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1、第 14讲 一元二次方程全章复习与测试谆【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；3 .掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.合【基础知识】一.一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次
2、项的系数不等于0 ；“整式方程”.二.一元二次方程的一般形式（1）-一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式a+bx+cO（0）.这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中o r2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数。是不等于0的实数，这是因为当。=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.三.一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为
3、只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这x i,也是一元二次方程/+必+,=0 QW0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.axr+bxcQ（a W O）,ax21+bx2+cO（a W O）.四.解一元二次方程-直接开平方法形 如/=0或（依+小）2=p（po）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成/=p的形式，那么可得=旃；如果方程能化成（x+，w）2=p（p N O）的形式，那么x+w?=_ J j j.注意：等号左边是一个数的平方
4、的形式而等号右边是一个非负数.降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.方法是根据平方根的意义开平方.五.解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（X+机）2 =附的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.（2）用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为2+/JX+C=O（a W O）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.六.解一元二次方
5、程-公式法（1）把x=士 山4 a c（.-4 a c 2 0）叫做一元二次方程a r 2+b x+c=O （a#0）的求根公2a式.（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进 而 确 定 小6,c的 值（注意符号）；求出户-4成 的 值（若y-4 a c 0,方程无实数根）；在6 2-4 4）0的前提下，把a、A c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：。并0;启-4农2 0.七.解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方
6、法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.八.换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元
7、法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.九.根的判别式利用一元二次方程根的判别式(=庐-4破)判断方程的根的情况.一元二次方程a r2+f c v+c=O (a W O)的根与=标-4 4 c有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个
8、相等的两个实数根；当a0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.十.根与系数的关系(1)若二次项系数为1,常用以下关系：x i,总是方程f+p x+q=O的两根时，x i+%2=-p,xxi=q,反过来可得p=-(X 1+X 2),q=xx2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：x i,也是一元二次方程以2+瓜+c=o (�)的两根时，X+X2=X X 2=反过来也成立，即=(x i+%2),-=XX2.Q a a a(3)常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.己知方程及方程
9、的一个根，求另一个根及未知数.不解方程求关于根的式子的值，如求，X/+X 2 2等等.判断两根的符号.求作新方程.由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑。#0,()这两个前提条件.十一.由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出己知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程.十二.一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答.2、列一元二次方
10、程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位 数 为 十 位 数 是 4则这个两位数表示为lOHa.（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X 100%.如：若原数是4,每次增长的百分率为 x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2,即 原 数 X（1+增长百分率）2=后来数.（3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的
11、路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.【规律方法】列一元二次方程解应用题的 六字诀1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.3.歹小根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.4.解：准确求出方程的解.5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.6.答：写出答案.十三.配方法的应用1、用配方法解一元二次方程.配方法的理论依据是公式。2 2+庐=（a+h）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.2、利用配
12、方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方.3、配方法的综合应用.十四.高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2 次的方程，称为高次方程.（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理.换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解.十五.无理方程（1）定义
13、：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程.解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等.（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.二【考点剖析】一.一元二次方程的定义（共 1 小题）1.（2 0 2 1秋丹阳市期末）若方程，I-8 x-8=0是一元二次方程，则加的值等于（）
14、A.+1 B.1 C.-1 D.0【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案.【解答】解：若方程 W 8 X-8 M 0是一元二次方程，则 7+1=2,解得m=.故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.二.一元二次方程的一般形式（共 1 小题）2.（2 0 2 1秋密山市校级期末）方程/-x=0的 一 次 项 系 数 是-1 ,常 数 项 是0 .【分析】一元二次方程的一般形式是：a/+b x+c=
15、0 （小b,c是常数且“W 0）.在一般形式中o?叫二次项，区叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.【解答】解：方程/-x=0的一次项系数是-1，常数项是0.【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式.在本题中要注意常数项是0,而不是不存在.三.一元二次方程的解（共 1小题）3.（2 0 2 1 秋金湖县期末）根据关于x的一元二次方程/+p x+q=O,可列表如下:【分析】通过观察表格可得/+川+4=0 时，1.2 x V 1.3,即可求解.x 0.5 11.11.21.31.4x1+px+q-2.7 5 -1-0.5 9-0.1 60.2
16、90.7 6则方程/+p x+7=0 的正数解满足（)A.解的整数部分是1,十分位是1B.解的整数部分是1,十分位是2C.解的整数部分是1,十分位是3D.解的整数部分是1,十分位是4【解答】解：由表格可知,当 x=1.2 时，x+px+q0,当 x=1.3 时，x+px+qX),.,.X2+/?A+7=0 时，1.2 x 0,-bJb2-4ac 2 2v1 0 1 1 0X-*-=-=-，2a 2 x 3 3所以x i=i F,X1 印【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.八.
