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1、合肥市第十中学2022 2023学年高三上学期学情检测卷（一）数学试题（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知复数z满足zi=2+i,则复数z的虚部为（）A 1 B.-2 i C.2 i D.-22.记全
2、集=11，设集合4=卜 料41,8=闻2尤2 _ 5 1-3 2(),则(4 8)c A=()3 .已知,5均为单位向量，且贝IJ|1+6|=()A.1 B.73 C.2 D.34.命题P：-4 20”为假命题，则。的取值范围是()A.-46 Z?0 B.-4 0 C.-3 O D.-4(705 .已知定义在R上 函数/(x)满足/(l-x)=/(l+x),且/(x)在 1,M)上单调递增，则()A/(0.2 -3)/(411)/(lo g30.5)B./(0.2 -3)/(lo g30.5)/(41-1)C./(4)/(0.2 3)/(lo g30.5)D /(lo g30.5)/(0.20
3、-3)0在（2,7）上有实数解，则的取值范围是（）A.（y,8）B.（-,8 C.（-o o,2 77 j D.（_ 8,g7.设 点 户 为 双 曲 线 氏 吞 卡 =1（。0/0）的渐近线和抛物线。：丁=4的一个公共点，若 P到 C的焦点距离为4，则双曲线E的离心率为（）2 百亍而38.设“X）的定义域为R,且满足 3 2 x）=/（2 x l）（x）+/（x）=2,若/=2,则/（1）+/（2）+/（3）+.+/（2 0 2 2）=（）A.2 0 2 3 B.2 0 2 4 C.3 0 3 3 D.3 0 3 4二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个正确答案，请把
4、正确答案涂在答题卡上）9.下列函数中，与函数y=x +2不是同一个函数的是（）A.y（J x +2）B,y=+2 C.y=+2 D.y +210 .下列说法不正确的是（）A.函数/（x）=，在定义域内是减函数B.若 g（x）是奇函数，则一定有g（0）=0_ f _ QX _ 5 (x V 1)C.已 知 函 数=2 1)在（F,+）上是增函数，则实数”的取值范围是-3,-11 3D.若/（x）的定义域为 2,2 ,则/（2 x 1）的定义域为11.定义在R上的函数/（X）满足 x+y）=/（x）+/（y）,当x 0,则下列说法正确的是（）A./（0）=0B./（X）为奇函数C./（x）在区间?
5、,上有最大值/（）D./（%-l）+/（x2-l）0的解集为卜卜2 X 112 .下列说法正确的有（）A.若 x 0,y 0,x+2 y +2 肛=8,则x+2y 的最小值是2x 2y D.若实数x,满 足 孙 0,则 一 一 的 最 大 值 是 4-2 直x+y x+2 y三、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分，请把正确答案写在答题卡上)13 .若函数/(五工1)=%1,则/(%)=.14.己知基函数/(x)=W+2 2)/-3(e Z)在(0,+a)上是减函数，则的值为.15 .函数/(x)=3 x Y的 单 调 增 区 间 是.16 .在 1和 10 之间插入个实数，使得
6、这(+2)个数构成递增的等比数列，将这(+2)个数的乘积记作T,则怆工+l g 4+1g =.四、解答题(本大题共6 小题，共 70分.其中17题 10分，其他题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知全集0=1 1,集合A =x|三|o ,B =x|x2-2 a x +(a2-l)0 .当 a =2 时，求(则c(;(2)若 x e A 是 x e 8 的必要不充分条件，求实数。的取值范围.18.已知“X)是定义在R上的偶函数，当x0时，“X)是二次函数，其图象与x 轴交于A(l,0),B(3,0)两点，与 y 轴交于C(O,6).(1)求/(x)的解析式；(2)若方程
7、/(另一2。+2 =0有两个不同的实数根，求。的取值范围.1 9 .已知数列%的前项和为S“，且 =l,S“=a,+1-l,数列。为等差数列，且2 a 4 =3 Z?3+1,56=7 Z?5.(1)求 4 与 也 的通项公式；(2)记 =%,求%的前项和为T”.2 0 .如图，三棱柱AB C-AB G 的侧棱与底面垂直，47=2,8 0 =26,48=4,4 4 =2,点。是的中点.(1)求证：ACLB.C.（2）求A4与平面C D与所成角的正弦值.2 1 .已知函数/(xj uV si nxc oj i x-g c osZx-Lxe R .（1）求函数/（x）的最小正周期和单调递减区间；（2
