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1、实数一、知识要点概述2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系.3、有理数都可以表示为，的形式（p、q 为整数且p、q 互质）；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数.4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为0:开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行.5、实数的大小比较有三种方法：数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数.差值比较法：对于实数a,b,当ab 0 时a b；当ab=0时，a=b；当ab1商值比较法：对于两个
2、正数a,b,当白 时a b：当5 时 ab；当5 时,a=b.6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0 的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字.7、科学记数法：把一个数记成ax 10”的形式，叫做科学记数法，其中理间0b,|a|b|得 ba0,a+b 9分 性 条 联 算 中 线 M分幅网 *(一 步 沙 疑-1)例3、如果卜-3|+|2*-4 卜 际 G ,求2 x y+z的值.(2)若|x+2 y+3|+x?+y 2=2 x y,求 x，的值.M：(D W S 39 A|y-3|t|2x-4|-3-0Hj r
3、-3-0 y-32x-4-0 .-.r-2名 一 3。尹 3二 2j r-yf-r-2x 2-3+3-4(乘等式化为：|X 2/+3|X*-2-0西城69tt第叫:十二:.e-(-o-1 1点评：算术平方根、绝对值、平方等具有非负性，在解题时应注意运用，同时注意儿个非负数的和为零时，可得绝对值内代数式为0,算术平方根的被开方数为0,平方的底数为0.例4、填空题：(1)近似数3.20 x10,精确到 位，有 个有效数字.(2)将 908070万保留两个有效数字，用 科 学 记 数 法 表 示 为.(3)光的速度约为3x10,千米/秒，太阳光射到地球上需要的时间约为5x1(?秒，则地球与太阳的距离
4、是 千米.解：十万,3 9.”10，(3)3xl0 x5xlgl.5xl()a 千米点评：科学记数法是中考中常考的题目.应根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值，并会用科学记数法.例 5、已知a、b 是有理数，且丁A 木卢 qA-A.Wl求 a、b 的值.因为tr、碉荀嘛R 3；当一2 g x V 1 时，y=-x-1 +x+2+x+3=x+4 2；当一3 g x V 2 时，y=-x 1 x 2+x +3=x,此时无最小值；当 x=0.分解因式：仪2+优)一(m x y+n).*确 族哪3 kM二 ；：:被这酉个学峰分则是JxV与-2手.它们的款是q-y1.f-c y _
5、 2.0 pR 2-4_0-|A_4航 EUii式 (d+力-(2+4)(7-20+V2)-4.-4-4(x-y+2)(x-2)例 2、若 3x?x=l,求 9x，+1 2 x 33x 2 7x +2 0 0 8 的值.分析：此类代数式求值问题，一 般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含有3x，一xl的乘积的代数和的形式，再求其值.解：由 3x。-x=l 得 3x3x1=0所以 9x4+12x33x27x+2008=3x(3x3x l)+4(3x3x1)+2012=2012例3、已知多项式2x?+3xy2 y x +8y6可分解为(x+2y+m)(2xy+n)的形式，求M3+1d-
6、l的值.分析：由题设可知，两个一次三项式的积等于2x?+3xy-2y?-x+8 y-6,根据多项式恒等的条件可列出关于m,n的二元一次方程组，进而求出m、n.解：由题意得：(x+2y+m)(2x-y+n)=2x;+3xy2y2x+8y6又因为(x+2y+m)(2x-y+n)=2x?+3xy-2y2+(2m+n)x+(2nm)y+mn根据多项式恒等的条件，得：-=87点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系数.伸、也-孰-?-言分析：本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差公式使计算简化.*雄处珈如加+加X。-占V+加X。-袅1
7、+募)1 3 2 4 3 2006 2008 2007 2009-X-X X-X X X-X-X-X-2 2 3 3 4 2007 2007 2008 200812009 2009-2 X 2008-4 0 W 点评：涉及与乘法有关的复杂计算，要创造条件运用公式简化计算.例5、已知a、b、c,满足竿一/求+的最大值.分析:条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值.：由日国+一+J 迎3:甲+第一吊+5*a?+W+-好 一 蛇-痴-3(/+炉+书-=+y +J+Zaft+2te+2)G+A+-2005-0 +A+c)24 20050 -k+g-a)2ttfly