17、换元法解一元二次方程（共 1 小题）1 1.（2 0 2 2春射阳县校级月考）已 知（7+丁+1）（A y2-3）=5,则？+尸的值为（）A.0 B.4 C.4 或-2 D.-2【分析】设/+）2=z,则原方程换元为Z2-2Z-8=0,可得ZI=4,Z2=-2,即可求解.【解答】解：设/+陕=2,则原方程换元为z2-2 z -8=0,（z-4）（z+2）=0,解得：z i=4,Z2=-2,即/+y 2=4或x2+y2=-2 （不合题意，舍去），.,+）2=4.故选：B.【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键.九.根的判别式（共 1 小题）1 2.（2 0 2 2
18、春海门市期中）若方程江2+6*+3=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为/“W 3且序（）.【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m W O且a=6 2 -4/X 3 0,然后求出两不等式的公共部分即可.【解答】解：根 据 题 意 得 且=6 2-4 m X 3 0,解得且?#0,即实数m的 取 值 范 围 为 且z nWO.故答案为：且,w#0.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a+bx+cO（a#0）的根与A=庐-4ac有如下关系：当A 0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当 x9x2=1,x1 2 0 2 2 x 1+1 =0
19、,；.X2_2022X I=-1,工在一2 0 2 2=后 一2022X1=-2022%1=-1.故答案为：-1.【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键.1 4.（2 0 2 2 靖江市一模）已知方程7-2=0的两根分别为x i,xi,则 x/-2+4%2 的值为 4 .【分析】利用一元二次方程解的定义得到制2=|+2,入 2 2=如+2；然后由根与系数的关系求得XI+X2=2；最后代入所求的代数式求值即可.【解答】解：方程-2 x-2=0的两根分别为x i,X2,.xr 2x+2,x22-2x2+2,XI+X22.X I2-A22+4X2=(2 x
20、i+2)-(2 x 2+2)+4 x 2=2 (x i+%2)=2 X 2=4.故答案是：4.【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是-种经常使用的解题方法.一十一.由实际问题抽象出一元二次方程（共 2 小题）1 5.（2 0 2 2 春海门市期中）九章算术是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为1 0 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度
21、分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A.+52（x+1）2 B./+1。2=（x+1）2C.x2-52=(x -1)2 D.X2-I O2=(x -1)2【分析】首先设水深X尺，则芦苇 长 为(X+1)尺，根据勾股定理可得方程.【解答】解：设水深X尺，则芦苇 长 为(X+1)尺，由题意得：7+5 2=(x+1)2,故选：A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.1 6.(2 0 1 9 春阜阳期中)南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克4 0 元，按每千克6 0 元出售，平均每天可售出1 0 0 千克，后天经过市场调查
22、发现，单价每降低1 元，平均每天的销售量可 增 加 1 0 千克.专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2 2 4 0 元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解：方 法 1：设每千克特产应降价x元，由题意，得 方 程 为(6 0 -x -4 0)(1 0 0+l Ox)=2 2 4 0 ；方 法 2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：(x-4 0)1 0 0+1 0 (6 0-x)=2 2 4 0 .(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程.【分析】(1)方 法 1：设每千克特产应降价x元，利用销售量义每件利润=2 2 4 0 元列出方程求解即可；方 法 2：设每千