8、）已知 A 8 C内角A,B,C的对边分别为a,4c,且c =3,/（C）=0,若向量五=（l,si nA）与 =（2,si nB）共线，求。力 的值.2 2 .已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线 =1对称.（1）求证：/（X）是周期为4的周期函数；若/。）=五（0 X 0,贝CA=()【答案】A【解析】【分析】解不等式可得集合A与8,进而可得(6B)CA.【详解】因为4 =付#1 =1,1 ,8 =X|2X2-5X _ 3 N 0=(-a),-j u 3,+),所以电8 =(一1 3),所以(2 B)nA =，；,l ,故选：A.3 .已知万,5均为单位向量，且(2 M
9、-5)1.5，贝+()A.I B.7 3 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算性质及向量垂直的数量积表示即可得解.【详解】由(2 万 5)J-5 得(2 a-b)-b=0 ,BP 2 a-b b2=0 因为落5均为单位向量，所以2无5 =庐=1，因为|。+5=3+5)2 =/+2万.方+后=3,所以|G+B|=JL故选：B4 .命题P：一4 N 0”为假命题，贝I。的取值范围是()A.-4 a?0 B.-4 0 C.-3 0 D.-4 0【答案】A【解析】【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论.【详解】命题p:I
10、 c e +2 ox-4 2 0为假命题，即命题一：V x w R,2+2 -4 4 0恒成立，符合题意；其次a 0 0时，则。0且A=(2 a)2+1 6a 0,即-4。0,综上可知，-4 a 0故选：A5.已知定义在A上的函数/（x）满 足 l r）=/（l +x）,且 x）在 1,M）上单调递增，则（）A./（0.2a 3）/（4 ）/（log30.5）B./（0.2 -3）/（log30.5）/（41 1）C./（4 ）/（0.2 3）/（log30.5）D./（log30.5）/（0.2 -3）/（4,1）【答案】B【解析】【分析】先确定/（x）是关于直线x =l对称的，在（-8,1
11、 单调递减，在 1,+8）单调递增，再比较（）.203,log3（）.5,4 与x=l的距离根据单调性即可判断.【详解】依题意可得，/（x）的图像关于直线x =l对称，因 O.203 e（0,l）,log30.5=-log32（-l,0）,41 1 e（4,8）,则|O.23-1|log,0.5-1|W1|,又/（x）在 U,M）上单调递增，所以/（0.2。3）/（豌3。5）/（4 ）；故选：B.6.若关于的 不 等 式/_6+7 0在（2,7）上有实数解，则。的取值范围是（）【答案】A【解析】7 7【分析】根据题意转化为不等式a x +：在（2,7）上有实数解，结合函数/（x）=x+的单调性
12、，求得%）2 8,即可求解.【详解】由 不 等 式/一 以+7 0在（2,7）上有实数解，7等价于不等式a x +最在（2,7）上有实数解，因为函数/（x）=x +在（2,近）上单调递减，在（、/7,7）单调递增,7 1 1 7又由2）=2 +5 =5,/（7）=7 +亍=8，所以/（x）m”/（7）=8,所以。0）的渐近线和抛物线。：丁=4的一个公共点，若P到CA./3【答案】D【解析】口 26 而 n而3 3 3A【分析】设点P（玉,y）为第一象限内的点，利用抛物线的定义可求得点尸的坐标，求出一的值，利用双a曲线的离心率公式可求得双曲线E的离心率.【详解】设点P（石，x）为第一象限内的点，
13、由抛物线的定义可得否+1=4,解 得 斗=3,所以，=1 2,可得，=2 6，即点尸（3,2 e），双曲线E的渐近线方程为=2%，由题意可得攻=26，.2=2 ,a a a 3因此，双曲线E的离心率为e=Jl+1 2 :叵.a a J 3故选：D.8.设/（x）的定义域为R,且满足 3 2x）=/（2x l）,x）+x）=2,若/=2,则/（1）+/（2）+/（3）+.+/（2022）=（）【分析】根据函数的性质由/（3-2力=2%-1）,同+一 力=2可得f（x）+f（x+l）+f（x+2）+f（x+3）=4,即可得解.A.2023【答案】A【解析】B.2024 C.3033 D.3034【
14、详解】因为/(X)+/(一力=2,f(l)=2,所以/(-1)=0,/(0)=1由“3 2x)=2xT)得/(-x)=/(x +2),所以/(x)+/(x+2)=2,/(尤+1)+/*+3)=2,即 f(x)+f(x+1)+f(x+2)+/(x+3)=4,所以/(-D +/(0)+/+/(2)+/(4)+/(2021)+/(2022)=4x506=2024,所 以 1)+/(2)+/(3)+/(2022)=202 4-/(T)-/(0)=2023.故选：A二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上)9.下列函数中，与函数y=x+2 不是同一
