《广东省广州市2022届高三一模试题 数学【解析版】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省广州市2022届高三一模试题 数学【解析版】.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、广东省广州市2022届高三一模试题 数 学【解析版】一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .己知集合A =xe ZHxl ,8 =H0Wx=x2增长的速率比尸ev增长的速率慢，f(x)一 二 一0 ,e*即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.综上，D选项正确.故选：D.7.设抛物线E:2=8x的焦点为凡过点M(4,0)的直线与E相交于A,B两 点,与E的准线相交于点C,5点8在线段A C上，I|=3 ,则户与AACF的面积之比7=()、JC F1 1 1A.B.C.D.一4 5 6 7【7题答案】
2、【答案】C【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式得到8点横坐标，进而利用抛物线方程求出8点纵坐标，直线A 8的方程,求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利 用 甘 =:大=且 二 岂 求 出 答 案.S.ACF A C 弘一先【详解】如图，过点8作B O垂直准线x =-2于点O,则由抛物线定义可知：|=|8。|=3,设直线 A B为x =m y +4,A(X ,y J,f i(x2,y2),C(-2,yc),不妨设加0,则 y 0,%6,且l n a-l n b 0,则下列不等式一定成立的是()A.l o gnZ?b-C.2 0*+|2a+*D.ab b 0,y =l n x为单调递
3、增函数，故l n a l n/?,由于l n an b 0,故l n a l n b 0,或 I n h I n a l n 0 0 时，ab,此时l o g”8 0：XT=（j）（O。，故a b；b a6 z Z?+l-(fz+Z?)=(tz-l)(Z?-l)0,2a+h；当l n h l n a 0 时，0 a l,此时l o g,/0,=匕)(1-|0,故b a)V ab)1 ,1a 0,2ab+2a+b；故 A B C 均错误;D 选项，ab-ba-，两边取自然对数，(b-l)l n a bl,还是0 b a l,/0,所以-故 只 需 证-0 且 X HI),则4(x)=-2 ，令
4、g(x)=l 一;-l n x (x 0 且 X HI),则(x-iy1 1 1 _ r=，当x e()时，g (x)0,当X G(1,M)时，g (x)0,所以g(x)g(l)=O,所 以/(x)0且X HI上恒成立，故/(=詈(x0且 xwl)单调递减，因为所以 na nh “后 _ _-3D.若经过点A的平面夕与长方体所有面所成的二面角都为，则sin =【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】A根据长方体的性质找到直线AG与直线C。所成角的平面角即可；B构建空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求cos c o s =cos ,即可求M坐标，进而确定线段长；C、D
5、将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线，小 平面人结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值.【详 解】A：如下图，直 线A G与 直 线CD所成角，即为直线AC1与 直 线A 3所 成 角ZR4G，则tan =tan/BAG=,正确；B：构建如下图示的坐标系，过4的直线/与长方体所有棱所成的角相等，与面6 C G 4交于“（x，2,z）且x,z 0,又 涵=(0,0,3),初=(0,2,0),茄=(4,0,0),则，.z，cos=-.=cos=,=cos=,=VX2+4+Z2 J Y+4 +Z2 6+4 +Z2,故x=z=2,则 错误.C：如下图，过A的直线，与长方体所有面所成的
6、角都为仇则直线机为以4为棱长的正方体的体对角线AM，故 s i n 6=3,正确；3D：如下图，过A的平面P与长方体所有面所成的二面角都为，只需面用与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面EDE，故COSM=4 虹=走，贝i J s i n =5,正确.3sAADE 3 3故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据长方体或将其补全为正方体，结合各选项线线角、线面角相等判断直线或平面的位置，进而求对应角的函数值.12.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 0,1 均分为三段，去掉中间
