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1、2023北京版数学高考第二轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的表面积和体积五年高考考点一空间几何体的结构特征1 .（2022北京,9,4分，综合性）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是 A B C及其内部的点构成的集合.设集合1=9百 咬4 5 厕T表示的区域的面积为（）A 与 B.兀 C.2n D.3 兀答 案B2.（2021新高考I ,3,5分，基础性）已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.2 或 C.4 D.4 V2答 案B3.（2020课标I .理3,文3,5分，基础性）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱
2、锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积厕其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）V5-1 D V5-1 V5+1 c V5+1H-(.-I)-答 案C4 .（201 7北京理,7,5分,综合性）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）正（主）视 图 侧（左）视图俯视图A.3V2 B.25/3 C.25/2 D.2答 案B5.（2018北京，文6,理5,5分，综合性）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中.直角三角形的个数为（)正（主）视图 侧（左）视图A.1B.2 C.3 D,4俯视图答案C6.（2014北京1,5分，综合性）某三棱
3、锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为俯视图答 案2四7.（2020新高考I,16,5分，综合性）已知直四棱柱A B C D-A B C D的棱长均为2/BAD=60。.以U为球心，遍为半径的球面与侧面BCC.B）的交线长为.答 案 率考点二空间几何体的表面积和体积1.（2022全国甲，理9,文10,5分，综合性）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧S V面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若7=2厕，=（）乙 乙A遮 B.2 夜 C.V10 D.邛答 案C2.（2022全国乙，理9,文12,5分，基础性）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O,底面的四个顶
4、点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A1 D 1 r V3 n V2Aq B-2 C-T DT答 案c3.（2022新高考I 4 5分，应用性）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题.其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 knR水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km?.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（夕*265）（）A.l.OxlO9 m3 B.1.2X109 m3C.1.4X109 m3 D.1.6X109 m3
5、答 案C4.（2022新高考【,8,5分，综合性）已知正四棱推的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀,且3 AB的中点,则三棱锥Ai-DiMN的体积为.答 案114.（2019北京，文12,理11,5分，综合性）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为答 案4015.（2022全国甲文,19,12分.综合性）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8（单位:cm）的正方形,E A B FB C/GCD,HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直
6、.证明:EFII平面ABCD;（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.解 析 取 AB、BC、CD、DA 的中点 M、N、P、Q,连接 EM、FN、GP、HQ、MN、NP、PQ、QM.证明:在正三角形ABE中,M为AB的中点，所以EM J_ AB.又平面ABEH平面ABCD=AB,且平面ABE_L 平面 ABCD,所以 EM _L 平面 ABCD.同理FN_L平面ABCD,所以EM II FN,又 EM=FN,所以四边形EMNF为平行四边形，所以EFII MN.又MNc 平面ABCD,且EF。平面ABCD.所以EFII平面ABCD.如图，可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全
7、等的四棱锥.A M B易得 MN=4&cm,EM=4V3 cm.所以 V 长方体 MNPQ-EFGH=（4立）2 X=128再 cm3,V 四棱锥 B-MNFE=X 4 3 X 4 2 X 2V2=y CITI3,所以该包装盒的容积为128g+4 X蜉=竽 cnP.瑟易错警示线面平行的判定中,不能忽略线不在平面内这一条件.16.(2015北京文,18,14分，综合性)如图在三棱锥V-ABC中，平面VABL平面ABC,A VAB为等边三角形,AC_LBC 且 AC=BC=V2,O,M 分别为 AB,VA 的中点.(1)求证811平面MOC;(2)求证:平面MOC_L平面VAB;(3)求三棱锥V-
