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1、目录内容简介目 录第5章静定结构位移计算的虚力法5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 力 法6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 位 移 法7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7 3名校考研真题详解第5章静定结构位移计算的虚力法5.1 复习笔记本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论,在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变
2、形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移要点主要内容基本思路化整为零、?变形公式彘力4零为整：先将整体变形拆解为局部变形，再将局部口得出整体变形公式结构位移计算计算结构位移的目的验算结构的刚度，进而蛤算结构的挠度；为分析超静定结构的内力做准备产生位移的原因荷载作用；温度变化和材料胀缩；支座沉降或制造误差单位荷载法（见图 5-1-1）已知条件用有支座移动的结构来阐述单位荷载法。设支座4向上移动c i,求B点竖向位移计算步骤沿拟求位移A方向虚设一单位荷载；根
3、据受力平衡求解支座反力：FRI=fa;列虚功方程：AXl+c后 尸0,解得A=b=-=a判断符号方向：求出位移为正值，说明虚设单位荷载与实际位移方向一致(a)(b)图5-1-1二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）注：为微段轴线伸长应变；7 为微段平均切应变；K为微段轴线曲率，而、乐、FQ分别为虚设单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。要点主要内容基本思路基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过已经介绍过的单位荷载法推导其拉伸、翦切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行彝加，得到整体变形公式，最后将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移局部变形微段分项位移微
4、段轴向位移出.二 出微段剪切位移助 二 加 出微段转角位移d0=ds R=xds局部位移公式dA Md+FNdz+FQdi/(MX+FN+FQO)ds整体变形推导依据外力虚功犷=内力虚功密无支座位移A=(X1X+FN+FQN)ds有支座位移CK=Z f(MK+FNE+FQ7O)dsXFR ATX广义位移定义拟求位移可以引申理解为广义位移，但需要根据广义位移的性质虚设广义单位荷载。广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：彳=1A广义位移分类见 表 5-1-3表5-1-2虚力法求静定结构的位移表5-1-3广义位移分类三、两个对偶解法虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）表5-1-4
5、两个对偶解法虚力法求位移、虚位移法求内力要点主要内容原理手段作用虚力法借功求未知力虚设单位位移用于力系的平衡分析虚位移法借功求未知位移虚设单位荷载用于位移、变形的几何分析四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算要点主要内容荷载引起位移的计算公式监弯曲应变K=-E I代入A=Xf（疏+齐N+FQ Y O）ds得A=2 j 3由+2 隹殳由+2 /匪 殳 由3 E I 乙 J E4 乙 J G4轴向应变=TEA翦切应变y=k GA各类结构的位移公式梁和刚架:位移主要由弯矩引起=2 心乙 J E I桁架:位移主要由杆件轴力引起A=y|区&d