7、的区间段1 2、313,1 2记为第1次操作：再将剩下的两个区间0,-,-,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：L ；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集若第n次操作去掉的区间长度记为夕()，则()(p(n+1)3A -=。()2C.()+奴3)20(2)【1 2题答案】【答案】B C【解析】B.l n (n)+l 0D.n2(p(n)6 4夕(8)【分析】分析题意发现例)是一个等比数列，按照等比数列 性质逐一验证即可，其 中B选项是化简成一个等差数列进行判断，C
8、D两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列,利用做差法验证单调性.【详 解】由 题 可 知 =1 ,(1)=1 =2 M 2)=2 x g x；,=3,。=22xgxgxg；=4，(4)=232XL)3 3 3 3I“2、由此可知9()=2 T,即一个等比数列;2n+lA：e()K U2 3A错误;1 28(”+1)_ 2 1 3“2、2 2B：l n (n)+l =l n -+l =n l n l n 2+l,因为始 鼻 0,所以该数列为递减数列,2373 32又因为当=1 时，l n l n 2+l =l n 3+l 0,所以l n ()+l 2夕(2)，即123
9、 J1+223、3273 J,两边约去;(1)得到21+2?3 2 2(3当 =1时,4 13 4l+-=-,原式成立;9 9 3n当 2 2时,12(1恒成立，所以1+(?132-成立,7即()+0(3)2(2)成立，C 正确;D：令人()=/()，再令4(+1)一%()=(1+1)2(p(n+1)-rr(p(ri)=(z：4-l)2n+1 2 1(2-T V 221(2H+1)233 J3令 2+4 +2=0解得%=2+=2几(舍)，因为“e N*,所以取4 0；之5时攵(+1)%()/(8),即2夕()4 64/(8)不恒成立,D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
10、0分.7113.若 sina=。，a e ,则 tana=25【13题答案】3【答案】*【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得;3【详解】解：因为sina=g,sin24(7Ta +cos2a=1，所以cose=w，因为a e 1万712)4,所以cosa=一所以tanasin a 3-=coscr43故答案为：M14.已知菱形ABC。的 边 长 为2,Z ABC=60,点P在BC边 上（包 括 端 点），则 而.而 的取值范围是【14题答 案】【答 案】-2,2【解 析】【分 析】以C为原点，元 为x轴 正 方 向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接
11、求解.如图示，以C为原点，配 为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.因为菱形 A8C 的边长为 2,ZABC=6 0 ,则 8（-2,0）,C（0,0）,A（-1,6）.因 为 点P在BC边 上（包括端点），所 以P（f,O）,其中2,（）.所 以 通=（2,0）,而=+1,-6）,所 以 亚 丽=2f+2-因为2,0,所 以 加丽=2/+2 6 2,2.故答案为：-2,215.己知三棱锥P A B C的 棱AP,A B,AC两两互相垂直，AP=A8=AC=2百，以 顶 点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于【15题 答 案】44
12、 4【答 案】3 3【解 析】【分析】将三棱锥P-ABC补全为棱长为2 6的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心、半径及对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.【详解】由题设，将三棱锥P-A8C补全为棱长为2 6的正方体，如下图示：若A D =A E =2，则P。=P尸=4，即。,尸在P为球心，4为半径的球面上，且0为底面中心，又。A =2，0P=3 叵 4,所以，面A B C与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为万；TT 47 r面P 8 C与与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为一的圆弧，故 弧 长 为 一；3 3面尸8 4,P C A与球面
13、所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为白的圆弧，故弧长为 工；1 2 347 r所以最长弧的弧长为一.344故答案为：.31 6.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6次，则事件“质点位于-2的位置”的概率为.-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 x【1 6题答案】【答案】7 764【解析】【分析】理解题意构建数学模型，利用排列组合进行解题.【详解】由图可知，若想通过6次移动最终停在-2位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次,记向右移动一次为R,向左移动一次为L屋则该题可转化为R R Z 入 六个字母排序的问题，