8、 tffl*2 0 0 5.点评：适当初队合事咖决偿问的关辕例6、若2xkx2+3被2 x+l除后余2,求k的值.分析：要 求k的值，需找到关于k的方程，由2xkx2+3被2x+1除后余后 可 知2x kx?+l能 被2 x+l整除，由此可得关于k的一次方程.邮：&-+的X+*M二&-a+嗝2x+dm-OWK-2+1 嘛22*(告3-A(-3 +1 .0二-Jki-l 04 4机3.点 评：关键是利用余数定理找出关于k 的方程，当 f(x)能 被 x-a 整除时，f(a)=O.例 7、分解因式 a 4+4；(2)x3-3x2+4；(3)x2+xy-6V2+x+13y-6；(4)(X+V)(X+
9、V+2XY)+(X Y+1)(X V-1)解：a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2 (2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)点 评：本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解.(2)解法一：X 3x2+4=x,+x2 4x2+4=x2(x+1)4(x+l)(x 1)=(x+l)(x 2)2解法 2：x 3x?+4=x,+1 -3x2+3=(x+l)(x2-x+1)-3(x+l)(x-1)=(x+l)(x2 4 x+4)=(x+1 )(x 2y解法 3：x33x2+4=x3+x24x24x+4x+4=x2(x+1)4x(x+l)+
10、4(x+1)=(x+l)(x2-4x+4)=(x+l)(x2)2点评：这是一个关于X的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解.设 x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y+m)(x 2y+n)=x2-2xy+nx+3xy-6y2+3ny+m x-2m y+m y=x2+x、-6、2+(n+m)x+(3n-2m)y+mn比较左、右两边对应项系数得:立-2-13JM.Y1rf*.2,x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y-2)(x2y+3)点 评：这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两
11、个一次三项式，且前三项二次式x2+xy6y2=(x+3y)(x2y),由此可知,这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解.(4)设 x+y=a,xy=b则原 i=a(a+2b)+(b+l)(b l)=a2+2ab4-b:1=(a+b)2 l=(a+b+l)(a+b 1)=(x+y+xy+l)(x+y+xy-1)=(x+l)(y+l)(x+y+xy-1)点评:整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x+y=a,xy=b进行代换后,再运用公式法和提公因式法来分解.分式一、知识要点概述1、分式的概念和性质A(1)定义：若 用 A、B 表示两个整式，A+B可以写成力的形式，若 B 中含有
12、字母，A式子豆 叫做分式.性%。然空供中“是不等于 曲说明：10分式的值为0 的条件是：分子为零且分母不为0；2。当分母为零时，分式无意义;3。分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似.2、分式的运算法则a J ati a c adthc0Mw：-4-z r-c c c o a ba.-L以t a c ac a c a d adq)z我而尸牙r r五6 M国 宗 的 一)他符号法则：o-b -b D说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号.3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分.4
13、、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式，叫做通分.二、典例剖析例1、若 分 式x-3的值是绝对值最小的实数.则x=分析：绝对值最小的实数是0,从而得出分式的值为0,则分子为零且分母不为0,故可求出X.-MJ.*X*6 gSDKKf*-0解：Z x1?-3-x0-60 NM c 2说明：分式的值为0,分子为零都知道，但往往忽略分母不为0,这是此类题目的考察重点.例2、如 果n为正整数，了 二 嬴 二 正 是既约分数，那么 血 _ 婚 分析:n2+3n-10=(n+5)(n2),n2+6n-16=(n+8)(n2)分式，分母有公因式 n2,但此分数为既约分数
14、，从 而 有n2=1,易可求n,进而求出此分式值.：由t如1 1。.84 求十金-1 泊水一力iWKWNR 二 2=I二”-3说明:解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定n的取值，注意化简分式时先要分别将分子、分母分解因式，再约分.7叫3-力Q-业 田分析:先找出原式中的最简公分母，再对原式进行通分，然后将原式进行因式分解，以便约分化简.3-雌-西-63*+c*-20a炉-方呀通+2-3 0(&+划()斯G*Y)Q-#-#-G6x4-3例 4、若 x 取整数，则使分式五二T 的值为整数的x 有（）A.3 个 B.4 个C.6 个 D.8 个分析：6*+3将分式五二T 进行分析，即将它变
