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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合4 =%-B=x|0 x2 ,则4|J8=()A.(-1,2)B.(-1,2 C.f O,D D.0,1【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：AU6 =x|T x W 2 ,即A U 3 =(T 2 .故选：B.2.在复平面内，复数z满足(l i)z =2,则2=()A.2+i B.2-i C.l-i D.1 +z【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算
2、即可求得最终结果.2 2(1 +/)2(1 +/)【详解】由题意可得：z=-=1+1.1-z (l-)(l+z)2故选：D.3.已 知 是 定 义 在 上 0J的 函 数,那 么“函数/(%)在 0,1 上单调递增”是“函数 3在 0,1 上的最大值为了”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数I(x)在 0,1 上单调递增,则/(X)在 0,1 上的最大值为了 ，若/(%)在 0 上的最大值为/(1),比如尤）=，-！,但/（x）=（x g 在0）1为减函
3、数，在,1 为增函数，故/（X）在 0 上的最大值为1）推不出/（X）在 0,1 上单调递增，故“函数”X）在 0,1 上单调递增”是“X）在 0,1 上的最大值为了 ”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.3+有 B.4 C.3+6 D.22【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥。-A 8C,其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3x；xlxl+x（枝）故选：A.2 25.双曲线
4、C:三 一 方=1过点2 2A.82 _2 _=B.-3 3【答案】A【解析】分析】分析可得b=R，再将点（程.【详解】.e =2,则c=2 a,ba2 3+G=-23）,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为（）=1 C.X2 _V 3 =D.叵-丁=13 3行,0）代入双曲线的方程，求出。的值，即可得出双曲线的标准方2 2=。2 _。2=百。，则双曲线的方程为二一*=1,矿 34将 点 的 坐 标 代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得a*=5 =l,解得4=1,故b=2因此，双曲线的方程为V-2 1 =1.3故选：A.6-%和 也 是两个等差数列，其 中 去(I)为 常 值,q=2 88,
5、%=9 6,=1 92,则4=()A.64 B.1 2 8 C.2 56 D.51 2【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出&的值，利用等差中项的性质可求得打的值.【详解】由已知条件可得？=9则&=她=二：b、b2=6 4,因 止 匕，4=卡=警竺=吸5%2 8 8 2 2故选：B.7.函数/(x)=c os x-c os 2 x,试判断函数的奇偶性及最大值()A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2g 9C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为二8 8【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由
6、题意，f(-x)=c os (-X)-c os (-2 x)=c os X-c os 2 x=/(x),所以该函数为偶函数，/1Y 9f M =c os x -c os 2 x=-2 c os2 x+c os x+1 =-2 c os x-j +,1 9所以当C O SX=一时，f(x)取最大值4 8故选：D.8.定义：2 4小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨(10m m),中雨(10m m-2 5 m m ),大 雨(2 5 m m-5 0m m),暴 雨(5 0m m-100m m ),小明用一个圆锥形容器接了 2 4小时雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A.小
7、雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详 解】由 题 意，一 个 半 径 为-y =100(m m)的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为200 150-X2-30050(mm),高为150(mm)的圆锥,所 以 积 水 厚 度 仆*5 1 5。=万 X 1 0()2 属于中雨.故选：B.9.已知圆C：/+y2=4,直线/：y=丘+根，当后变化时，/截得圆c弦长的最小值为2,则?=()A.+2B.+2c.6D.土石【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
8、加【详解】由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=-7,则当=0时，弦长取得最小值为2,4-加=2,解得加=JL故选：C.10.数列%是递增的整数数列，且4 23,4+%+-+4,=100,则”的最大值为)A.9 B.10 C.1 1 D.1 2【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使尽可能的大，则,递增幅度要尽可能小,不妨设数列%是首项为3,公差为1的等差数列，其前项和为S.，则4,=+2,S,1 =8 8 =+2与曲线y=一3兀(。1)相切于点尸(，,一lg。,et-100,100,k=-lg eeZ/+2
