《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第八节 第2课时圆锥曲线中的定值、定点问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第八节 第2课时圆锥曲线中的定值、定点问题.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第2课时 圆锥曲线中的定值、定点问题O一 一才点探究二悟法培优一 O7 考点一 定值问题|讲 练 藐 典例1 已知斜率为1的直线交抛物线G 4=2 勿（0 0）于 4 8两点，且弦46 中点的纵坐标为2.（1）求抛物线。的标准方程；记点尸（1,2）,过点尸作两条直线掰，内分别交抛物线C 于，M弘 A 不同于点用两点，且乙力式的平分线与y 轴垂直，求证：直线助V的斜率为定值.【解析】设月（，%）,6（如 ，的中点（向，必），2 2则有 y=2px”匕=2px2,两式相减得（必+必）（%一%）=2p（x、-x）,山 八 1,必一必_ 2P _ P所以服一 一Q -3 ,X x2 2 乂）2所以P=
2、2,抛物线方程为=4x.设直线 的方程为x=/y+（由题意知直线初V的斜率一定不为0）,步（后，场），A （x i,必），联立y=4x,、消去 x得 y4/zzy 4/2=0,xmy+n,由 /=1 6/+1 6 0 得/+0.且必+必=4而，%必=一4 .由题意知第+w。，即合+台=0(*),2 2将 匕=4 吊，y=4M代入（*）并化简得3 4 2 27%必（%十必）一三（X +y,）一（必+必）+4=0,4 Z 3 1由根与系数的关系得加+2/+加 一1 =0,即(R+1)(+2 加-1)=0,当加=一 1 时，该等式恒成立，所以直线力邠的斜率为,=-1.m,规律方法圆锥曲线中定值问题的
3、特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引进变量法：其解题流程为天圄：逅推适药白勺就亚标战务联干系薮务爰量：函 数：把要证明为定值的量表示成上述变量的函数定值；把得到的函数化简，消去变量得到定值，对点训练v2(2 02 2 潮州模拟)已知椭圆C；-a+=l(a 6 0)经过点(1,且椭圆C 的离心率(1)求椭圆。的方程；(2)若点肌力是椭圆。上的两个动点，左,人分别为直线区&V的斜率且左左=一；，试探丸X 0蹄的面积是否为定值.【解析】(1)由e=A /l A=坐，得 6=)a,a a Z L又椭圆经过
4、点1,乎)，得:+=1,解得a=2,b=,x所以椭圆。的方程为彳+7=1；(2)设做为，弘)，NX2,%)，直线/肺的方程为x=+3 与椭圆方程1+4 7 -4=0联立,得(4+/)+2mty-124=0,2mt所 以 弘+%=一 了 短，/47,7 2=4+I%一%I=N（%+v）-4万 必I 4/n t2 4（一 一 4）14+/n t2 （4+序）L 4+序=4（4+/2I MN=4/1+4+序。到直线期V的距离为d=所以。历 V的面积为 S=；d-|/v|=2|t ，由 AIA2=-,得必 先 1 9,y =-7 ，即苟在+4%必=(妙|+。(奶+。+4=(4+勿)必必+7 (必XX2
5、 4+72）+t2=0 ,得（4+/）,+/：+4+/J+y=0，即 4+/=2产，所以 S=2|t t=1,即 物 V的面积为定值1.乙L【加练备选】在平面直角坐标系X 处中，过定点C(o,p)作直线与抛物线v=2.(p 0)相交于4 8 两点.(1)若点N 是点。关于坐标原点。的对称点，求山仍面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线/,使得/被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在,求出/的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，点A，的坐标为N（0,-P）,可设4（耳，必），8（如 ，设直线血的方程为尸kx+p,与*=2 分联立得=2py,.消去 y 得/2pkx 2p=0
6、.j=kx-v p.由根与系数的关系得X i+x 2=2p A,xiX2=-2p.于是 S&M尸 SABCR 五 心=2p X-X2|.=pXx X2 =闪(苟+吊)4X1X2=八1媛必+或=2队I六+2,所以，当 k=0 时，(5 )i i=2 2 k（2）假设满足条件的直线/存在,其方程为夕=外力。的中点为O ,/与以为直径的圆相交于点R Q,尸 0 的中点为,则O H V P Q,。点的坐标为住，咛 N因为 I H =I AC=|ylx+(y,-/?)乙 乙=j y片+心,o H=1 2ay p,乙 乙2所以 图 2=白/*=化+0 2)一I彳(2a 一%一p)2=(a-5)M +a(-
7、a),所以I 尸 0/=2|掰)2=4(a y,+a (/7a).令 a 一9=0,得a=，此时I 河I=p为定值,乙 乙故满足条件的直线/存在，其方程为了=合，即抛物线的通径所在的直线.7 考点二 定点问题|多维探究角度1 直线过定点问题X 典例2 (20 20 全国I 卷)已知A,B 分别为椭圆E：/+y(a l)的左、右顶点,G 为 E的上顶点，AG-GB=8,P为直线x=6 上的动点，P A 与 E的另一交点为C,P B与 E的另一交点为D.(1)求 E的方程；(2)证明：直线C D过定点.【解析】(1)依据题意作图如图所示：由题设得 A(a,0),B(a,0),G(0,1).则AG=