15、个函数的是()A.y=(J x +2)B.y=y +2 C.y=+2【答案】ACD【解析】【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：y=x+2 的定义域为R.D.y+2对于A,旷=(7 2 的定义域为 _ 2,+8),与 y=x+2 的定义域不同，不是同一函数；对于B,y=#+2=x+2 定义域为R，与 y=x+2 定义域相同，对应关系相同，是同一函数;2对于C,y=2+2 的定义域为 x|x#o ,与 y=x+2 定义域不同，不是同一函数；/r.fx+2,x 0对 于 D,y=y/x2+2 =Ld+2=八，与 y=x+2 的对应关系不同，不是同一函数.1
16、 1 1 x+2,x 0故选：ACD.10.下列说法不正确的是()A.B.D.函数=在定义域内是减函数若 g(x)是奇函数，则一定有g(0)=()C.已知函数y(x)=_ f _ QX _ 5(X)a(x D 在上是增函数，则实数。的取值范围是1 3若/(x)的定义域为 2,2,则/(2%-1)的定义域为一万，2【答案】ABC【解析】【分析】A选项，单调区间不能用U 号连接，即在定义域(y,o)u(o,+)不是单调递减函数，A错误；B选项，可举出反例；C 选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值;D 选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.
17、【详解】函数x)=:在(-8,0)和(0,+8)上都是减函数，但在定义域(一”,0)U(0,+8)上不是减函数，故A不正确；当g(x)是奇函数时，g(O)可能无意义，比如g(x)=：,故B不正确；Ki2因为/(X)是增函数，所以。0,解得2,故C不正确；-1 -c i -5 4 c l因为/(X)的定义域为卜2,2 ,所以一2 W 2 X-1 W 2,I 3 1 3-解得即2 x-l)的定义域为一5，万,故D正确.故选：A B C.1 1.定 义 在R上的函数/(x)满足x+y)=/(x)+y),当x 0,则下列说法正确的是()A./(0)=0B./(X)为奇函数C./(x)在 区 间 上 有
18、 最 大 值/()D./(工 _1)+/(%2 _1)0的解集为卜卜2 X 1【答案】A B D【解析】【分析】令 尤=丁=0可判断A选项；令y=一,可得/(x)+/(x)=O)=O,得到_x)=-/(x)可判断B选项；任取X ,&e R,且 王 马，则玉一无2 0，根据单调性的定义得到函数/(X)在R上的单调性，可判断C选项；由/(X 1)+/(炉-1)0可得/(x2-l)-/(x-l)=/(l-x),结合函数/(X)在R上的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，在/(x+y)=/(x)+/(y)中,令x=)，=0,可得0)=2 0),解得/(O)=O,A选项正确；对于B选项，由于函数/(
19、力 的定义域为R,在/(x+y)=/(x)+/(y)中，令 丁 =一,可得/(x)+/(-x)=/(O)=O,所以-x)=-x),则函数/(x)为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取X 1,x2 G R,且不 ，则X 一 工2 0，所以/（玉）一/（%2）=/（石）+/（一 无2）=/（七一%2）。，所以用）/匕），则函数/（X）在R上为减函数，所以/（%）在区间 孙 可上有最小值/（），C选项错误；对于D选项，由/（%-1）+/2 _）0可 得/卜2 _）_/_ 1）=1 _力，又函数“X）在R上为减函数，则f 1 1 X，整理得炉+工一2 0,解得一2 x I,D选项正确.故选：A B D
20、.1 2.下列说法正确的有（）A.若x 0,y 0,x+2 y+2孙=8,则x+2 y的最小值是2八 x 2 y-D.若实数X,y满 足 匀 0,则+丁 的 最 大 值 是4-2夜x+y x+2 y【答案】A B D【解析】【分析】对于A,凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B,根据基本不等式，结合力”的妙用，可得答案；对于C,根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D,采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A,因为x,，所以2 x 1 0,2所以2止1 =（21）+上+1=一 (2)+占+1 J。).占+1,当且仅当l-2 x =