9、=-IgZ对函数y=-ig x求导得y=-,由题意可得1,1 ,解得xlnlO k=-HnlO所以，存 攵=一 Ige 0,使得“X)只有一个零点，正确；e对于，当直线丁 =履+2过点(1,0)时，k+2 =Q,解得丘=2,所以，当U2 lge攵2时，直线丁 =依+2与曲线y=-lgx(O xl)有两个交点，若函数”X)有三个零点，则直线丁 =丘+2与曲线y=-lgx(O xl)有两个交点，100,一,_ /、-1g e 攵 l)有一个交点，所以，I e,此不等式无解，%+20因此，不存在左l)相切于点P(M gr),kt+2 =gt对函数y=lgx求导得y=一，由题意可得1 1 ,解得xln
10、lO k=-Hn 10所以，当0Z翳时，函数“X)有三个零点，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；(2)列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.f=100e左=.lOOe三、解答题共6 小题，共 85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.己知在 A B C中，c =2/?c o s 3,C =3（1）求3的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知
11、，使A A bC存在且唯一确定，并求出8c边上的中线的长度.c=6b；周长为4+2 6；面积为5A Ap c =苧；【答案】（1）？；（2）答案不唯一，具体见解析.O【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）-.c=2 b c o s B,则由正弦定理可得s i nC =2 s i n5c o s 5,.s i n2 5=s i n =曰，.则 a =2,c =2G ,由余弦定理可得8 c边上的中线的长度为：J
12、（2可+2x2百x l x c o s?=；jr若选择：由（1）可得A =,即=匕，6则S uL a 8s i nC =J。？=之 也，解得a =百，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：卜+（|1 2xb x会cos,=卜+%昌等=亭.17.已知正方体A B C O -Ag G A,点E为49中点，直线4G交平面COE于点F.（1）证明：点F为用G 中点；（2）若点M为棱4g上一点，且二面角M-C F-E的 余 弦 值 为 正，求 禁 的 值.3 A用【答案】（1）证明见解析；（2）整=；.【解析】【分析】（1）首先将平面C 0 E进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论
13、；（2）建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数2的值.【详解】（1）如图所示，取g G的中点尸，连结。E,E F,F C,由于A B C D Ag C为正方体，E,尸 为 中 点,故E F I I C O,从而E,尸,C,。四点共面，即平面C D E即平面C D E F,据此可得：直线4G交平面C D E 于点F ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，即点F 为 B 中点.（2）以点。为坐标原点，。4,。,。2方向分别为轴，轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系。-A，Z,不妨设正方体的棱长为2,设 第 =4（04/1 1）,则:M（2,
14、2 2,2）,C（0,2,0）,F（l,2,2）,E（l,0,2）,从而：A?C =（-2,2-2 2,-2）,C F =（l,O,2）,E =（O,-2,O）,设平面MCE的法向量为：机=（司,y,z j,则：fn-MC=-2%+（2 2/i）y 2Zl=0in C F=2 +2Z=0令 Z|=-1 可得：m =2,占7 1设平面C E E的法向量为：分=（%,%*2），则:n-F E =-2 y2=0n C F =x2+2Z2=0令 Z|=-l 可得：n=（2,0,-l）,【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的
15、计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将Z个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有1 00人，已知其中2人感染病毒.（1）若采用“1 0合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知1 0人分成一组，分1 0组，两名感染患者在同一组的概率为定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数丫 的期望为凤与，试比较E（X）和 凤丹的大小（直接写出结果）.【答案】
16、2 0次；分布列见解析；期 望 为 苦；E（y）E（X）.【解析】分析（1）由题设条件还原情境，即可得解；求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出（丫），即可得解.【详解】(1)对每组进行检测，需 要1 0次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需 要1 0次;所以总检测次数为2 0次；由题意，X可以取2 0,3 0,P=2 0)=(3 0)=1-=1 1 1 1则X的分布列:1 in 770所以 E(X)=2 0 x1T+3。汽=7 r(2)由题意，丫可以取2 5,3 0,两名感染者在同一组的概率为4 =20c04