6、s乙 J EA桁架组合结构:位移主要由杆件弯矩和轴力引起A =yf Wpd s +y A p!乙 J E I 乙E A拱:位移主要由弯矩和轴力引起A=，|陛+国乙 J E I EA截面平均应变平均切应变7。公式1 r S y,/0=-d A/o/L b系数2a五、图 乘 法（见表5-1-6）表5-1-6 图乘法要点主要内容公式推导一 直 杆 段 有 两 个 弯 矩 图，其 中 有 一 个 直 线 图 则产 M M ,1 1 ,:-dr=M iM rdxL EI E IiA1例=J x tan（XMK dr1 a二 屈t an工 队 也1,=tan aAxQ=Ay0EI o式中，M为直线弯矩图；
7、/为 越 段 内 此 图 的 面 积；a为M图直线的倾角；X?是Mr图形心到y轴的距离；州是与Mk图形心对应的酩图纵坐标前提条件杆段为等截面直杆；结构满足小变形条件；至少有一个直线弯矩图用以选取竖距州正负号规定面积且与竖标a在杆的同一侧时A、vo取正,否则取负号具体问题若两个弯矩图中有一个图形是由几段直线组成的折线（包括标距为零的线段），则应分段图乘，然后进行囊加；若其中一个弯矩图比较复杂，则可以将其切割成多个规则图形（如一个梯形切分成两个三角形），分开图乘，然后进行会加；使用图乘法时，几种常见图形的面积和形心位置见图5-1-2图5-1-2六、温 度 改 变 时 静 定 结 构 位 移 计 算
8、（见表5-1-7）表5-1-7温 度 改 变 时 静 定 结 构 位 移 计 算要点主要内容计算公式4 =2叫&+工筌 血式中，a为材料睇戋即账系数，“为杆件轴线温度1加为杆件上、下边缘的温差1%为杆件敲面高度正负号规则的为以拉伸为正，S 以温度升高为正；当 专 矩*和 温 差&使杆件的同一边产生拉伸时，&M取正值，否则取负值七、互 等 定 理（见 表5-1-8）表5-1-8互等定理定理公式公式含义功的互等定理卯1 2=g 1对于任意线性变形体系，状态I的外力在状态n的位移上作的功队:与状态口的外力在状态I的位移上作的功取】相等位移互等定理021=012对于任意名戋性变形体系，荷载FT.引起的
9、对应于荷载尸m的位移影响系数Ri等 于 趣Ec引起的对应于荷载尸m的位移影响系数6n反力互等定理（仅适用于超静定结构）对于任意线性变形体系，位移G引起的对应于位移C：的反力影响系数E等于位移6引起的对应于位移G的反力影响系数F位移反力互等定理on-n/对于任意线性变形体系，位移J引起的对应于荷载尸四的位移影响系数6匕在大小上等于荷载尸 餐引起的对应于位移C：的反力影响系数n f,但符号相反5.2 课后习题详解5-1试用刚体体系虚力原理求图5-2/所示结构D点的水平位移:(a)设支座A向左移动1cm。(b)设支座A下沉1cm。(c)设支座B下沉1cm。图5-2-1解：静定结构在外部荷载作用下不产
10、生位移和变形、仅产生内力，在外部位移作用下不产生内力和变形、仅产生位移。图5-2-1所示结构为静定结构，支座移动下不产生内力，虚功方程中没有内力所做虚功。(a)画出求解的内力图，如图5-2-2所示。虚 设 力 状 态 图1图5-2-2虚设力的方向同位移方向相同，运用刚体虚功方程得ADHX 1 -1x1=0,ADH=1cm()(b)画出求解的内力图,如图523所示。虚设力状态图2图5-2-3根据比例关系，算出D的水平位移，列出刚体虚功方程ADHXI lx(1/4)=0,AnH=l/4cm()(c)画出求解的内力图，如图5-2-4所示。虚设力状态图3图5-2-4列虚功方程ADHX I lx(1/4
11、)=0,ADH=l/4cm(*)5-2 设图5-2-5所示支座A有给定位移A、&、A,o试求K 点的竖向位移A、，、水 平 位 移 和 转 角 0。解：给定位移，结构状态如图5-2-6所示。图52 6(I )求竖向位移Av图5-2-7施加一个竖向力，虚设力状态如图5-2-7 所示，对应开始时的位移状态，列虚功方程Avx 1 Ayx (1)Awx 3 a 0A v=Av+3 aA,p(1)(2)求水平位移AH施加一个水平力，虚设力状态如图5-2-8 所示，列虚功方程AHX1 Axx 1 x a=()ii=A x+a (&=1/(4f)(|)(2)求水平位移4施加水平方向的单位力，虚设力状态如图5
12、-2-12所示，列虚功方程A2x l-lx (1/2)=0=A2=l/2(一)1cABFR2=T5-2-12（3）求相对转角4两端施加单位力偶，虚设力状态如图5-2-1 3 所示，列虚功方程A x l-l x (1/f)=O=A=l/f (/、)7图5-2-135-4设图521 4 所示三钱拱中的拉杆A B 在D点装有花篮螺栓。如果拧紧螺栓，使截面D i 与D?彼此靠近的距离为3 试求C 点的竖向位移c图 5214解：两截面相互靠近，可知AB上有相对的位移，可用虚功方程求解。在C点施加一个竖向的虚设力，AB杆的轴力如图5-2-15所示，列虚功方程1A x 1+x 1/(4 f)=()=彳N=(