15、形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和的形式，然后再讨论其整数的个数.解：.6X+3 _ X2X-D+6 _3$2x-l 2x-1 2x-l.当 2 x-l=l 或3 时，x 为 整 数,0,1,2,-1；当 2 x-1=6或士2 时，x 都不是整数.所以符合题意的x 的取值只有4 个，应 选 B 项.说明：将分式进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式.制 又珈3 a+2A-5.沙+c-c-3a+2.4拿 +加+%-2腼a-b+2 2c-8 2c+Xa-Q-JXa-Q a7*-i)b c b-aa-b I IQ-c-r e-b?二 三 或 或 不 期 跟 其 故 的
16、b a JC A+d+-+x b条 用+d韶 囹H M出情.二次根式一、知识要点概述1、二次根式：式子而叫做二次根式.2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式.(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.4、二次根式的主要性质跌 砂 师 川)(a(9 0)O X f i f r -亚 凤 去&心 唯 。卬 65、二次根式的运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方
17、数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根 号 外.反 之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去.(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化.(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.（4）二次根式的乘除法二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除）所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式.（5）有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.二
18、、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手.二 2+9=24产=6.B-L+C -D-1 -A4-L n”+1分析 梃IX不再含根至从1 0 3故开施通过配方班后必为完全平方式融的例3、已知x y 0,化 简 二 次 根 式1片 的正确结果是（）A.$B.一 声C.g D.-日分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内.据 送D说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内（外）移到根号（外）内时必须考虑
19、字母因式隐含的符号.伸、计算：如今（岳 企）3#+咕+邛37市+平 i+4 7 亚1A?-屈-M+邛 一 +18（）小;邛;I分 标 若 T 俏 妣 分 幽 询 L”就算1（东牝累圜图 中分子与分用的”特点起过分给 分抵 T R 位配方等方法寻找它1的球以此为却感的女政口.品+布件卢式中 立+-以 至+.出+也 挹 .用-用J5第+)+#(a+#IMftll-_-_i-K-2 g-l 4+lIf 1 _ i 5 痴+1然 w 式 *一 十）吟-*彳*-力意-拼卜吟片小 件-6+2后 阴-6+萩 g7*27+1(3函-g X 母2 0+0 _邛5 +25+1-侪人 却 方为舟坛师,叔餐分 析 因
20、 为 只 有 不 匚 次 报 式 才 台 光”十 邛 师,故 依 百 都 与 曲 而 为旗 二M fiXM：因 为 师 IQW故X赠 以 下 三 制 觎向 场 小 邙 巾+3 邛+邛 /M-3 fjft-48 Jo-l47 M-2 7 U-1 2 U-3 i+A-2/tf I 4fb 2 3jt?-3 c 5例6、已知 2,求a+b+c的值.分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试.酷 得 已 触 皿 理 叨 得Ja-l-1-0好 2-2-0 3-3-0二+e-2O点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|
21、,砂，石是三种重要的非负数表现形式.判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：。土 入 +“(*6 在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简+-#5+2 5如+甫+2 7 JlQ 薪/+/痴+M-也+画 J./不等式与不等式组一、知识要点概述1、不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.2、不等式（组）的解法（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似,但要特别注意不等式的
22、两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集.（3）设a V b,那么：不等式组L 的解集是Xb（大大取大）；x“的解集是xVa（小小取小）；txa不等式组1“的解集是aV x8的解集是空集（大大、小小题无解）.3、不等式（组）的应用会列一元一次不等式（组）解决实际问题，其步骤是：（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）;(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案.二、典例剖析例 1、(1)已知不等式3x-a W 0 的正整数解恰是1,2,