17、 9 5,不在同一组的概率为片=皈则 中)=25*+30 x|=等E(X).3-2 r1 9.已 知 函 数=(1)若a =0,求y =/(x)在(1,7(1)处切线方程；(2)若函数/(x)在x =T处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】4 x +y-5 =0；函数“X)的增区间为(-8,-1)、(4,3)，单调递减区间为(一1,4),最大值为1，最小值为4【解析】【分析】(1)求出/(1)、/(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由/(-1)=()可求得实数。的值，然后利用导数分析函数/(x)的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当 a =0 时
18、，力=,则/，(*)=2。；3),=/=T,XX此时，曲线y =/(x)在点(1 J。)处的切线方程为y-l =T(x-l),即4 x +y-5 =0；因为x）=学，则 广。4-2-2心2（：3丁,x2+a（丁+a）（x2+）/、2（4-4）由题意可得/（T）=/八2=0,解得a =4,g+i）故 力=早=/（力=2（；号4）,列表如下:x2+4（犬 +日所以，函数/（力 的增区间为（一8,1）、（4,口），单调递减区间为（一1,4）.增极大值减极小值增3 3当x 0；当x时，/(x)b 0)过点 A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4 6./b2（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点尸
19、（0,-3）的直线/斜率为火，交椭圆E于不同的两点B,C,直线A B,A C交）=-3于点例、N,直线A C交尸-3于点N,若I P M+F N W 1 5,求 人 的取值范围.【答案】+-=1；（2）-3,-l）u（l,3 .5 4【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求力，从而可求椭圆的标准方程.（2）设8（西/）,。（泡,必），求出直线A B,A C的方程后可得M,N的横坐标，从而可得|PM|+|PN|,联立直线8C的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简1 PM i+|PN|,从而可求上的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过4（0,-2）,故8 =
20、2,因为四个顶点围成的四边形的面积为46，故gx 2 a x 2/?=4 6，即 =有，2 2故椭圆的标准方程为：二+匕=1.5 4（2）因为直线BC的斜率存在，故玉H0,故直线A 8:y =-x-2,令y =-3,则=-、，同理=-%乂 +2%+2直线 B C:y =b r-3,由 f 可得（4+5 火 之）/一3 0 依+2 5 =0 ,-4A:2+5/=2 0 、故A =9 0 0公 一1 0 0（4+5左2）。，解得上1或左 1.l 3 0 Z 2 5 八 一 八又玉+%2=厂,%2 =2 9故玉2，所以尤”乐又1 P M+|网=闻+/|=号+y十乙必十乙故5陶4 1 5即附4 3,综
21、上，一3左1或1 女4 3.2 1.定义 R p 数列。“：对实数 P，满足：4 +p 0,a2+p=0.VN*,%,T 4”；4”*“e am+an+p,am+a +p +l,m,n e N*.（1）对于前4项2,-2,0,1的数列，可以是R?数列吗？说明理由；（2）若 4是&数 列，求 为 的值；（3）是否存在p,使得存在（数列 4,对Vn wN*,S“S1o?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.【答案】（1）不可以是用数列；理由见解析；（2）%=1；（3）存在；P=2.【解析】【分析】（1）由题意考查出 的值即可说明数列不是&数列；（2）由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算
22、即可确定处 的值；（3）构造数列2=4+p,易知数列也 是&的，结合（2）中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数P 的值.【详解】(1)由性质结合题意可知0 =/e q +2 +2,1 +生+2+1 =2,3 ,矛盾，故前4项2,2,0,1的数列，不可能是A 2数列.(2)性质 4 0,a2=0,由性质a,“+2 +，因此%=4或%=4+1，4=0或4=1，若%=0，由性质可知见 4，即4 0或q+1 (),矛盾；若4=1,%=4+1，由/%有4+1 1，矛盾.因此只能是“4 =1,%=%又因为&=4 +a 3或4=4 +/+1所以q =；或4 =0.1右 =/则4=4+w q +4 +0,
23、4 +q +0+l =2 q,2 q +1 =1 1,2 ,不满足q=0，舍去.当4=0,则4 前四项为:0,0,0,1,下 面 用 纳 法 证 明=。=1,2,3),包“+4 =+1(G N)：当=0时，经验证命题成立，假设当依攵2 0)时命题成立，当 =%+1时：若i =1,则a*=g*+5 =%+(4*+5-力，利用性质：+a4 k+5_j j eN*,l j 4 k+4 =k,k+i,此时可得：a4 k+5=k +l；否则，若。4*+5 =k,取2 =0可得：%=0，而由性质可得：a5=a+a4 G1,2,与。5=0矛盾.同理可得：为+a4 A+6_/e N*,1 W/W 4左 +5
24、=伙，左 +1 ,有a4 k+(t=k +l；+%*+8 J /e N*,2 W/W 4%+6=伙+1,左 +2 ,有 a4 k+s=左 +2 ；%+%&+7-/%*,1/4攵 +6=伙+1 ,又因为 4 +7 。4*+8，有 a4 K+7=卜 +1.即当”=左+1时命题成立，证毕.综上可得：%=。，%=%1+1=1.(3)令2=+，由性质可知：m,n&Nh,u+n=am+n+p&an)+p+an+p,am+p+an+p+bm+hn,bm+2+1 ,由于4=q +p 2 0,4=4 +=。也,i=+0 ,S9-S 0 =4 o =%X2+2=(2 p)N，因此=2,此时a”火，吗()0(J1 1),满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.