13、拉).1/(4 f)图5-2-1 55-5 设图5-2-16所示柱AB由于材料收缩，产生应变一试求B点的水平位移A。图5-2-16解：虚设力状态如图5-2-17所示。1B图5-2-17则运用虚功原理，歹IJ方程A x l&x2ax2=0=A=4a&()5-6设由于温度升高，图5-2-18所示杆AC伸长膜c=1 m m,杆CB伸长&B=1.2mm。试求C点的竖向位移A。D图5-2-18解：温度变化对结构有两种影响方式，一种是通过改变杆件的轴向变形来产生轴力，一种是通过改变杆件的内外侧温差来产生弯矩。本题结构为静定三角桁架，温度变化下不产生变形，仅考虑由杆件轴向变形产生的位移影响。在C点施加竖向虚
14、设力，虚设力状态如图5-2-19 所示。图 5 2 19运用虚功原理列方程：A x l-X,x l/2-X2x l/2=0,则C 点的竖向位移公为公=1 乂 (1/2)+1.2 x (1/2)m m=1.1 m m (J)5-7 试用积分法求图5-2-qA C EII8/22 0 所示悬臂梁A 端和跨中C 点的竖向位移和转角(忽略剪切变形的影响)。图5220解：(a)A 端的竖向位移在A 端施加一个竖向虚设力，则梁上产生的弯矩为：M(_)=x；外力均布荷载产生的弯矩为：M p=q x?/2 =0,剪力RP=q l/2-q x,且结构左右对称。2 XqxET1XXd r=5q产384/N)弯矩对
15、位移的影响剪力对位移的影响中 Q=2k02GA1X 一,)8 G4 GA故总位移为A中=5 q P/(3 84 EI)+0.1 5 q l-/(GA)(J)。(2)比较剪力和弯矩对位移的影响4。_ 0.15/2/5q/4 _ 11.52EZX T -GA/384EZ-GA12求二者比值将题中所给的G=3 E/8,h/l=l/1 0代入上式，则比值为2.5 6%。可以看出剪力对位移的影响仅仅是弯矩的2.5 6%,因此在某些情况下可以不用考虑剪力的影响。5-10试求图5-2-2 3所示结点C的竖向位移A c,设各杆的E A相等。图5-2-23解：在C点施加一个竖向的虚设力，则结构各杆内力反应如图5
16、-2-1 1 c =一 F?x-x2dx2+)x(-)x x 2 +(FP)x (-1)x 2dEA 2 26.82 85日()EA24所示；外力作用下，各杆的内力反应也如图5-2-24所示。则C点竖向位移为图5-2-245-1 1 试求图5-2-25所示结构结点C的水平位移&,设各杆的EA相等。图5-2-25解：在C点施加一个水平虚设力。结构的虚设力状态图和荷载轴力图，如图5-2-26所示。图5-2-26 C江卷心&=y/2F?xy/2xy2a+(-Fp)x(-l)xaEA二 W(2V 5+i)(f)EA求位移得5-1 2 试求图52-27所示结构结点C的 水 平 位 移 设 各 杆 的 E
17、A相等。图5-2-27解：首先在C点施加一个水平虚设力，注意到桁架C点以上都为零杆，因此只考虑C点以下结构受力。虚设力状态图、荷载的轴力图如图5-2-28所示。图 5-2-28J EA=J-(4+4+10+2 7 2+2 7 2)EA=23.657 色(-)EA则结点c 的水平位移为5-1 3 试求图5-2-29所示等截面圆弧曲杆A点的竖向位移Av和水平位移AH。设圆弧AB为1/4个圆周，半径为R,EI为常数。FP图5-2-29解：（1）A点的竖向位移A v在A点施加一个竖向的虚设力，虚设力状态和外荷载作用下的应力状态，如图5-2-3 0 所示。虚设力状态图实际状态图图5-2-302（一为K
18、si n F c y X 4=2 0 x 2=F cy=1 0 k N (J)(3)以ABC为隔离体，如图5-3-1 2所示。图5-3-12ZR=()=RB=10kN(1)XFx=0=FPx=20kN(一)ZMc=()=120-ML FhXx4-RBx4=()=MF=0(4)作出结构的弯矩图，如图5-3-13所示。图5313(单位：kN m)(5)C点的竖向位移为(M(_)M/EI)ds+q (N(_)N/EA)ds-gR c=l/EIx(1/2x80 x4x2/3x4+l/2x80 x4X4-4X4X(120+40)/2 1/2x40 x4x4x2/3)+(一(10 x1)/k)-0=-12