23、克特产降价后定价为)，元，利用销售量X每件利润=2 2 4 0 元列出方程求解即可.(2)利 用(1)中所列方程求出答案.【解答】解：(1)方 法 1：设每千克特产应降价x元.根 据 题 意，得(6 0-X-4 0)(IOO+IOJC)=2 2 4 0.方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得(%-4 0)1 1 0 0+1 0 (6()-x)|=2 2 4 0,故答案为：(6 0-X-4 0)(1 0 0+1 0 x)=2 2 4 0,(x-4 0)1 0 0+1 0 (6 0-x)=2 2 4 0；(2)方 法 1：设每千克特产应降价x元.根 据 题 意，得(6 0-X-4 0)(
24、1 0 0+1 0%)=2 2 4 0,解得 x i =4,X2=6.要让顾客尽可能得到实惠，只能取x=6,6 0 -6=5 4 元，答：每千克特产应定价5 4 元.方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得(A:-4 0)1 1 0 0+1 0 (6 0-x)1=2 2 4 0解得 x i =5 4,%2=5 6.要让顾客尽可能得到实惠，只能取x=5 4,答：每千克特产应定价5 4元.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.一十二.一元二次方程的应用(共1小题)1 7.(2 0 2 2春鼓楼区校级月考)我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式
25、或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题.(1)己知三角形A B C的三边长“、氏c都是正整数，并且满足J+2层-6-4 6+1 1=0,求三角形A B C的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？(2)某商品现在每件盈利1 0元，每天可卖出3 0件.市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？【分析】(1)由 a2+2h2-6a-4 Z+l l=0 得(a -3)2+2 (b-I)2=0,据此知 a=3、b=1,继而根据三角形三边关系确定c的范围，结合c是正整数可得c=3
26、,从而得出答案；(2)设每件商品涨价x元，每天的利润为(1 0+x)(3 0-x)=-(x-1 0)2+4 0 0,由(%-1 0)2 2。知-(x-1 0)2+4 0 0 W 4 0 0,从而得出答案.【解答】解：(1)；/+2层-6。-4%+1 1=0,./-6。+9+2户-4 6+2=0,即(a -3)2+2 (&-1)2=0,则“-3=0 且 b -1=0,解得=3,b=,：.3-l c 3+l,即 2 c 4,c是正整数，.c=3,则A 8 C的周长为3+1+3 =7；(2)设每件商品涨价x元，每天的利润为(1 0+x)(3 0-%)=-/+2 0 x+3 0 0=-(x -1 0)
27、2+4 0 0,/(X-1 0)2 2 0,-(X-1 0)2 B.理由如下：/(3?-2 x)-(2?+4x-1 0)=3 -2x-2X1-4x+1 0=j？-6 x+1 0=(7 -6 x+9)+1=(x-3)2+l l 0,：.A B.【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.一 十 四.高 次 方 程(共 1小题)1 9.(2 0 2 1秋漂阳市期中)阅读理解：对于(j+1)X+这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3-(H2+1)x+n=r3 -n2 x-x+n=x(x2-n2)-(x-n)=x(x+)(x-n)-(x-r i )=(
28、x-n)(.x1+nx-1)理解运用：如果 4 -(n2+l)x+nO,那 么(x-r i )(7+%-1)0,即有 x-w=0 或-1 =0.因此，方程x-=0和-1=0的所有解就是方程-(j+1)+=0的解.解决问题：求方程4-5 x+2=0的解.【分析】仿照题例，先变形方程，转化为一个一次方程和一个二次方程的形式，求解即可.【解答】解：方程4-5/2=0变 形 为/-(4+l)x+2=0,.,.X3-4x-x+2=0.(x3-4x)-(x-2)0.(x+2)(x-2)-(x-2)=0.(x-2)(J T+2X-1)=0.,.x-2=0 或 JT+2X-1 =0.，X 1=2,X2 1+2
29、 X 3=-1 y/2-【点评】本题考查r解高次方程，看懂和理解题例，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键.一 十 五.无 理 方 程(共1小题)2 0.(2 0 2 1秋秦淮区期中)阅读解方程的途径.方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想-转化，把未知转化为己知,用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程.(1)请 用“转化”的数学思想，填写如图的空格.隼 分 解（2）求方程，2x+3=x 的解.【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根即可；（2）通过方程两边平方，把无理方程转化为整式方程，利用一元二次方程的解法求解即可.【解答】解：（1）/+x-2=0,Z.（