21、一，即x =（）时等号成立,1-2%所以2 x+!的最大值为-1,故A正确;2 x-1对于B,因为x,y,Z都是正数，且x+y+z =2,所以x+l +y+z =3,4 1 1(4 1所以-1-=-十 一x+1 y+z31 x+l y+z(x+1 +y+z)I3u 4(y+z)X +15 +-+-135 +2x+1 y+zX 尤+1 y+z=3,当且仅当4（0+z）=土土1,即x+l =2（y+z）即x -1时等号成立,x+1 y+z y+z=l4 1所 以-+的最小值为3,故B正确；x+1 y+z对于C,因为x0,y Q,所以2B P2 xy0,解得x+2 y 4,当且仅当x =2 y=2时
22、等号成立，所以x +2 y的最小值为4,故C错误；对于 D,令 x+y=/,x+2 y=s,则 x =2 f s,y=s-t,因 为 孙 0,所以x,y同号，则s,，同号，所以-+a-=4-二44-2 /7 7 1）=%一1,贝i j/（x）=.【答案】X2-2（X.O）【解析】【分析】通过换元，令t =则=产一1,代入原式即可得解.【详解】令/=W 7 T.o,则 =/一1,./）=产一 1一1=”一2,.函数/*）的解析式为f（x）=x2-2（x.0）.故答案为：X2-2（X.O）.1 4.已知事函数/（x）=（/+2 一2）/-3（“e Z）在（0,+O上是减函数，则的值为【答案】1【解
23、析】【分析】由于/*)是塞函数，则2 +2 一2 =1，又/(X)在(0,+8)上是减函数，所以2一3 0,分别计算即可.【详解】由于 X)是募函数，所以2 +2“一2 =1，解得=1或 =3.又/(*)在(0,+8)上是减函数，所以2 _3 0，分别代入=1、=-3检验，只有=1符合题意.故答案为：1.1 5.函数x)=5 4 3x f的 单 调 增 区 间 是.3-【答案】-4,-1【解析】【分析】先求得函数的定义域，结合复合函数单调性同增异减来求得/(x)的单调递增区间.【详解】4-3x x2 2 0,+3 x 4 W 0,(x+4)(x -1)W 0,解得-4 W x W l,所 以
24、的 定 义 域 为-4.y=-/-3%+4的对称轴为x=-一，开口向下，2y=F在 0,+“)上递增，/3 根据复合函数单调性同增异减可知/(X)单调递增区间是-4,.3 故答案为：一4一51 6.在1和1 0之间插入个实数，使得这(+2)个数构成递增的等比数列，将这(+2)个数的乘积记作T,则 l g Z +l g 4+l g 7；|=.【答案】44【解析】【分析】由条件结合等比数列通项公式求出/”，再根据指数运算性质及等差数列求和公式求出由此可求坨看,可由等差数列求和公式求电1+l g n+电 义 的值.【详解】设这(+2)个数构成的等比数列为%,则q=l,c+2=1 0,所以q+:1 0
25、.(n+l)(+2)乂丁一+1 1+2+3+“+(+1)2 ，/一0。+2-q q.q-q -q(+l)(+2)n+2所以 l g 7；=l g q-一=怆 0亏=2l l x故 3 4 5 1 3l g 1 +l g(+l g(i =-+-+-+-+-y=-3 1 3+2 2T=44故答案为：44四、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其他题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1 7.已知全集。=1 ,集合A =1 x=x-2 0 ,B =x|%2-2公+(。2 一1)5；3,4【解析】【分析】（1）分别求两个集合，利用公式（瘵4）C（UB）=?U（AD3）求
26、解；（2）根据题意转化为8 A,再列不等式求解.【详解】（1）二|0 0 x-2 翦-2)。,解 得:2 -i5,当 =2 时，X2-4 x+3 0，解得：1 工3,即 5=M%3 ,AJB=X X 5,（例）c（u 3）=?u（Au3）=x x 5；（2）x 2 cix+（_ 1）v 0 x（a-l）x-（a +1），解得：Q-l x v a +l,即 5=1 v x v a +l ,、A是 的 必 要 不 充 分 条 件，A ,t z +l 5二 i c，解得：3 t z2所以实数a的取值范围是 3,4.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断:（1）若，是4
27、的必要不充分条件，则0对应集合是P对应集合的真子集；（2）”是夕的充分不必要条件，则，对应集合是夕对应集合的真子集；（3），是夕的充分必要条件，则，对应集合与夕对应集合相等；（4）是夕的既不充分又不必要条件，夕对的集合与对应集合互不包含.1 8.已知x)是定义在R上的偶函数，当X2 0时，/(X)是二次函数，其图象与X轴交于A(l,0),8(3,0)两点，与y轴交于C(0,6).(1)求“X)的解析式；(2)若方程/(x)-2 a +2 =0有两个不同的实数根，求。的取值范围.2天,【答案】(1)-8x+6,x 0,+8x+6,x 0.(2)0 u(4,-+o o)【解析】【分析】(1)当x