19、80/EI(f)如图5-3-14所示结构，DFG杆为刚性杆，其余各杆EI为常数，弹簧的刚度系数为k=E I/lll,结构受图示荷载作用的同时:A支座处还发生有竖向和水平沉陷A和4。若使G处不产生水平位移，试求A和&应满足的关系。北京交通大学2013研85kN-m图5-3-14解：(1)对整体受力分析，由ZFx=O可得RA、-2X6=(),即R,、*=12kN。2kN/m(2)以ABC为隔离体，如图5-3-15所示。图5-3-15由F、=0可得2X6-12+FJ=0,即FJ=O。由ZM,=O可得FE=18kN。(3)以右侧附属结构为隔离体，由EMH=O可得2 R-2 6=0,即Ri=13kN。由
20、2 R=0 可得FHy=1 3 k N,如图5-3-16所示。图5-3-16图 5-3-17(5)作出结构的M(_)图如图5-3-18所示。图5-3-18用单位荷载法求G处的水平位移为&*=灯(M(_)M/EI)ds-R(_)i Ci=l/EIx(2/3x20 x2x2x5/8+36x2x2/3x2)一(-JxA,)lx&=388/(3EI)Ai 4=0所以有4+4=3 8 8/(3E I)。图 5-3-19所示跨度为L的梁，抗弯刚度为E I,在跨中集中荷载P作用下梁跨中C处的竖向位移为PLV48EL为将梁跨中竖向位移减小到原来的1/8,对梁中部长度为1的区域给予增强。若将增强部分梁的抗弯刚度
21、近似为无穷大，试求增强部分的长度1。北京交通大学2014研图 5-3-19解：本题要确定1,使得梁跨中位移为未增强时的L/8,实质上是静定结构的位移计算问题。(1)在C处施加单位竖向力，画出M(_h、Mp图如图5-3-20(a)、(b)所示。AH图5-3-20(a)图5-3-20(b)(2)由图乘法求跨中竖向位移为A=l/EIx(l/2x(PL/4)x(L-l)/Lx(L-l)/2x2/3xL/4x(L-l)/Lx2)=P(L-l)7(48EI)使=l/8xPLV(48EI)，解得l=L/2。求图5-3-21所示刚架D点的竖向位移，已知各杆EI相同，且为常数。华南理工大学2017研图5-3-2
22、1解：利用单位荷载法，在D点加竖向单位荷载(J),分别作出M(_%、MP图，如图5-3-22所示。图5-3-22通过图乘可得C点的竖向位移(M(_),MP/EI)ds=l/EIx2x(l/2xl/2xlx2/3xqP/2+2/3xqp/8xlxl/4)+l/2xl/2xqp/2=qlV(3EI)(1)求图5-3-lOkN/m23所示结构A点处全位移AA,并确定方向(EI=2.1xl04kN-m2)四川大学2014研图5-3-23解：(1)求A点的竖向位移，在A点施加一竖直向下的单位荷载，分别作出结构在外荷载/图图5-3-24(a)图5-3-24(b)A点处的竖向位移为AV=1/E IX(1/3
23、 x5 x1 2 5 x5 x3/4+1 2 5 x5 x5)=3 9 0 6.2 5/E I=0.1 8 6 m(2)求A点的水平位移，在A点施加一水平向右的单位荷载，作出其弯矩图如图5-3-2 4 (c)所示。M=1环图图5-3-24(c)A点处的水平位移为AAH=1/EIX(1/2X5X5X125)=3125/(2EI)=0.074m(一)A.二 V0.1862+0.0742:0.2m(3)A点处的全位移为与水平方向的夹角为arcsi n0.93,斜向左下。图 5-3-25所示结构各杆EI为常数，计算并绘制结构的弯矩图，并求B点的水平位移。四川大学2015研q图5-3-25解：(1)对整
24、体进行分析，由g R =O 可得F c x=O；对右半部分进行分析，由2 M n=0 可得F c,=q a(?)；对整体进行分析，由Z F，=O 可得F ，=2 q a(f)。(2)作出结构在外荷载作用下的弯矩图如图5-3-2 6 (a)所示。图5-3-26(a)(3)求B点的水平位移，在B点处加单位力(一)，作出结构的弯矩图M(_)”如图5-3-26(b)所示。图5-3-26(b)(4)图乘得B点的水平位移为AB=1/EIX(2/3x2axqa72xa)=2qaV(3 E I)(一)2m 2m图5-3-2 7 所示结构，q=1 2 k N/m,试求D点的竖向位移ADV。四川大学2 0 1 6
25、 研图5-3-27解：(1)对结构的右半部分进行分析，由ZMD=0可得R c =2 7 k N (1)o(2)对整体进行分析，由ZMA=0可得RB=1 0 8 k N (1)；由g F，=0 可得F y,a=8 1 k N(T)；由F、=0 可得F s=3 6 k N (-)o(3)作出结构在外荷载作用下的弯矩图MP,如图5-3-2 8 (a)所示。图5-3-28(a)(单 位:kN m)(4)在D点作用一单位竖向荷载，画出其弯矩图M(_)“如图5-3-2 8 (b)所示。图5-3-28(b)(5)图乘可得D点的竖向位移为AD V=-1/(2EI)xl/2x2x2x2/3x 162+1/(3E