8、(a,1),GB=(a,-1).由 A AG,GB=8 得 a21=8,即 a=3.Y 2所以E的方程为/+y2=l.设 P（6,y。），则直线AP的方程为：y=-FV（X+3），b一（6）即：y=.（x+3）,f 2卷+尸j联立直线AP的方程与椭圆方程可得：”y=（x +3）,2 2整 理 得:（Yo +9）x2+6 yo x+9 yo-8 1 =0,、-3yj +2 7解得：x =3或乂=r ,y0+9将x一 二 与二2 7 代入直线y普 （x +3）可得：y0+9 96 y oy=J ,y +9所以点c的坐标为-3y；+2 7、y：+96 yl iy；+9,同理可得:点D的坐标为所以直线
9、CD的方程为:3y；3、y；+1,整理可得：y 42y o 8 y o （y；+3）y：+1 6（9y：）3y：-31x y：+i.8 y o f .3y；-3、-6（3-y o ）r y +1?整理得:4 yo尸 式 E 2yox+-Y o 一34yo3(3 Y o )X-2故直线CD过 定 点 修 0).角度2其他曲线过定点问题2 2 典例3 (2021 重庆模拟)已知椭圆C：卞+彳=l(a b 0)的左、右顶点分别是双曲线C?：3-y2=l 的左、右焦点，且 G与&相交于点(平，乎).(1)求椭圆G 的标准方程；(2)设直线L y=kx1 与椭圆C 交于A,B两点，以线段AB为直径的圆是
10、否恒过y 轴上一O定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【解析】(D 将 律，书 代入*-y-h 解得k=1 所以a2=m2+l=2,将苧由 代入=1，解得旨=1,Y2所以椭圆G 的标准方程为不+y2=l.乙(2)设 A(x”yj,B(X2,y2),f 1y=k x-由 2 ，整理得(9+18好”212kx16=0,匕+y=i诉 z .12k-16所以X 1 +X 2一 五 而 X|X2一 乔 而 设以AB为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0,y。),则 MAf=(x”y,y0),MB=(x2 y2y)MAf MB=X(X2+(y,y0)(y2-y0)2=X 1X2+y,y2y
11、0(y 1+y2)+yfl=X i X2+k2X i X 2 (x i +x j-y o k (x i+x2),2 ,1 18 (y -1)k +9y o +6 y015+yo +3 yo+9=彳 加+g +y0=(l+k2)X 1X 2 k l +y o l (x,+x2)所以y；-1=0.9y；+6 yn-15 =0解得y o=l，所以 M(O,1),所以以线段A B 为直径的圆恒过定点(0,1).，规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出
12、定点，再证明该定点与变量无关.，多维训练1.(2022 朝阳模拟)已知F 为抛物线C：x 2=2p y(p 0)的焦点，直线1：y =2x +1与C 交于A,B 两点,且|A F|+|B F|=20.(1)求 C的方程；(2)若直线m：y=2x+t(t W l)与 C 交于M,N两点，且A M 与B N 相交于点T,证明：点T在定直线上.【解析】设 A(x”y,),B(x 2,y2),由已知F(0,11,准线方程为y=g，由 y=2x+l 与 x?=2p y 联立，得 x 2-4p x 2P=0,所以 X i+x 2=4p,y i +y2=2(x i+x 2)+2=8 p +2,所以|A F|
13、+|B F|=y i +y2+p=8 p+2+p=2 0,解得 p =2,所以抛物线的方程为x 2=4y；设 M(X 3,丫 3)，N(x”y4),T(x(),y0),TM=X TA(A W l),因为 A B M N,所以TN=ATB,2.X,=4yi由J 2，得(Xi+x2)(X LX 2)=4(y y2),x2=4y2由I、I 4(yyD所以 X +x2 8,Xix2同理 X3+X4=8,由 b21)的离心率为乎，其上焦点到直线bx+2ay/=0的距离为弓-.O(1)求椭圆C的方程；过点p g，0)的直线1 交椭圆C于A,B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；
14、若不过，请说明理由.【解析】(1)由题意得，e=*，又 a2=b?+c2,所以a=b,c=b.又 里 高 萼=铮，a 2 7 4a+b 3a bl,所以=1,a=2,2故椭圆C的方程为-+x2=l.乙(2 16 当 AB_Lx轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x于+y2=y .当AB，y 轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x 2+/=l.可得两圆交点为Q(1,0).由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(l,0).下证Q(l,0)符合题意.设直线1 的斜率存在，且不为0,其方程为y=k2代入+x2=l,2 1并整理得(k?+2)x 25 k2x+k 22=0,O y设 A(x”y,),B(X2,y2),2k 2则 XHX2=3 +2)，k2-18X 1 X 2=9(k2+2)所以Q A Q B =(x i +1)(x2+l)+y i y2=X 1X24-x1+x2+l+k X)=(l+k )X|X 2+(l k j(X i +x 2)+l+k2=(/1,+22、*9 k(2k-2+128)+/l1-3kJ *3(2k 22)+,1,+19,21，故即Q(l，0)在以线段A B 为直径的圆上.综上，以线段A B 为直径的圆恒过定点(一1,0).