30、x+2）（x-1）=0.即 x+2O 或 x-1 =0.-2,X3=l.故答案为：-2,1；（2）两边平方，得 2x+3=.整理，得/-2%-3=0.二（x-3）（x+1）=0.X=3,X2=-1.经检验，X=-1是增根，舍去.所以原方程的解为x=3.【点评】本题考查了高次方程和无理方程，掌握转化的思想和一元二次方程的解法是解决本题的关键.一十 六.一元二次方程的整数根与有理根（共 1 小题）21.（2010秋海淀区校级月考）已知关于x 的方程心分2 +i）x-3=0（1）若方程有两个有理数根，求整数k 的值（2）若 k 满足不等式16k+30,试讨论方程根的情况.【分析】（1）方程有两根，则
31、根据跟的判别式求出的取值范围，然后根据两根都是有理数，进而判断出整数人的值，（2）分类讨论，当 k=0 时，方程是一元 次方程，方程的根只有一个，当结合不等式16k+30和跟的判别式等条件讨论出方程根的情况.【解答】解：（1）若方程有两个有理数根，则=4（R 1）2+1240,解得k 心产,若一元二次方程有有理根，则=4（R I）2+1 2 k是一个有理数的平方，解得k=3或-5或-8,（2）若:满足不等式1 6好30,即 A-W，1O若上=0,方程履2+2 a+1）X-3=0只有一个根，当k K0时，方 程 小+2 （A+l）x -3=0为一元二次方程，令=4（&+1）2+1 2左=4正+2
32、 0+4=0,解得k=-5产,乂知仁，.当 1 6k+30 时，0,二方程有两个根，故当A=0时，方程有一个根，当Jt w o,1 6k+30,时，方程有两个根.【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根与有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和跟的判别式的知识，此题有点难度.【过 关 检 测】一.选 择 题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.（3分）下列说法正确的是（）A.方程8 7-7=0的一次项系数为-7B.一元二次方程的一般形式是小+公+。=0C.当=0时，方 程 依3x-1=/为一元二次方程D.当“取所有实数时，关于x的 方 程（P+i）/-a-3=0
33、为一元二次方程【分析】根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.依此即可求解.【解答】解：A、方程8f-7=0的一次项系数为0,故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是“/+6x+c=0 （&W 0）,故选项错误；C、当&-1 W 0,即 Z W 1 时，方程f c?+3x-1=/为一元二次方程，故选项错误：D、当，“取所有实数时，关于x的方程（?+1）/-m 氏-3=（）为一元二次方程是正确的.故选：D.【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
34、是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.（3 分），是方程/+x-1=0 的根，则式子/+2 机 2+2 0 1 4 的 值 为（）A.2 0 1 4 B.2 0 1 5 C.2 0 1 6 D.2 0 1 7（分析】把?代入f+x -1=0得至m2+m-1=0,即in2+m=1 把m2+m=1 代入式子：加+2,“2+2 0 1 4,再 将 式 子 变 形 为（WAH”）+?2+2 0|4 的形式，即可求出式子的值.【解答】解：是方程+x-1=0 的根，/.rn+m-1 =0,即 rn1+m 1,.w3+2 m2+2 0 1 4=m（m2+m）+/n2+2
35、0 1 4=w+w2+2 0 1 4 =1 +2 0 1 4=2 0 1 5.故选：B.【点评】考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首 先 应 从 题 设 中 获 取 代 数 式 的 值，然后利用“整体代入法”求代数式的值.3.（3 分）用直接开平方法解方程（x-3）2=8,得方程的根为（）A.x=3+2 2 B.x=3-2 2 C.x3i2 3 D.x=3 i 2 2【分析】方程利用平方根的定义开方即可求出解.【解答】解：方程开方得：x-3=2&,解得：X I=3+2 72 1%2=3-2 /2，故选：D.【点评】此题考查了解一元二次方程-直接开方法
36、，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.4.（3 分）用配方法解关于x的方程，+p x+q=O时，此方程可变形为（）A.（、+犷=9 B.（+犷=中C（犷=半 D.（x 犷=呼【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式,右边化为常数.【解答】解：,：x2+px+q0.厂+x=-q.f+px+。=一什号A（x+与）2=/2 4故选：B.【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.5.（3 分）若关于