26、I)x324x2+1 /EIx 1/2x2x2x2/3x54=-396/EI 已知图5-3-29所示结构温度上侧上升IO C,下侧下降3O C,弹簧K=3EI/8,材料的线性膨胀系数为a|1 0.6m0.3m，截面尺寸如图所示，求C点竖向位移。福州大学2014研图5-3-29解：用单位荷载法求位移，在C处施加竖向的单位荷载，分别作出M(_ Mp图如图5-3-30(a)、(b)所示。图5-3-30(b)(单位：kN-m)Ac=Z写斛+2J警小(F)卷40a 1 ,、-x-x6x2+0.6 21 C1 2 1 2 2、-x2x 40 x 2x-+-x4x 40 x 2x-x4x20 xl+EI 2
27、 3 2 3 3)12x503EI=400a+竺(3EI t与M(_)所产生弯曲的受拉方向相同，所以C 点的竖向位移为如图5-3-3 1 所示，各杆长度均为1,且抗压刚度E A、抗弯刚度为EL试求A点竖向位移。福州大学2 0 1 5 研CA图5-3-31解：用单位荷载法求解，在A处施加竖向的单位荷载，分别作出M(_)、MP、F(_)N、FN P而和心图和&P图图如图5-3-32所示。图5-3-32图乘得A点的竖向位移为*17C 14x 2,/x/x/x I 2 3 J1K4-2/x(-2)+/xl/_ 4 F/3EI5F)EA图 5-3-3 3所示结构,荷载明已知，杆件C端与地面光滑接触，问F
28、 m为何值时C端离开地面？（E I=常数）冲国海洋大学2 0 1 8研图5-3-33解：（1）受力分析及弯矩图如图5-3-3 4所示。M=FP2aM=a图5-3-34(2)在F n 的作用下，C 处产生的竖向位移为Alc=-l/E I x(l/2 xa/2 xFP la/2 x5 a/6)=-5艮0/(4 8 E I)(1)(3)在FPZ的作用下，C 处产生的竖向位移为&c=l/E I x(l/2 xaxaxF p2a)=FP2 a/(2 E I)(f)(4)当C 端恰好禺开地面时，有A c=A i c+A 2 c=0;于是有5FPM/(4 8 E I)=FP2 a3/(2 E I),即FP2
29、=5FP/24。如图5-3-3 5 所示的组合结构，各杆件E A、EI为常数，求钱C 两侧的相对转角。中I同海洋大学2 0 1 8研B图5-3-35解：（1）受力分析并作荷载作用下的弯矩图如图5-3-3 6所示。M，图图 5-3-36(2)求钱C两侧的相对转角，作出结构在单位力偶作用下的M(_h图如图5337所示。图5-3-37(3)图乘法求钱C 两侧的相对转角为(Pc=l/El x (9 0 x 3 x 1/2 x 1/2 x 2/3 x 2 2 0 x 4 x 1/2 x 1/3+1 0 0 x 4 x 2/3 x 1/2)+1/EA X (7 5 x 5/1 2 x 5)=2 1 0/E
30、l+6 2 5/(4E A)(顺时针)q图5-3-38解：用单位荷载法求位移，先画出结构在A点施加单位竖向力时的弯矩图以及结构在原荷载作用下的弯矩图，如图5-3-39所示。图 5-3-39图乘法可得A点的竖向位移Av为AAV=1/EIX(qP/8xlxl/4+l/2xqp/4xlxl/2x2/3+l/2xqp/4xlxl/2x2/3+l/2xqp/2xl/2x2/3xl/2-l/3xqp/8xl/2xl/2x3/4)=19ql4/(128EI)(j)计算图5-3-4()所示结构C点的竖向位移。(各杆EI均为常数)华南理工大学2016研图 5-3-40解：用单位荷载法求C点的竖向位移，在C点加一
31、方向向下的单位荷载，分别画出结构在外荷载以及单位荷载作用下的弯矩图，如图5-3-41(a)、(b)所示。图 5-3-41(a)畛图 5-3-41(b)利用图乘法可得C点的竖向位移为Ac=1/EIx(l/2x3Paxax2a/3+l/2x2Paxax2a/3+l/2x3Paxax2a/3 l/3xax2Pax3a/4)=一13PaV(6EI)(f)10kN/m试求图5-3-42所示结构中截面B、C的相对竖向位移。EI=常数。福州大学2011研图5-3-42解：在B、C两点加一对方向相反的单位力1,作MP图和M(_)图，如图5-3-43(a)、(b)所示。图(kN-m)图5-3-43(b)截面B、