23、3,则a 的 取 值 范 围 是.x-a0 无解，则 a 的 取 值 范 围 是.分析：对于(1),由题意知不等式的解在x V 4 的范围内；对于(2),从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分.解：3 -4由题意得 3,.9 a a,由得蟀3,因不等式组无解，；.a W 3.说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定.例 2、解下列关于x的不等式(组).(l)|x-2|2x-10；(2)(2m x+3)-n 2和 x 2,去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2),化为a x b 的形式，再就a 的正负
24、性讨论.斛(D当 仝 耐 麻 烟 叫;二 鬻,*或 廊 科 泣 北 为 二 ,i n2-x=2x-IO解力&血以 比 热 电 不 等 际 N L被痴网式拗牍为,第ad 触 R 不等式做2-布 b0求c的取值范围.分析：消 去a,b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围.46-c*3 g6-。,.,(!A Q 施 10 l2-3cW flf1c 4.伸、的M 5 3 2 2.痴fifr-3x1(2)B V 5C fi 3ra分析：已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”,应取有
25、针对性的方法.:期 叼 苛 闰I可化为jr g+9*5(i*哂*峭 *+砌又Mt t t虾*X2xa二 F E 9不I又已知方招9；:短:加M+EMB分析；弱 函 虚 日 噫 解 关 阪 婀 腥 就 再 将 所 得 蝴lf3 2 Q*S H个关于的 不 等 式 侬 个 不 就 更 可0 1求 出 血 值 袍 泡螺 集 魄 翻3x+/-l+3t杼x-3/I-at“彳(1+飙)/-Q-3 ),x+/H；.-5)-(1-1)0LNMH I-1.出 的 物【H u眼 10)由有 y y&=0.5x25当 yy z.=0 时，解得 x=50；当 y”.一yz0 时,解得 x50；当 y“一y VO 时，
26、解得 x50.所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在10 50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于 50本时，选择优惠办法乙更省钱.(3)因为6 0 5 0,由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买.若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25x10+5x60)x90%=495(元)若用优惠办法乙购买m 支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10m)支毛笔，用优惠办法乙购买60(10m)=m+50本书法练习本，设付款总金额为P,则：P=25(10m)+25m+5(m+50)x 90%=2m+475(0m 10)所以，当m
27、=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P 取得最小值为：2x0+475=475(元)故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱.例 7、我市某化工厂现有甲种原料290kg,乙种原料212kg,计划利用这两种原料生产A、B 两种产品共80件，生产一件A 产品需要甲种原料5 k g,乙种原料1.5kg,生产成本是120元；生产一件B 产品，需要甲种原料2.5kg,乙种原料3.5kg,生产成本是200元.(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来.(2)设生产A、B 两种产品的总成本为y 元，其中
28、一种生产的件数为x,试写出y 与x 之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？分析：若设安排生产A 种产品x 件，根据题意可建立关于x 的不等式组，解出不等式组得x 的取值范围.由x 为整数在取值范围内确定x 的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x 与y 之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本.解：(1)设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(80 x)件，依题意，可得：5*+2.牺-号42901.5K+15(10-J0212解得：34x()时，方程有两个不相等的实数根.七 五当=()时，方程有两个相等的实数根，即石；当()时