8、ABC的体积.解 析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMII VB.又因为VBG平面M OCQM u平面MOC,所以VBII平面MOC.证明:因为AC=BC,0为 AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB _L平面ABC,平面VABC1平面ABC=AB,且 OCc 平面ABC,所以OCJ-平面VAB.因为O C u平面MOC,所以平面MOCL平面VAB.解法一在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=&.所以AB=2,则 OC=1.所以等边三角形VAB的面积S“vAB=AB-BVsin 60=1 x 2 x 2 x y =V3.又因为OC_L平面VAB,所以二棱锥C-VAB的体
9、积等于界VAB,O C=1.又因为VV-ABC=VC.VAB,所以三棱锥V-ABC的体积为当解法二:连接VO与同理，可证VOL平面ABC,在等边三角形VAB中,AB=2,所以VO=V3.所以三棱锥V-ABC的体积等于界ABC-V O=|x ix V 2 x V 2 x V 3=y.三年模拟A组考点基础题组考点一空间几何体的结构特征1.（2021丰台一模,6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为（）正住）视图 侧（左）视图7俯视图A.2 B.2V2 C.2V3 D.4答 案 C2.（2021朝阳二模.5）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的5 个面
10、的面积中，最大的是（）A.2 B.V5 C.V6 D.3答 案D3.（2022西城期末,1 5）在棱长为1的正方体ABCD-AIBIC DI中，过点A的平面a分别与棱B B）,CCi,DDi交于点E,F,G,记四边形A E F G在平面B C C B上的正投影的面积为Si,四边形A E F G在平面ABBi A1上的正投影的面积为S2.给出下面四个结论：四边形A E F G是平行四边形；S1+S2的最大值为2;SS2的最大值为四边形A E F G可以是菱形,且菱形面积的最大值为孚.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.答 案 考点二空间几何体的表面积和体积1.（2022海淀期末.9）
11、如图,A,B是两个形状相同的杯子.且B杯高度是A杯高度的*则B杯容积与A杯容积之比最接近的是（）A BA.1 ：3B.2：5 C.3：5D.3:4答 案 B2.（2021 西城二模,4）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（）C84B-3D8-3案A.答正（主）视图侧（左）视图43.（2021 海淀模拟试卷一,6）如图,网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的体积为（）答 案 B4.（2021 东城二模,7）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）正（主）视 图 侧（左）视图俯视图A.8+3V2 B.1 8 +2V3C.22D.1 0+6V5答 案
12、DB组综合应用题组时间：20分钟 分值25分一、选择题（每小题4 分，共 20分）1.（2021 北京高三定位考试,5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长为（）A.2 B.2V2C.V6 D.4答 案 C2.（2021 朝阳质量检测一,7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥最长棱的长为（）I I I I I I I匚 二1由主j视 图 侧i左）视图I I I I I I IA.2 B.V5 C.V6 D.2V2答 案 C3.（2021 西城一模,4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）正（主）视图侧（左）视图A.12 B.8+V2 C
13、.16 D.8+4V2答 案D4.（2021海淀二模已知正方体A B C D-A B C D（如 图1）,点P在侧面C D D Q内（包括边界）若三棱锥B.-ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2）,则此三棱锥的左视图不可能是（）D答 案 D5.（2022朝阳期末,1（）如图，将半径为1 的球与棱长为1 的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A j n +1 B.+3 C.Jn+1 D.K+I6 6 6 o答 案A二、填空题（共 5 分）6.（2022西城二模1 5）已知四棱锥P-ABCD的高为上P C D 均是边长为夜的等边三角形，给出下列四个结论：四
14、棱锥P-ABCD可能为正四棱锥；空间中一定存在到P,A,B,C,D距离都相等的点；可能有平面PAD J平面ABCD;四棱锥P-ABCD的体积的取值范围是0,|其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.答 案 一年创新1.（2021 5-3原创题）如图.在棱长为2的正方体ABCD-A山IGDI中,M,N分别为棱A Q i,A B 的中点，点 P是棱C D 上的动点（含端点）,则平面M N P 与侧面BCGBi相交的线段中，最长的一条线段的长度为（）A.2V2 B.V2 C.亨 D.V5答 案C2.（2022 5-3原创题）如图所示的圆锥SO的侧面展开图是圆心角为120。的扇形，其面积为3兀,M为母线SA上靠近S的三等分点，现在一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面环绕一周到达M点，则该蚂蚁走的最短路程为.答 案713