32、C的相对竖向位移为ABC=1/EIX(-1/2X2X40X2X2/3-1/2X4X40X2X2/3+1/2X4X40X42/3X4X20X3)=0第6章 力 法6.1 复习笔记本章重点介绍了力法的原理以及如何运用力法对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。首先，从单次超静定结构到多次超静定结构，对力法的解题步骤进行了归纳并推导出了力法的典型方程；随后，论述了超静定结构超静定次数的判定方法，演示了刚架、排架、桁架、组合结构、对称结构在荷载作用以及支座移动和温度改变下的力法分析步骤，讨论了基于力法和虚功原理的超静定结构的位移计算思路；最后，强调了超静定结构计算中校核的重要性，以确保最终计
33、算结构的准确性和可靠性。一、力法的基本概念力法的基本未知量、基本体系和基本方程力法的基本概念，包括基本未知量、基本体系、基本结构以及基本方程见表6-1-1,此外，表中还归纳了超静定结构的力法分析步骤。表6-1-1 力法的基本未知量、基本体系和基本方程要点王要可容基本概念对于超静定结构，以某些力作为基本未知量的求解方法称作方法。力法以多余约束力为基本未知量，以静定结构为基本结构，以平衡条件和变形协调条件为计算依据基 本 未 知 量 超静定结构中的多余约束力，称为力法的基本未知量，这也是力法名称的由来其木代玄 撤去多余约束（如支座D后，以多余未知力*（为即待求的基本未知量）代上不体系 音，得到的含
34、有外荷载和多余未知力的静定结构，称为基本体系基本结构不包含外荷载和多余未知力的静定结构，称为基本结构基于结构的变形协调条件，考虑约束力以及外荷载分别在相应约束处产生的位移的方程称为基本方程该结构为具有一个多余约束的超静定结构，撤去滑动支座琏杆，代以未知约束反力X：基本体系的选取(I丽基本体系X静定结构沿X正方向存在位移A,它受两个分项位移影响:外荷载单独作用时在端部产生位移AIP；S S黑变形胪步骤 析1）约束力由单独作用时在端部产q：生位移A n,勿.4 力 4 R iA、D 14P-M列力法方程将外荷载产生的位移A 1 P和约束力产生的位移A u进行醯加;得到原超静定结构支座约束处的位移A
35、=AU+A】P;由于A=0,因此有力法方程：AH+AIP=0J6 1 1为约束力由=1时端部产生位移，由A n=6 i必 得：6ILA TI+AIP=O6 1 1和AJP由虚设单位力结合图乘法求得；求出X后，根据蠹加原理求结构任意截面的弯矩：跖=曲+幼多次超静定结构的力法分析（见表6-1-2）表6-1-2 多次超静定结构的力法分析步骤分析步骤主要内容该结构为具有两个多余约束的超静定结构，撤去固定较支座的两根捱杆，代以未知约束反力由、孙基本体系的选取静定结构沿小、E正方向分别存在位移心、&,它们受三个分项位移影响:外荷载单独作用时在X、勘分别产生分项位移AP、&P（见图（a ,约束力由单独作用时
36、在由、照分别产生分项位移A u、A n （见 图（b）j约束力照单独作用时在石、无分别产生分项位移A n、A r （见 图（0）。原超静定结构支座处位移为零，即：A 1=0且&=0M=Mi X i+Nf c X：+X f r将外荷载产生的位移和约束力产生的位移进储加得到原超静定结构支座约束处的位移AI=AH+AI2+AIPA2=A21+AT+A2 P由于A i=0且&=0,因此有方法方程列力法方程A n +A n+AIP=0A 2 1 +A 2 2+A 2 P=0考虑到=6图，则6 1 1 A 1 +6 1 2 J2 +A i p 06 2 e+0 2 2 J2 +AZP=0求出X、生后，根据
37、盛加原理求结构任意截面的弯矩力法典型方程从一次超静定结构的力法分析到二次超静定结构的力法分析，可以发现一定的规律，那么-+a+4p=。劣 工+多工+J X”+4P=O%乂+。2 工2+,/；+4=0.具有n 次超静定结构的力法典型方程归纳如下：式中，AP表示由荷载产生的沿X i 方向的位移；说表示由单位力X=1产生的沿X,=l 方向的位移，常称为柔度系数，且诙=次。M=MxXx+M2X2+-+MnXn+Mp FQ 与广。+。2 玛 +FQP”氏=4 丙+42马 f h氏 3n+Fyp在解得多余未知力之后，超静定结构的内力可根据叠加原理计算如下：或根据结构受力平衡求解。二、超静定次数的确定力法的
