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1、第7章 三 角 函 数第 03讲 三角函数的图象和性质号目标导航课程标准重难点理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法：描点法、儿何法、五点法，体 会 用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象.理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期.理解正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性、最大值与最小值的概念.会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值.册:知识精讲一、正弦函数图象1 .正弦函数的图象2 .正弦函数图象的画法(一)几何法：(1)利 用 画出v=s i n x,xW
2、0,2 兀 的图象；(2)将图象向 平行移动(每次2 n 个单位长度).(二)五点法：TT_ STT(1)五个关键点：，(2,1),(,-1),2-2(2)画出正弦曲线在 0,2 2上的图象的五个关键点，用光滑的曲线连接;(3)将所得图象一平行移动(每次2 n 个单位长度).二、余弦函数图象1.余弦函数的图象2.余弦函数图象的画法(1)要得到片cosx的图象，只需把片sinx的图象向 单 位 长 度 即 可，这是由于cosx二 .五 个 关 键 点：,(-，0),(,0),2 2-(3)用“五点法”：画余弦曲线*cos x在 0,2记上的图象时，选取五个关键点，分别为再用光滑的曲线连接.三、正
3、切函数图象四、正余弦函数的性质1.周期函数(1)对 于 函 数/(x),如果存在一个,使 得 当x取定义域内的_值时，都有,那么函数/(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的 所 有 周 期 中 存 在 一 个,那么这个最小正数就叫做/(x)的最小正周期.(3)正弦函数片sinx(x C R)和余弦函数片cosx(xR)都是周期函数，最 小 正 周 期 为,2kn e Z且 心0)是它们的周期.2.正弦函数、余弦函数的性质函数y=sin xy=cos x定义域R值域A图象3b2 y_ ITIT23irT.y匹 V奇偶性 函 数函数周期性最小正周期：7=_单调性在
4、（k W Z）上递增；在 （k w z）上递减在（k e z）上递增；在（fcez）上递减最值当 乂:时，ymi n=1;当 X=时，ymax=l当 乂=时，y m i n=-1；当X二 时,ym ax=l对称轴x=+k n,kGZ2x=kn,k Z对称中心(kn,0),k G Z71(一+k n,0),k ez2五、正切函数的性质定义域值域奇偶性 函 数单调性在_上单调递增周期性最小正周期为丁=豆_对称性对称中心六、函数y =A s i n（0 x+）的图象1.3对丫=5 访（x+（p）,xGR的图象的影响y=s i n （x+p）（0 时）或向_ （当3 0）对片s i n（3 x+x+w
5、）的图象，可以看作是把片s i n （x+1 时）或_（当 0 3 0）对=4 5 而（3 x+1时)或 缩短(当0 4(,-1),(K,0)；4 2 41兀 3 7 13.分 别 令 士x等 于()、上、兀、,2兀 可 得 函 数y =s i n2 x图 象 上 点 的 坐 标：2 2 2(0,0),(7 1,1),(2 7 1,0),(3兀，-1),(4兀,0)；4.y=sinx图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;，得到y=sin2x的图象：y=sinx图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin g x的图象；5.可以，把 =5E2彳的图象伸长为原来的4倍，得到y=
6、sin g x的图象.：%.、运魏。.运.。培,盘露 .富蓼 彝 鬃一、正弦线左、向 右(0,0)(4)(兀，0)(2n,0)向左、向右二、左移生个sin(x+)(0,1)(兀,-1)(2n,1)2 2三、1.非零常数7，每一个，f(x+n =/(x),非零常数丁，最小的正数，2兀jr jr2.1,1 奇 偶 2J T-&2k兀,2 2jr 37c T C+2k兀,+2k/r(1 2)7t+2kjr,2左4(1 3)2左 乃,2kr+(14)-+G Z)7 T(1 5)+2ki(k G Z)(10(2k+1)兀(k w Z)(1 7)2k/r(k G Z)五、xxe R且X W&乃+,氏 Z：
7、,(-oo,+oo)奇 也乃_,b r+$(%Z)m t(,0)a e Z)2六、左 右|财 缩短 伸 长 ,不变伸长 4一4 A 一A(0考法01 正弦函数、余弦函数的图象1.图中的曲线对应的函数解析式是()A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=sin-1 x|D.y=-|sin x|【思路分析】y轴右侧的图象与y=sinx关于X轴对称 所以为y=sinx的一部分T整个图象关于y轴对称，则函数为偶函数，则应为y=-sin|x|【答案】C【解析】考虑取特殊值.2.丁 =1+5山羽兀0,2句的图象与=的交点的个数是.【思路分析】-作-出-的-图-象-y-=-s-i-n-x-t-平-移-