29、，方程没有实根，反之成立.b C6、若一兀二次方程a x 2+b x+c=0(a，0)的两根为x 1,x”贝 ll“。7、以两数a、p 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是片一(a+B)x+a p=O.8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法.9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”.若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解.1 0、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解.1 1、方程组的解的
30、存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究.二、典例剖析小方 祗-#-*-手 系是_ _ _ _ _ _ _ _分 析 按 一 睡 修.知 健 除.视(x-泊 瞬 先 知 海 可 淡 t t*.拜 卜二*-0点评：灵活解一元一次方程时常用到以F方法技巧.(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；(3)恰当用整体思想.例 2、解下列关于x的方程.(l)4x+b=ax 8(a4)(2)mx l=nx分析：把方程化为般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.解:O ff方为fl-a)8。4 二4-0*0，Tn fl/a
31、y 8+5二-d-4(琥 方 栩t痴-您1 I用加mk 占.44 一3q 州#s r a a R t M少弓“-涉珈.23x4-177-63l7x1-Z3y-S7-L+3.iH S.*-1 6/-38 l-2x-2 2 y-l6 4*=*、=马*R=，=S w 5=%*=114+.+目图+%99-1999分 析:牍 方 哂 曲 璃 点 愚 选 昕 购 f f i 雄 又 行 确 工 a Jr也X-I Z/1退过重元倚3通 私 对于6从导推心电、弼1Ms的关摹人至第（盛期丽*谢 丽 朦 阳 瞄 啡 二：碘与 a Q-&x-I ZT巧 4 彳9S9 4勺 勺，-%gg-B,到口+b T /搏 口
32、1000WW004 4-9990-1999 1 B-9998px-，”一 Jtsj j -lOOq q -耳)jiR -999.h x-3 y-fl例4、已知in是整数，方程组1ft x”=2 6有整数解，求 m的值.分析：先求出y,运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x 也为整数.34 T 加+39解：由原方程组解得y+9 x-2.+9,若 y 有整数解，贝 1 J 2m+9=1或2或17或士 3 4,经检验当2m+9=1或17时，m为整数且x 也为整数，得 m=4或一4 或一5 或一13.例 5、已知关于x 的一元二次方程（-”有两个不等的实数根.(1)求m 的取值范围；解：
33、(0 ；新给方整m个 不 带 机 的 蝴，.*.A-(-2r)i2-4(2 -l)-4-Q,二r 0 2【通懒、由 联 二 次1系 财 的 气 二 次 方 程 的 两 个 实 咖 醍 关 系 式外 心7.52 2.试求这个p q t g -tf*4-Ar+C-oNKP*(U将 创 喊:?-3 x+2-tt例 7、解下列方程加7*-1 l-0.2x_ 5x+lW0.CM&018(L012(2)3x2+x-7=0分析：对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质.对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式.35x-5_5-x_25x1-5解：(1
34、)原方程化简得一2方程两边都乘以12(即去分母)得3(35x-5)=4(5-x)-6(25x+5)去括号得：105x-15=20-4x-150 x-30移项及合并同类项得：259x=5:.X?259(2).A2-4ac-i2-4x3x(-7)-850-1土相.-2-x-3z-.X-1+5=T-相例 8、如果关于x 的一元二次方程kx。-2(k+2)x+k+5=0没有实根，试说明关于x 的方程(k-5)矛一2(k+2)x+k=0必有实数根.分析：由一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根，可以得出厚0,b2-4ac4当k=5时，方程(k 5)x 2 2(k+2)x+k=0为一元一
35、次方程，1 4 x+5=0,此时方程的根5X 一为”.当k/5时，方程(k 5)x 2 2(k+2)x+k=0为一元二次方程A A=-2(k+2)2-4(k-5)-k=4(9 k+4)；k 4 且 k,5,.,.=4(9 k+4)0.此时方程必有两不等实数根，综上可知方程(k 5)x-2(k+2)x +k=0必有实数根.点评：(1)方程“有实数根 与 有两个实数根 有着质的区别.方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程.W V 5?-(3JT4-2)1 4-1/+L_o
36、 O 3 Z V+琢 _4x g y +*沪 DW dV(y-/。芬。物哂i,：.x=-,y=l.点评：构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.分式方程一、知识要点概述1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程.2、解分式方程的基本思想方法是：3、解分式方程必须验根.二、典型例题剖析例1、tO t 2i解方程x2+x-6*+3分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题.解：方程两边同乘以(x+3)(x2)得：10+2(x-2)=
