(2 0 1 6 全国1 卷 5题)已知方程成+n-3 d n=表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,A/3)C.(0,3)D.(0,V3)7.(2 0 1 6 全国1 卷 1 0 题)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于 N,8 两点，交 C 的准线于。，两点.已知|48|=4、汇，DE=1 4 S,则。的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8三、解答题。X2 2丁 +尸=18.(2 0 2 0 全国1 卷 2 0 题)已知/、8 分别为椭圆E：。(al)的左、右顶点，G为E 的上顶点，次 GB=8,尸为直线x=6 上的动
4、点，P A 与 E 的另一交点、为 C,P B 与E 的另一交点为D.(I)求 E 的方程；(2)证明：直线 8 过定点.39.(2 0 1 9全国1 卷 1 9题)已知抛物线C：j 2=3 x 的焦点为尸，斜率为5的直线/与C 的交点为4,B ,与x 轴的交点为尸.(1)若M 尸 田 瓦 1=4,求/的方程；若 方=3 而，求I/外X2 21 0.(2 0 1 8全国1 卷 1 9题)设椭圆C：5 +y =1 的右焦点为F,过F的直线1 与C交于A,B两点，点M 的坐标为(2,0).(1)当1 与x轴垂直时，求直线A M 的方程；(2)设0 为坐标原点，证明：N O M A =Z O M B
5、.1 1.(2 0 1 7 全国 1 卷 2 0 题)已知椭圆 C：=+4=1(aZ O),四点 R(1,1),a bJj 百P2(0,1),2(-1，)，A(1，)中恰有三点在椭圆C 上.2 2(1)求 C 的方程；(2)设直线/不经过P 2 点且与C 相交于4 8 两 点.若 直 线 与 直 线 巳8 的斜率的和为-1,证明：/过定点.1 2.（2 01 6 全国1 卷 2 0题）设圆Y+V+Zx 1 5 =0 的圆心为4 直线/过点8 （1,0）且与x 轴不重合，/交圆力于C,D 两点、,过 8作ZC的平行线交/。于点E.证明|/|+|叫为定值，并写出点E的轨迹方程；（I I）设点E的轨
6、迹为曲线C i，直 线/交 G 于两点，过 5且与/垂直的直线与圆/交于尸,0两点，求四边形A/P M2 面积的取值范围.答案一、填空题。C：-2 1（Q 0,/?0）1.（2020全 国1卷15题）已知尸为双曲线。力 的右焦点，力为。的右顶点，8 为 C 上的点，且 B9 垂直于x 轴.若4 3 的斜率为3,则 C 的离心率为X 2+y=1A.2 *2BF,2而=3 BF=A F =c_a q=3【详解】依题可得，而 a,依,a,即。一。，变形得c2-a2=3a c-3 a21 化简可得，/3e+2=0,解得e=2 或e=l（舍去）.故2.二、选择题。2.（2019全 国1卷10题）已知椭圆
7、C 的焦点为耳（T，）,月（1，）,过B 的直线与C 交于4,8 两点.若1 4/1=2|玛8|4 8|=|8 耳|,则C 的方程为（）1-1-=1B.3 2C.4 3-1D.5 4B【详解】由椭圆C 的焦点为片（-1,0）,号（1,0）可知c=l,又/1=2|工町|皿=|期 I,可 设|%|=加,则|盟 1=2 掰，孙1=1 留=3”,根据椭圆的定义可知I 町|+|必|=加+3掰=2a,得 =5,所以l 2l=5 M 尸 小 叽 可 知8(3,4)+=1 ,“(厂与，根据相似可得 2 2代入椭圆的标准方程/b2,得/=3,2 2,二+匕=1=/_。2=2,.椭圆C 的方程为3 2 .23.(
8、2018全国1卷8题)设抛物线C：俨=4尤的焦点为凡 过 点(-2,0)且斜率为 的直 线与C 交于M,，两点，贝 叶 M -F N=()。A.5 B.6 C.7 D.8D【详解】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点M(1,2),N(4,4),再利用所给的抛物线的方程，写 出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得F M=(0,2),F N=(3,4),最后应用向量数量积坐标公式求得结果.2 2详解：根据题意，过 点(-2,0)且斜率为 的直线方程为y=5(x+2),y =1(x +2)与抛物线方程联立 y =4 x ，消元整