38、前期工作（见表6-1-3）表6-1-3 超静定次数的确定力法的前期工作要点主要内容静力平衡和几何构造特征超静定结构的支座反力和截面内力不能通过静力平衡条件简单求解，因此内力超静定是它懈力平衡特征，具有多余约束是它的几何构造特征超除定次数的确定通常从结构的几何构造角度切入，判断结构多余约束的个数，即超都定次数，一般可采用约束拆解法和分析计算自由度法约束拆解法题去结构中的全却多余约束，直到将结构变成无多余约束的将定结构，撤去的多余约束个数即结构的超总定次1K具体方法如下：微去一根祥杆或在梁式杆中加入一个单校，等于圻掉Y约束；撤去一个钱支座或单钱，等于拆掉两个约束，W i T架式杆，等于折掉三个约束
39、计算自由度W（见表 2-1-3）从结点入手，把体系看作由许多结点受捱杆的约束而组成的，则结构超静定次数一丁=b2/三、力法解超静定刚架和排架（见表6/-4）要点涯唯刚架的解法步骤刚架解法步骤与表6-1-2中二烧静定结构的力法分析相同，若所求刚架有川个多余约束，则需切断个多余约束，列”个基本方程。其步骤概括如下：选取基本体系I夕心力法方程J求系数和自由项；求多余未知力，作内力图排架的解法步骤排架的柱子固定于基础之上，是刚结点，其水平横梁只受轴力作用，因此采用力法时通常用切断横梁（或去掉横梁）的方法撤去排架结构的多余约束，来分析其隰柱子弯矩的影响，具体求解步骤见表6-1-2表6-1-4力法解超静定
40、刚架和排架四、力法解超静定桁架和组合结构（见表6-1-5）表6-1-5力法解超静定桁架和组合结构结构类型主要内容结构特点桁架只包含琏杆，因此计算方法方程的系数和自由项时，仅考虑轴力的影响该结构（见 图（a）为具有一个多余约束的超静定桁架结构，切断杆（1 0）,代以未知约束力小，得到基本体系（见 图（b）基本体系的选取桁架结构变形协调分析静定桁架沿船正方向存在位移A,它受两个分项位移影响：外荷载入单独作用时产生位移A1 P；约束力由单独作用时产生位移Aiu原超静定结构支座处位移为零，即A=0一次超静定结构的方法方程形式相同，为：6】而+A=0;6 u和A a的求解有所不同，因为只考虑轴力的作用。
41、作出荷载丹和约束力M单独作用下的轴力图（见 图（。和（d）;列力法方程根据轴力作用下的位移公式，求分项系数6 和APK V1 A 一v 4 p代入6 1 1和A1 P,求解约束力M=一高-注意事项彘加求解其他各杆轴力：FN=FNI-VI+FXP在求解系数和自由项时，是否考虑断开的捱杆在乂=1作用下的轴力，与所选取的基本体系有关组合结构结构特点组合结构中既有碇杆又有梁式杆，因此除了福杆轴力的影响，还需考虑梁式杆弯矩的影响力法求解步骤包括：选取基本体系；列出力法方程；求系数和自由项；求多余未知力，作内力图注意事项求解系数611时应考虑弯矩和轴力的影响，如 J EI 乙 EA求解自由项AIP时同理，
42、但若外荷载在德杆上不产生轴力，则不用考虑轴力的影响五、力法解对称结构（表6-1-6）表6-1-6 力法解对称结构要点主要内容对称结构若几何形式 支承情况、杆件截面、材料性质都关于某轴对称，则该结构为对称结构作用荷载对称荷载荷载绕对称轴对折后，左右两侧荷载的作用点、大小、方向彼此重合，对称荷载作用下，在对称轴上，反对称未知约束力（剪力）为零，因此只考虑对称未知力（弯矩、轴力）反对称荷载荷载绕对称轴对折后，左右两侧荷载的作用点、大小重合，方向相反；反对称荷载作用下，在对称轴上，对称未知约束力（弯矩、轴力）为零，因此只考虑反对称未知力（剪力）非对称荷载的处理直接计算直接取非对称荷载进行计算，这种方法
43、需要考虑多个约束，计算较复杂分解计算把荷载分解为对称荷载和反对称荷载，分别计算，然后进行会加，在此用一具有6个多余约束的两跨固定刚架（见图6-1-1（a）说明具体计算步骤：将反对称荷载P分解为一对对称荷载和一对反对称荷载，如图6-1-1（b）和 6-1-1（c）;分析对称荷载。对称荷载作用下，刚架仅有水平梁上存在轴压力R 2,其他杆无内力；分析反对称荷载。反对称荷载作用下，取半结构（见图6-1 -2（a）分析。半结构也受到非对称荷载P 2作用，因此可以再次根据步驶的方法将非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载，其中对称荷载作用下，结构仅有水平梁受到R 4轴压力作用；分析半结构的反对称荷载。在反对
44、称荷载尸4作用下，对称轴上的对称未知力（弯矩、轴力）为零，反对称未知力（剪力）不为零，因此取该半结构的L4结 构（见 图6-1-2（c）,至此，原结构只剩下一个多余未知力；选取基本体系。撤去多余约束，代以未知力石；列力法方程。根据一次超静定结构的力法分析，列力法方程6111+AIP=O求出X后，根据盘加原理求该1 4结构任意截面内力图；将半结构的内力图按分解的顺序逆向拼装成原结构的内力图图 6-1/P/4(d)图6-1-2六、支座移动和温度改变时的力法分析（见表6-1-7）表6-1-7支座移动和温度改变时的力法分析要点主要内容一 结 构（见 图（a）左端支座转动角度为8,右端支座下沉位移为a。