37、(x+3)(x-2)化简，整理得：片一x12=0解之得x,=3或x:=4经检验可知：知=-3是原方程的增根，x?=4是原方程的根.二原方程的根是x=4.W2、解下列方程:-40分析：用换元法解这些分式方程.y 4.0解：（1）设X?x=y,则原方程变为 J解这个方程得y=-2,y2=6,当y=-2 时，X2x=-2,此方程无解；当 y?=6 时,x?x=6,/.X i=-2,X2=3.经检验可知：x.=-2,整=3 都是原方程的根.，原方程的解为x,=-2,x?=3.x r1T f.4 Q -3 y+2-0解老x*i-1 *oJt/fSiUff.二彳蛉检”可知 展0访 楣 帆二期喇3 L方程妁
38、I为 美 t 在i-30没 空 二 7 JWi方程化加-4-3 0Xy4MW 3M*i-U T Q解之操J l-5 43tH.-i-x l-0解&图4-L_-4p2x 4x-I-0然叫l哼s岑蛆 岫 哂：演 ；.,.-L .7+*.q.l-零 的H躇 的t胞 域 方 燧 解 为 标;.一1为“当.”李2_ x-w _ j +_1_例3、当m为何值时，关于x的方程昼+U 7 无实根？分析：先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根,这样x=0或x=l是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根.解：原方程去分母，整理得：X2x+2 m=0(1)若方程有
39、实根，根据题意知，方程的根为x=0或x=l.把x=0或x=l代入方程得m=2.而x=0或x=l是原方程的增根.当m=2时原方程无实根.(2)若方程(1)无实根，则=(-1)24(2m)0解之得 4时，原方程无实根.7综合之，当m=2或时，原方程无实根.2 M 3例 4、若方程三,/-4有增根,试求m 的值.分析：分式方程将会产生增根，即最简公分母力一4=0,故方程产生增根有两种可能：x,=2,X2=-2.由增根的定义知：x,=2,xz=-2 是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m 的值.解：将原方程去分母得：2(x+2)+mx=3(x2)整理得：(m-l)x=-10(1).原
40、方程有增根，x24=0 x,=2,x2=2.将 x,=2代入得2(m-l)=-10.*.m=4将 X2=-2 代入(1)得一2(m-1)=-10m=6所以m 的值为-4 或 6.点评：(1)增根的求法：令最简公分母为0;(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可.2O-3MP+2 93例5、已知a?-a-1=0且J +Z 32-。1口求x的值.分析：为求X的值，须将X与a?分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含“*了 这样应从条件出发构造倒数关系.解:2(?+.)-3 x 93说明：常用的几个公W 吟 34 夕 Z(a+/+2a a x,出售价(优惠价
41、)为x-(l+40%)-80%解：设原价为每x元/台，根据题意得：x-(l+40%)-80%-x=270解之得x=2250元.答：原价每台2250元.点评：对这种明优惠、暗提价的经销问题关键是区分清楚标价、优惠价及原价之间的关系.例4、某公司存入银行甲、乙两种不同年利率的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4%,乙种存款的年利率为3.7%,该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各为多少万元？解：设甲、乙两种存款分别为x、y万元,答：甲、乙两种存款分别为5万元，15万元.点评：利率问题是中考命题的热点问题，应弄清存款本金、利率、存期及利息之间的关系:利息=本金x利率x期数.例5、A、B
42、两汽车站，每隔相同的时间相向发出一辆汽车，A、B之间有一骑自行车的人，发现每隔4分钟迎面开过来一辆汽车，而每隔12分钟有一辆汽车从后面开来并超过他，若人与汽车的速度始终是匀速的，问A、B两站每隔几分钟各发一次车？分析：行程问题也是一类重要的应用题，解题时，一定要透彻理解题意，本题中“每隔4分钟迎面开过来-辆汽车”相当于“骑车人和汽车相向而行4分钟相遇”，而“每隔12分钟有一辆汽车从后面开过来并超过他 相当于汽车与自行车同向而行，12分钟汽车追上自行车解：设汽车速度为x,骑车人速度为y,先后两辆汽车的间距为S,欲求7,依题意得:6+历jy依故四X答：两车站每隔6分钟发一次车.例6、某三位数除以它
43、各数位上数字的和的9倍得到的商为3,已知百位上的数字与个位数字的和比十位上的数字大1,如果把数位上的数字顺序颠倒，则所得的新数比原数大9 9,试求这个三位数.蝶置这个三1百字为A十位上霰字粉.个便上跳参加 依喉修1100市+10/，n3丹（不2”）x+z尸 IQ00z+Wy+/-Q O O x.lO+20 997 3 j r-l7/-M r-0蛔 琳*-门*1*9 y-4上 3徵新求的三僮3 M 3.函数与图形一、知识要点概述（一）函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量.2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量.3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,对 于 x 的每