9、理得：y 2-6y +8=0,解得M(L2),N(4,4),又F(l,0),所以 F M=(0,2),F N=(3,4),从而可以求得F M F N=0 X 3 +2 X 4 =8,故选D.X2_ 2 _ 4.(2018全国1卷11题)已知双曲线C：目 一 I O 为坐标原点，尸为C的右焦点，过产的直线与C的两条渐近线的交点分别为、N.若 O M N 为直角三角形，则|MN=()A.2 B.3 C.2A/3 D.4BI/【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为土 V,且右焦点为F（2,0）,从而得到NF ON=3 0 ,所以直线岷的倾斜角为60,或1 2 0,，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为6
10、0 ,可以得出直线MN的方程为y =（x-2）,分别与两条渐近线y =殍*和丫=-弓x 联立,求得所 以 网=J（3-|）2+（羽+当2 =3,故选B.5.（2 0 1 7全国1 卷 1 0 题）已知尸为抛物线C：产=4 x 的焦点，过尸作两条互相垂直的直线/1，12,直线4与 C交于4 8 两点，直线与 C 交于D、E两点，则|4 阴+|。|的最小值为A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0A力勺垂直X轴4 c o s 9+|G 可=|Z&|（几何关系）|/局=以尸|（抛物线特性）=p易知|力 尸|c o s e+p=|/必|网=同理.AB=P1-C O S。2P1 -c o s2 0
11、c o s2 0而y2=4x,即 p =2.BF=-1 +c o s 02 0s i n2 0又 O E与48 垂直,M=-s i n2 0-+0即。后的倾斜角为22 22照+烟=2 P=4 疝*+c o s*s i n2 9 c o s 2 04s i n2 c o s2 04-s i n2 2 1 94当”:取等号即+目最小值为1 6,故选AA2 y26.（2 0 1 6全国1 卷 5题）已知方程成+-3/-m i表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是A.(-1,3)B.(-1,A/3)C.(0,3)D.(0,A/3)A【详解】由题意知：双曲线的焦点在X轴上，所以?2+3
12、 加2 一 =4,解得：加2=1,X2 V2 f l+0 f/7 -1因为方程-J=1 表示双曲线，所以 ，解得 ，所以的取值范1 +3 -3-/7 0 n 1)的左、右顶点，G为 的上顶点，A G GB=8,尸为直线x=6上的动点，P A 与 E 的另一交点、为 C,P B 与E的另一交点为D.(1)求 的方程；(2)证明：直线 8 过定点.%2 2_,-l-y=1(1)9;(2)证明详见解析.【详解】（1）依据题意作出如下图象:由椭圆方程一 1）可得：3 ）,8（a,0）,G（O,1）.AG=(a,1)GB=(a,I)AG GB=a2-1=Sa2=9-+/;椭圆方程为：91（2）证明：设尸
13、（6，%）,则直线，尸的方程为：言言G M）,即吟-3）联立直线力 尸的方程与椭圆方程可得:X2 2 13+夕=1y 4(x+3)9,整理得:(T o2+9)x2+Gyx+9y02-81=0 /MT r j :x=x=-3 或-3方 +274+9、=呆,蚱 及。+3）将 为+9代入直线 9%可得：%+9、所以点c的坐标为同理可得：点o的坐标为J -=-3东 +2 7 3%=-一%2 +1,，直线8的方程为：方+9 4+1,2%8%(%2+3)(3,3 8%J 3H 一 二整理可得：%+1 6(9-歹0，)为+1 J 6(3y0+1i，_ 4 yo 2%=4/(3)-3(3-方%2 _ 3 3(
14、3-方)2)整 把侍：/骨故直线8过定点1 29.（2 01 9全国1卷1 9题）已知抛物线C：j 2=3 x的焦点为口，斜率为5的直线/与C的交点为力，B,与x轴的交点为尸.（1）若/用+1 8用=4,求/的方程;(2)若 AP=3 P B,求 1/圻)8 y-1 2 x+7 =04万(2)3y=-x-b D/【详解】（1）设直线/的方程为 2 ，设”（芭，,），8（七,8），联立直线/与抛物线的方程:y=-x-h2y2=3x-9X27、+（3/）-3）X+/）2=0消去y化简整理得4 =(3 6-3),2 _ 4、39 21 0 ./；1X +=4 x(3 3 6)|m+|幽=4可知须+“