28、20时，利用待定系数法得到/(x)=2 f-8 x+6,再使用奇偶性，得出/(x)=2 x2+8x+6(x 0).当x0,则/(-%)=2 f+8x+6.又J(x)是偶函数，,(-X)=x),.,./(%)=2必+8%+6(%0).,、2,x 8x +6,x 2 0,；.f ix)=i,7 2X2+SX+6,X%=%+1 =2 =2%,所以 4是首项是1，公比是 叫的等比数列，所以4=2，设 也 的公差为 d,则由 2 a4=34 +1,S 6 =7么,得 16 =3（4 +2 d）+1,$6 =%1=6 3=7（4 +4。）=&+2 d =5,4 +4 =9n =1,d =2.=bn=2 n
29、 l【小问2详解】bn In-1由（i）知q,=d=F r.13 5Tn=+5+9+所以41 3 5/=万+齐+初+2 -3 2 n-G -2 +千12-3 2/2 1-7；,=l +l+-+-+-+2 n 2 4 2”一2 n l2 2 -12=3-打2“r r r lT A 2+3所以Z，=6-亍 一 2 0.如图，三棱柱A B C AAG的侧棱与底面垂直，A C =2,5 C =2 G,A 5 =4,A A =2,点。是A B的中点.(1)求证：A C 1 5.C；(2)求A B】与平面C O 4所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析浮【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明出
30、AC JL平面BCG A，进而可得A C L g C；(2)以CACB,CG所在直线分别为x，y z轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量,利用线面角公式代入计算可得答案.【小 问1详解】在直三棱柱ABC-A B|G中，CGJ平 面ABC,A C u平面A B C,所以又因为AC=2,B C =26，AB=4,则 AC?+BO2=AB?，所以 ACJ.BC,又C G cB C =C,C G u平面B C C,3。=平面3。蜴，所以4/3 _V21即4 4与平面CDB1所成角的正弦值为叵722 1(1)求函数/(X)的最小正周期和单调递减区间；(2)己知 ABC内角A8,C的对边分
31、别为a力,c,且c=3,/(C)=0,若向量帚=(l,s i n A)与3=(2,s i n B)共线，求 的 值.T T 、冗【答案】(1)最小正周期为兀，单调递减区间为 一+A%,+br,Z e Z3 6(2)a 5/3，h=2 5/3.【解析】【分析】(1)利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得/(x)=s i n 2 x-2-1,从而可求出其最T T T T 37 r小正周期，由一+-一 二+2如r,k e Z,可求出其单调减区间，2 6 2(2)由/(C)=0可求出角C,由百与3共线，结合正弦定理可得8=2。，再利用余弦定理可求出的值.【小 问I详解】/(x)=s i n 2 A
32、：-c o s 2 x-l =s i n f 2 x-1-1.2 2 v 6 7的最小正周期为兀.V +2k7V2x-+2k7r,k s Z2 6 27t 571,，一卜 kjr g-卜 kjr,k eZ3 6./(x)的单调递减区间为?+履，葛+而 ,ZeZ【小问2详解】:/(C)=sin 2 C-l=0,即sin(2C_2)=l,0C C-v兀,兀 2C兀 /X 4【解析】【分析】(1)由函数/(X)的图象关于直线X=1对称，可得/(%+1)=/(1 :又因为/(X)是奇函数，所以T)=“X)，从而得x+2)=/(X),先求得时，/(x)=Q,再结合周期为4,即求得了(同在 一【小 问1详
33、解】),即x+2)=-/(x),即可得周期为4；c 5,T 上的解析式.解：证明：由函数/(X)的图象关于直线X=1对称,有/(x+l)=/(l-x),即有 y(_x)=/(x+2),又函数/(x)是定义在R上的奇函数，有/(-x)=一/(x)，故/(x+2)=-“X)，从而/(x+4)=/(x+2)=/(x),即 是 周 期 为4的周期函数；【小问2详解】解：由函数/(x)是定义在R上的奇函数，有/(O)=O，x e-1,0)时，_x e(0,l,=故x e-l,0 时，=x e_5,f|时，X+4G-1,0,/(X)=/(x+4)=-y/-x-4,从而，5 T时，函数/(x)的解析式为(x)=7f-4