14、故落在-2上 的 排 法 为/j =1 5A油所有移动结果的总数为26=64，所有落在-2上的概率为P =，64故答案为：64四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.在等比数列 q中，6，%，%分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且%，。2，%中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列9128（1）写出巧,。2，。3，并求数列 4 的通项公式；（2）若数列也卜满足b=a+（-l）l o g2 an,求 数 列 也 的前项和S“.【1 7 1 8题答案】【答案】（1）q=2 ,生=4 ,%=8 ,an=2 2
15、旬+?-2,为偶数 T=2向j-为奇数2 2【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到q=2,4=4,4=8,进而求得通项公式;（2）由（1）知勿=2 +（-1），利用分组求和，含有（-1）”需讨论为偶数与奇数，然后按照等差数列求和.【小 问1详解】根据等比数列的定义和表格中数据，得到4 =2,g=4,%=8,即数列 4是首项为2,公比为2的等比数列，故q=2X2T=2.【小问2详解】因为勿=4+(-l)nl o g2 an=2 +(-l)l o g2 2 =2 +(-1)-n当”为偶数时，S=(21+22+.+2,)+-1 +2-3+4-(-1)+当为奇数时.，S=(2I
16、+22+.-+2,)+1 +2 3+41)-综上所述，Tn2%表2,”为偶数22_己 _3,为奇数1 8.A B C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知 A B C的 面 积 为 储 一。2 C.（1）证明：s i n A =2 s i n B；【1 8 1 9题答案】【答案】（1）证明见解析;一 也4【解析】1 1 ,【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得:。匕=二/一 ，再由正弦定理的边角关系即2 2可证结论.（2）由（1）及题设可得co s C =e（史,也），进而求得s i n C =，应用余弦定理及正弦定理边角关系求s i n B,即可求co s B,注意根据8
17、的范围判断符号，最后利用co s A =-co s（8 +C）及和角余弦公式求值即可.【小 问1详解】由题设，absinC=-Z?2 jsinC,又sinCVO,所 以!ab=一02,由正弦定理可得sm Asin B=sin2 A-2sin2 B，2 2所以 sin B(sin A+sin 8)=sin?A-sin2 B=(sin A+sin B)(sin A-sin B),又 sin A+sin BwO,所以 sin B=sin A sin B,即 sin A=2sin 5.【小问2详解】3由(1)及题设，sin Acos C=2sin Bcos C=sin B,且 sin3(),2所以co
18、sC=：,则 5 C 2，故 sinC=,又 a2+b2-c2 sin2A+sin2B-sin2C 5 s inB-3,可得$由8=巫cos C=-=-=-=Qlab 2sin Asin B 4sin2 B 4 8若cos8=述一 立，则 包B)，而 立,根据题设可得0z,08,AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令 AD=2 B E =2a,O3=c,Q4=OC=b并确定点坐标，求面CDE、面AC。的法向量,应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论.(2)根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出A D,B E,进而求面A8E。的法向量、直线CE的方向向量,应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【
19、小 问1详解】若。是4。中点，连接。6,作O z/A,由=知：Q BLAC,因为 4_1_面48。，则 0 z上面 ABC,又 0B,A C u面 ABC,所以Qz，O3,O z l AC,综上，Oz,OB,4。两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系O-xyz,X令 AD=2 B E =2a,O B =c,O A =O C=b,则0(0,8,2a),C(0,/?,0),E(c,0,a),所 以 函=(0,2b,2a),C E =(c,-h,a),一(in-CD=-2by+2az-0 一若机=(尤,y,z)是面CDE的一个法向量，即彳 一 一.,令 z=b,则m=(0,a,b),加 C E
20、-ex-by+az-0又7=(1,0,0)是面AC。的一个法向量，则而i =0，所以面COE J_面AC。.【小问2详解】由4）_1_面48。，A D u面ABE。，则面ABE。，面A B C,故。到面ABED的距离，即为 A B C中A B上的高,3+3 4 1 9/?因为A 8=BC=G，AC=2,则cos8=2XA百=故sinB =-所 以 上 的 高 =8Csin8=2困3又 A 6 i 面 A B C,则 A D J.A B,而 A D B E,有 8 E 1 A 8，AD=2 BE，所以A B E D为直角梯形，令 AD=2 B E =2 a,则5即。=；x 3 a x J J3#