37、x 的一元二次方程2，-3 x-&=0 的一个根为1,则另一个根为（）1 7A.2 B._ I C.-D.一2 2【分析】首先把X=1代入方程，即可求得k 的值，代入火的值，解方程即可求得.【解答】解：根据题意得：2 X 1-3 X 1-/=O:.k=-I二方程为：2xi-3x+=0解得：J C 1 1,X2=故选：C.【点评】此题考查了方程解的定义.还应注意根与系数的关系的应用，解题时会更简单.6.（3 分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A.7+1=0 B./+4 x-4=0 C.x2+x+y=0 D.?=04 2【分析】直接利川根的判别式分别分析各选项，即可求得答案.【解答】解
38、：A、b=0,c 1.二 A=tr-4ac=02-4X 1X 1=-40,此一元二次方程有两个不相等的实数根;C、.a=1,b=I.c4=hr-4ac=I2-4X 1 x=0,此一元二次方程有两个相等的实数根；D、a 1,b 1 c=之，A=房-4ac （-1）2-4X 1 x 1=1 0 0 方程有两个不相等的实数根；A=0Q 方程有两个相等的实数根：A （）Q 方程没有实数根.7.（3 分）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）A.5 人 B.6 A C.7 人 D.8 人【分析】易
39、得每个同学都要送给其他同学，等量关系为：小组的人数X（小组人数-1）=3 0,把相关数值代入计算即可.【解答】解：设该兴趣小组的人数为x 人.x（x-1）=30.解得xi=6,X2=-5（不合题意，舍去），故 选:B.【点评】考查一元二次方程的应用；得到礼物总件数的等量关系是解决本题的关键.8.（3 分）一元二次方程2?+6工=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2,6,9 B.6,2,9 C.2,6,-9 D.6,2,-9【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可.【解答】解：方程整理得：2X2+6X-9=0,则二次项系数为2,一次项系数为6,常数项
40、为-9.故选：C.【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：a+bx+c=0（a,h,c 是常数且a40）特 别 要 注 意 的 条 件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ar2叫二次项，hx叫一次项，c 是常数项.其中a,b,。分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.9.（3分）若x=1是一元二次方程/+2 x+m=0的一个根，则机的值为（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【分析】把x=l代入方程/+2%+切=0,得出一个关于，的方程，求出方程的解即可.【解答】解：把x=l代入方程/+2%+加=0得：1+2+/”=0,解得：m 3,故选：C.【点评】
41、本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于，的方程是解此题的关键.1 0.（3分）下面结论错误的是（）A.方程 7+4X+5=0,贝！XI+JQ=-4,XIX2=5B.方程2?-3 机=0有实根，则加工OC.方程7-8 x+l=0 可配方得（X-4）2=1 5D.方程/+x-1=0两 根 加=逸，双=二 室【分析】A、根据根与系数的关系和根的判别式即可得到结论；8、由根的判别式即可得到结论；C、把原方程配方后可得结果；。、解方程即可得到结论；【解答】解：A、方程/+4 x+5=0,=4 2-4义5 0,则方程无实数根，此选项错误；8、；方程2?-3工+，=0有实根，.A=9-
42、8，2 0,.，”工?,此选项正确；OC、方程7-8 x+l=0可配方得（x-4）2=1 5,此选项正确；D、解方程/+x-1=0得 刘=二1鬟，筮=匚三但，此选项正确；故选：A.【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键.二.填 空 题（共9小题，满分2 7分，每小题3分）1 1.（3分）（1）若（施-2）-2%+3=0是关于x的一元二次方程，则加的取值范围是 mW 2 .（2）一元二次 方 程（r a+1）/+x+z 2 -1=0 有一个根为 0,则/=1 .【分析】（1）直接根据一元二次方程的定义进行解答即可；（
43、2）将x=0代入方程即可求出，”的值.【解答】解：.方 程（/n-2）?-2 r+3=0是关于x的一元二次方程，：.m-2 0,解得，W 2.故答案为：mW2；（2）将 x=0 代 入（m+1）/+x+2-1=0,m1-1=0,，加=1 或 ni=-1,V/n+10,m=1,故答案为：1.【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将尸0 代入（，+1）/+2-1=0,本题属于基础题型.12.（3 分）已知关于x 的一元二次方程（x+1）2+加=0 可以用直接开平方法求解，则 m 的取 值 范 围 是 mWO.【分析】根据直接开平方法求解可得.【解答】解：（x+l）2+,”=0,（x+1）2