15、2+二4,即 七+29 ,依题意5 4 x(3 3 6)5 ,7-b 2 ,故 9 2,得 83 7y X 满足八。，故直线/的方程为 2 8 ,即8 y-1 2 x+7 =0.3 ,y=X+D（2）联立方程组 y=3 x 消去x化简整理得/_2y +2 6 =0,=4-8 6 0.h （）,I 叫=2 fI X 1 3 +1 1=平v k V 9 3-4 4 2-11 0.（2 0 1 8全国1卷1 9题）设椭圆J万 +y-1的右焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，点M的坐标为（2,0）.（1）当1与x轴垂直时，求直线A M的方程；（2）设0为坐标原点，证明：N O MA =Z O M
16、B.（I）ZM的方程为y=一当%+雉 或 丫 =、历；Q）证明见解析.【详解】（1）由已知得F（L O）,/的方程为尸1.由已知可得，点/的坐标为（匕亍）或（L -T）.所 以 的 方 程 为y=-x+、历或y=r x-(2)当/与x轴重合时，Z O MA =Z O MB =0 当/与x 轴垂直时，为 的 垂 直 平 分 线，所以N O MA =Z O MB.当/与x 轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=k(x-1)(k W 0),A(x1,y1),B(x2,y2)；则Xi V 2,X2 /0),四点 R(1,1),a2 b2P2(0,1),R(-1，亍)，尸 4(1，)中恰有三点在椭圆C上.
17、(1)求 C的方程；(2)设直线/不经过P 2 点且与c相交于4 5两点.若直线尸2”与直线尸2 8 的斜率的和为-1,证明：/过定点.+/-1 ;/过 定 点(2,-1 )4【详解】(1)由于A，2两点关于歹轴对称，故由题设知。经过勺，乙两点.又 由*a*磊 知，C不经过点R,所以点尸2在C上.因此43=1,1 3=1,解 得2b2=4,=1.v-2故C的方程为9 +(2)设直线巳/与直线28的斜率分别为|,k2,如果/与x轴垂直，设/：x=t,由题设知/wO,且|”2,可得N,8的坐标分别为(/,4一、o、几，/、八 /、m i ,8km 4 m2-4设/（X i，y）,B（X2 ），贝U
18、X 1+M=-A，修%2=-7 3-4公+1 4 A r2+l而左+院=二 +匹二!X x2_ kx+m-kx2+m -王 x?_ 2kxiX+（加 一 1）（再 +x2）XlX2由题设占+左2 =-1 故（2 4+1）石“2 +（阳一1）（玉+工2）=0.口 口/3 7 4加-4 8km即（2 1 +1）.，,2 I+（5一1）,7 7 =.4k+1 4kz+1加+1解得左2当且仅当机 一 1 时，（）,于是/：y，即4+i=-；（-2）,所以/过定点（2,-1 ）.1 2.（2 0 1 6 全国1 卷 2 0 题）设圆x2+V+2x 1 5 =0的圆心为/,直线/过点8（1,0）且与x轴不
19、重合，/交圆N于 C,D 两 点,过 8 作ZC的平行线交月。于点E.（I）证明|/|+|8|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（I I）设点E 的轨迹为曲线C i,直 线/交 G 于 MN两点，过 8 且与/垂直的直线与圆月交于尸,0 两点，求四边形 PN0面积的取值范围.2 2（1）5 +?=1（尸0）（I I）1 2,8扬【详解】利用椭圆定义求方程；（I I）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。试题解析：（I ）因为|Z 0|=|/C|,E B H A C,故 N E B D =N A C D =N A D C ,所以|E81=|E 0,EA+EB EA+ED|=|A D .又圆/的
20、标准方程为（x +l）2+/=i 6,从而|Z Z|=4,所以|4|+|EB|=4.由题设得4 1,0）,5（1,0）,A B =2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x2 v2+-=1 （尸0）.4 3 ”(II)当/与x轴不垂直时，设I的方程为y=k Q-IX左#0),孙M)，N ,为).y=A-1)局 防 的 距 离 为|PJ9|=2 42-(-=)2=4.詈4二三+.3故 四 边 形MPN?的面积K I 12JX+L,所以5=2|四|尸0=12卡+1府+3 可得当/与x轴不垂直时，四边形MWQ面积的取值范围为 12,873).当，与x轴垂直时，其方程为x=1,I ACV|=3,|=8,四边形必解的面积为12.综上，四边形MW。面积的取值范围为02,8招).