44、一个取值，y 都有唯 确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数，x 叫自变量.4、函数的表示方法财雌州 象 法5、画函数图象的步骤：列表；描点；连线，通常称为描点法.6、函数自变量的取值范围式 画 敷 洎 变 紫 脸E R喊:自 变=隗 值 侵 分 母 场烧 式 堀R：自 交 鼬 魄 值 的 妍 加 蚌 型 岫 实 耐 :自 变 取 值 应 使 痔 3射直文（二）平面直角坐标中点的坐标特征 第 一 W l（+.+）k筑INU姐 士鬻吗第四象限y-tK 寨T RO第三Sffi B S M包洲点知2、坐 标 牡 的 点 网 t的点:横弛标为0 附 止的点柳于任何安陶厚 点 触 尔 LQ)3、平行于
45、坐标轴的直线上的点(1)平行于x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y 轴的直线上任意两点的横坐标相同.4、对称点的坐标：(1)点P(a,b)关于x 轴的对称点坐标是P,(a,-b)即横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)点 P(a,b)关于y 轴的对称点坐标是P2(-a,b)即横坐标互为相反数，纵坐标相同.(3)点 P(a,b)关于原点的对称点坐标是巴(一a,-b)即横、纵坐标都互为相反数.5、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a,b)与原点的距离 是 庐
46、 手.(2)点P(a,b)与x 轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值).(3)点P(a,b)与y 轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(l+a,2bl)在第二象限，则点N(a1,l-2 b)在第 象限.分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征.由于点M在第二象限,Jl-t-o 0,r 0)y=x+2和P 泌+于分析：判断两个函数是否为同一函数：要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同.解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x r0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相
47、同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是疟-2.1y1-例7、在函数 中自变量x的取值范围是分析:求函数式中自变量的取值范围的般思路是:函数解析式中的分母不能为0；偶次根式的被开方数应为非负数;零指募和负整指数幕的底数不能为0.此题中，自变量x应满足片：43解：史 T且x#2.例8、等腰4A BC周 长 为10cm,底 边BC长 为y c m,腰 长AB为x cm.(1)求 出y与x的函数关系式；(2)求x的取值范围；(3)求y的取值范围；(4)画出此函数的图象.分析：要 求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系
48、，确 定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手.画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响.解:(1.,ABC 的周长为 10,.,2x+y=10,二产102x.由解之得0y 0时y随x的增大而增大.当k 0,b0J直线经过第一、二、三象限nk0,b0j L.直线经过第一、三、四象限(-)反比例函数k0J直线经过第一、二、四象限k0,b 0 时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y 随 X的增大而减小.(2)当k,(2)直 线y=kx+b不 过 第 二 象 限 的 条 件 口一、三象限是正比例函数.中301 要特别注意，此时直线经过
49、第例2、已知y=y+y”y与x1成正比例，y?与x+1成 反 比 例.当x=0时y=-5,当x=2时y=l,那么当y=-3时x=.分析:根据题意，分别设出力与3的函数关系式，根 据 尸y d y”把x、y代入求出比例系数，得 到y与x的函数关系式，再 求x的值.解：鼠 力二力+为+务fir-DL/SShr-Zy.tftA U二 7*7-言电d 1)-2x-t-iM*：2/+3 I.0Mffl：a-Z 4 -is二 M r-2Ar-0.S.注：这里必须注意，其中的两个比例函数要用两个不同字母k,k”千万不要用同一个字 母k,这是同学们易错的地方.例3、已知一直线经过点A(l,1)和B(l,5)求
50、直线AB的解析式.分析：直线的解析式可设为产k x+b,因 为k,b待定，由直线过A(1,1)和B(l,-5)可以确定.解:设直线AB的解析式为：y=kx+b(k/O),点 A(1,1)和 B(l,-5)在直线 y=kx+b 上，二 产：解 为 吸 Y牍+6-S 2二直线AB的解析式为y=3x2点评：求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：(1)设函数的解析式为y=kx+b(kO).(2)将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组.(3)求k,b 的值，得函数的解析式.例4、如图，RtaABO的顶点A 是