44、=-m,.方 程（x+1）2+%=0可以用直接开平方法求解20,/.?即（3 2）x2=1 x2=/3 2，/.xi+x2=-a,即值 一 2 一 02=。，解得。=4,故答案为4,-3 2.【点评】本题考查了 一元二次方程解的定义和根与系数的关系，注意在解题时要重视解题思路的逆向分析.14.（3 分）已知方程/-3x-1=0 的两个根是 xi,X2,则 xi+%2=3,xi X2=-1 .（xi-1）（%2 -1）-3,x-X2_+/13【分析】可以直接利用根与系数的关系，计算两根之积和两根之和，进而即可求得（X I-1 ）（X 2 -I）和 X X2 的值.【解答】解：方程/-3 x-1=
45、0 的两个根是xi,g.*.X|+X 2 =3,XX2-1,:.（X I -1）（X 2 -1）=X 1 X 2 -（X 1+X 2）+1 =-1 -3+1 =-3,X I -X 2=J g+口2）2 -4 X/2 =!9+4 =1 3.故答案为：3,-1,-3,1 3-【点评】本题考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系：X l+X 2=-2 X 1 X 2=得出是解题关键.a a1 5.（3分）某单位准备将院内一块长3 0 米，宽 2 0 米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为5 3
46、2 平方米，那么小道进出口的宽度应为 1 米.（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）【分析】设小道进出口的宽度应为x 米，则种植花草部分的面积与长为（3 0-2 x）米、宽 为（2 0-x）米的矩形的面积相等，根据种植花草的面积为5 3 2 平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，取其符合题意的值即可得出小道进出口的宽度.【解答】解：设小道进出口的宽度应为x 米，则种植花草部分的面积与长为（3 0-2%）米、宽 为（2 0-x）米的矩形的面积相等，依题意得：（3 0-2 x）（2 0-x）=5 3 2,整理得：x2-3 5 x+3 4=0,解得：xi =l,X 2=3 4.
47、当 x=l 时，3 0-2 x=3 0-2 X l=3 0-2=2 8 0,符合题意；当 x=3 4 时，3 0 -2 x=3 0 -2 X 3 4=3 0 -6 8=-3 8 0,不合题意，舍去.故答案为：1.【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.1 6.（3分）已知多项式A=/-x+（3-当），若无论x 取何实数，A 的值都不是负数，则%k-21-+zlx34一12-2与2的取值范围是 k*.【分析】先把原式配方，再根据A 的值都不是负数，得到一J+（3-务 0,解不等式4 2即可.【解答】解：A=7-x+（3-务=?-%
48、+i-1+（3-2 4 4若 X 取任何实数，A 的值都不是负数，.,.一+（3-：）20,4 2解得：y 争故答案为：k=12,解得=8,此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b=4 时，不符合三角形三边的关系；当。=人时，利用根与系数的关系得到12=a+b,解得4=0=6,则巾+2=3 6,从而得到团的值.【解答】解：当=4 时，Z,b 是关于x 的 一 元 二 次 方 程 12x+m+2=0的两根，：.4+b=l2,2=8,而 4+4W 0,不符合题意；当b=4时，:a,。是关于x 的一元二次方程x2-121+加+2=0 的两根，4+a=12,而 4+4=8,不符合题意；当a=b时，.a
49、,b是关于x 的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，12=+。，解得 a=b=6,，1+2=36,加=34,故m的值为34,故答案为3 4.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+b x+c=O QW 0）的根与A-4ac有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A +=5 .-5-%x2【分析】根据根与系数的关系得到X l+X 2=Q lX 2=看 再 经 过代数式的变形得到舒+一=（X 1+X 2）2-2 X.X 2,-+-=1.然后利用整体代入的方法计算.X x2 xtx2【解答】解：根据题意得X l+X 2=|,所以（X I+X
50、 2）2 -2 x 1 X 2=（-）2-2 x X =T2 2 4=55-2-1-2=X不-1-1-不+1-4故答案为一，5.4【点评】本题考查了根与系数的关系：若可，X 2是一元二次方程/+云+c=0 （W 0）的两根时，Xl+X2=-X I X 2=a a1 9.（3分）一元二次方程x2-m x+m=O的两个实数根为尤I、xi,则代数式x+xx2+x2=2m.（用含m的代数式表示）【分析】先根据根与系数的关系得到X l+X 2=/7 7,X L W=，“，然后利用整体代入的方法计算即可.【解答】解：根据题意得X 1+X 2=?,Xx2m,所以 x+xx2+x2=m+m=2m.故答案为2m