21、)a2综上，匕BCZJE=g x 3=y 2a=V 2，故 a=1 .由 知:4(0,-1,0),。(0,-1,2),C(0,l,0),(夜,0,1),所 以 诟=(0,0,2),DE=(V 2,1,-1),若7=（m,Q是面A8E。的一个法向量，即 l-A D =2 k=07诙=+=0令M=-I,则7=(-i,&,o),而 屋=(0,1,1),则|cosF)_ i0 x(-2.3)+(-7)x(-1.4)+(-2)x(-0.4)+5xl.l+14x3 _ 81.1(1-11)2+(4-11)2+(9-11)2+(16-11)2+(25-11)2v=y-b v=7.2-0.2x11=5-所以y
22、关于x的回归方程为y=0.2犬+5；【小问2详解】由(1)知：y=0.2x2+5,z=2 4 一窄=2 4 6一5(。上：5区2=2 4 4一/_乌,令g)=2 4。7二x0),-3/+24x+27-3(x-9)(x+l)(x 0)2x/x2xyfx令”(力 0得：0 x 9,令(x)9,令(x)=0得:x=9,所以(x)=24&户 一 去(x0)在尤=9处取得极大值，也是最大值，(x)1 1 1 ax=72 27 9=36所以第9个月的月利润预报值最大.32 L在平面直角坐标系g中，已知点4-2,。)，6(2,。)，点M满足直线AM与 直 线 的 斜 率 之 积 为-“点M的轨迹为曲线C.(
23、1)求C的方程；(2)已知点/(1,0),直线/:x =4与无轴交于点。，直线AM与/交于点N,是否存在常数2,使得N M FD=2 N N FD?若 存 在,求4的值；若不存在，说明理由.【2 1 2 2题答案】2 2【答案】(1)工+匕=1且x o 2；4 3(2)存在；1 =2,理由见解析.【解析】【分析】(1)利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C,注意x o 2.n(2)设N(4,)、直线AM为y =(x +2),联立曲线C,应用韦达定理求M坐标，进而应用表示6t a nZM F D,t a nZ N F D,结合二倍角正切公式判断t a nZM F O
24、与t a n/V F D的数量关系，即可得解.【小问1详解】设 M(x,y),则 kAMkljM-=一。且 x H 2 ,.BM x +2 x-2 42 2所以M的轨迹为曲线C方 程 为 三+匕=1且X H2.4 3【小问2详解】YI设 N(4,)，则直线 A M 为 y =7(x +2),6联立曲线c得:n,小y =7(x +2)62 2x +y-11 4 3整理得：(2+2 7)/+4/元 +4 2-1()8 =0,4/12由题设知一.则如5 4-2 n2川+2 7故 将n 1 0 8 1 8,?-x -=-6 +2 7 “2+2 7又 t a n Z M F D -%T 9一 n,ta
25、n ZNF D =-32 2 ta nZ?V F)3所以T a n/V”)胃I-96n9 一 2tan Z M FD,即1 N M F D =2NNF D,所以存在；1 =2,使,41F D =2/VF D.2 2.已知函数/(x)=e+s i nx-c o s x,/(x)为/()的导数.(1)证明:当时,f x)2 ；设g(x)=/(x)2 x1,证 明:g(x)有且仅有2个零点.【2 2 2 3题答案】【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【解析】【分析】(1)令，(x)=e+c o s x+s i nx,利用导数判断A(x)的单调性，并求出其最小值即可证明；(2)由(1)可知
26、，g(x)在(),+。)上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明g(x)在(口,0)上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.【小 问1详解】由 f(x)=ev+c o s x+s i n x,设(x)=e*+c o s x+s i nx,则(x)=e*s i nx+c o s x,当x 0时，设=,p(0)=0,q(x)2 q(O)=O,.当x N O时，e x+l.xN s i nx,则/f(x)=e*s i nx+c o s 无 N x+l-s i nx+c o s x=(x s i nx)+(l+c o s x)0
27、,二函数&(x)=e +c o s x+s i nx 在(),+2；【小问2详解】由 已知得 g (x)=ev+s i n x-c o s x 2 x-1,当x 0时,g(x)=e、+c o s x+s i nx-2 =/,(x)-2 0,.g(x)在 0,+司 上单调递增，又丁 g()=_ 0,.由零点存在性定理可知g(X)在 0,+8)上仅有一个零点，当x 0时，设 皿x)=2 r i n=c o s x(x o),则 加(耳=坐曰,0)上单调递减，根(x)7 W(0)=1,e*+c o s x+s i nx-2 0，/.g(x)=e*+c o s x+s i nx-2 0,.g(x)在(y,0)上单调递减，又g(0)=-l 0,由零点存在性定理可知g (x)在(y,0)上仅有一个零点，综上所述，g(x)有且仅有2个零点.