45、该结构具有一个多余约束，去掉捱杆，代以未知约束力小,得到基本体系（见图6）：基本体系的选取支座移动时的计算(b)静定桁架沿由正方向存在位移A,它受两个分项位移影响:约束力否单独作用时产生位移6 1因；支 座 单 独 转 动 产 生 位 移-%见 图（c）;原超静定结构支座处位移为：=-变形协调分析将约束力产生的位移和支座产生的位移益加，得到方法方程：6 1疝-8/=列力法方程求出乂后，根据彘加原理求结构任意截面的弯矩，由于支座位移在静定结构中不引起内力，则：一=跖小温度改变时结构的力法分析步骤中基本体系的选取、变形协调的分析以及力法方程的形式与荷载作用时均相同，但温度引起的位移A1：求法不同，
46、其计算公式（见 表5-1-7）为4r温度改变时的计算24网小+2等 何Mds因此需要作出单位荷载引起的弯矩图和轴力图，积分得到Nt。最后，求 出 由 后，由于温度变化不会对静定结构引起内力，则M =MX&=艮西七、超静定结构位移的计算（见表6-1-8）要点主要内容计算思路将超静定结构的位移求解问题转化为基本体系的位移求解，并利用表5-1-7中虚力法求解结构位移，其具体步骤如下：通过力法计算得到结构内力图，如表6-1-1结构的弯矩图再次选取合理的基本体系（形式越简单越好，便于后续用图乘法）；在指定位置（通常是跨中）施加一单位力丫=1,作出基本体系的单位弯矩图访利用M和 一U进行图乘，即可求得该结
47、构的跨中挠度不同荷载作用下的结构位移公式平面结构位移计算的一般公式(.V k 4-+Fqyo)出一 g尸RICK荷载作用下的位移公式支座移动下的位移公式温度变化下的位移公式乙 八 7 EA GAZ 叫+竿 p?d s+综合影响下的位移公式 =j跑出+公区出+竺通出乙 7 EA GA+注：式中M、尸N、尸Q是超静定结构在全部因素影响下的内力，而立、闻、民和信女则是基本结构在单位力作用下的内力和支座反力。表6-1-8超静定结构位移的计算八、超静定结构计算的校核（表6-1-9）要点主要内容校核目的超静定结构计算较为繁琐，大量运用数字与符号，因而极容易出错，通过校核能够有效降低错误率，保证计算结果的正
48、确性阶段校核计算前检查多余约束次数，以及基本体系是否为几何不变解系数和自由项时校核内力图及其正负号方程求解完将计算结果代入原方程，检查等号两边是否成立内力图总校核对用会加法得到的整体结构内力图进行总核实，主要从平衡条件和变形协调条件两方面入手平衡条件的校核截取结点核实是否满足平衡条件g g o截取杆件核实是否满足平衡条件历=0；z a=o变形协调条件的校核任意选取基本结构，选取一个多余未知力 石，根据结构内力图算出沿E方向的位 移 检 查&是 否 等 于 原 结 构 中 的 相应位移表6-1-9 超静定结构计算的校核6.2 课后习题详解6-1试确定下列图6-2-1 所示结构的超静定次数。图6-
49、2-1解：(a)如图6-2-2 (a)所示，较结点左右两段分别去掉1 根单链杆，超静定次数为2；(b)如图622 (b)所示，每个正方形内去掉1 根斜杆，两个单链支座任意去掉其中1 个，共计7 根单链杆，超静定次数为7；(c)如图6-2-2 (c)所示，去掉1 根链杆和1 个钱支，超静定次数为3；(d)如图6-2-2 (d)所示，去掉3 根链杆，超静定次数为3；(e)如图6-2-2 (e)所示，去掉2 个钱支，超静定次数为4：(f)如图6-2-2 (f)所示，去掉2 根链杆，超静定次数为2；(g)如图6-2-2 (g)所示，去掉2 个钱支和切断1 根杆，超静定次数为7；(h)如图6-2-2 (
50、h)所示，去掉4个链杆和切断位于中间区间的2根杆，超静定次数为1()；图6 2 26-2试用力法计算下列图6-2-3所示结构，作M、FQ图。除图6-2-3 (b)为变截面外，其余各图E I =常数。FPA/的2图623基本体系图解：(a)选取基本体系如图6-2-4所示。图624列力法方程：8 1 1 X 1 +A i p=0 o分别作出单位未知力和外荷载的弯矩图如图6-2-5 (a)、(b)所示。I,(a)M 图(b)M，图图625再求方程中的系数和自由项，得5 n=X l M(_)M(_)i/(E I)d s=l (3 E I)u，=Z M(_)M，/(E I)d s=l/(E I)(-1/