8、得-到-的-图-象-y-=-l-+-s-i-n-x-,-x-c-0-,-2-兀-作-出-直-底-|y 二3【答案】2【解析】由y=sinx的图象向上平移1个单位，得y=l+sinx,%0,2句 的 图象，故与y=,交点的个数是2个.1 JI【跟踪训练】L利 用“五点法”画出函数/(x)=y=sin(1 x+7)在长度为一个周期的闭区间的简图.2 6【思路分析】先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法 画出函数y=sin(gx+三)在长度为一个周期的闭区间的简图；【解析】先列表，后描点并画图1 7Vx+2 63冗T2不X-8兀T1Uy10102.作出函数丁=J1-cos?。的图象.【
9、思路分析】要善于利用函数y=/(x)的图象来作y=(x)|及y=/(|x|)的图象.解析】将 y=V l-cos2 x 化为 y=|sinx|,因为 y =|s i n x|=s i nx Q k冗 x 2 左+4）-s i nx Q k兀+7r x 2k1+2 万）,（攵 z）（攵 Z）所以作出y =c os?x的图象如下图所示.3.用五点法画出下列函数的图象:(1)y =2-s i nx,x e 0,2%；(2)y =g +s i nx,x e 0,2 万.【思路分析】按列表、描点、连线的步骤作图象，抓住关键点，另外注意曲线凹凸的方向.【解析】按五个关键点列表如下:X07 12兀3 n22
10、 兀y =2-s i nx212321y =+s i n x222322 _2222在直角坐标系中描出这五个点，再用平滑曲线将它们连接起来，即得到图象.(1)作出y =2-s i nx,x e 0,2 兀 的图象，如下图.（2）作出y =J+s i nx,x e 0,2 j i 的图象，如下图.，|y=+s i n X,X 0,2TT2-Zi 不x与 二:一二一一上空一二一0 O.i r x-1 2考法0 2 正切函数图象正切函数的图象【说明】除利用正切线画函数），=1 2 1!双 *仄+3水2）的图象外，还可以利用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里的三点的坐标分别为（0,0）,（四
11、,1）,（-四,-1）,两线是直线犬=。和 X=-三，根据这三4 4 2 2点和两条直线，便可以得到函数y =t a nx（x k7i+,k e Z）在一个周期上的简图.画出y =t a nx,x e（的图象后，再把图象向左、向右平行移动（每次移动兀个单位长度），就可得到y =t a nx,x R,x w T +E,&Z的图象.正切函数的图象叫做正切曲线.利用图象求函数y =Jt a nx-G的定义域.【思路分析】根据题意列出不等式，然后画出函数丫=出乂工工布计二（A wZ）的简图，再根据图象找出不等式的解集.【解析】要使函数 =向 二 耳 有 意义,则 t a nx-7 5 .0,得 t a
12、 nx.V5.如图，利用函数y =l a nx 的图象可知,所求定义域为尹呜+可 八 八【解题技巧】先在一个周期内得出X的取值范围，然后加周期即可，亦可利用单位圆求解.【跟踪训练】画出函数y=|t a nx|的简图，并根据图象写出其周期和单调区间.【思路分析】），4 t a nx|可写成分段函数的形式.【解 析】|t a n x(t a n x.0),y =|l a n x|=I-t a n x(t a nx 0,列出不等式组，可借助单位圆或正弦函数、余弦s i nx函数的图象求解.【解析】为使函数有意义，需满足l og,1 0s m xs i n x 0即.1s i nx 0正弦函数或单位圆
13、如图所示,5万.二 定义域 为 卜 1 2 人 乃 x 2 左乃+看，&Z卜 卜 1 2 氏+V4 工.6【名师点评】（1）求函数的定义域通常是解不等式组，利 用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.（2）求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围.【跟踪训练】求下列函数的
14、值域：(1)y=|sin%|+sin%;；(2)y=2 sin(2 x+),XG-,；3 6 6【思路分析】本题主要考查三角函数的单调性及值域的求法.（1）可以利用|sinx|l与|c osx|K l求解；（2）n注意确定2 x+2 的范围，利用单调性确定值域.32 sinx(sinx 0)0(sin x 0)【解析】(1):y=|sinx|+sinx=又:l s i n x l,0,2 ,即函数的值域为 0,2 .(2)66：.0 2x+-.3 37 T 0 4 sin(2 x+)4 1,.,.0 2 sin(2 x+y)2,0 y 兀 将各点的纵坐标伸长为原来的3倍、y=sin(2x-)-
15、Ty=3 sin(2 x-?.将各点的横坐标缩短为原来的1 倍解法二：y=sin x-)向右平移四个单位长度y=sin 2 x-y=sin 2(x-)6将各点的纵坐标伸长为原来的3倍、兀-y=3sin 2(x-)=3sin(2x-).【点评】(1)本题用了由函数y=sinx,xw R 的图象变换到函数y=Asin()x+),x e R 的图象的两种方法.第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换.在先进行周期变换时，要注意下一步的变换平移的长度.(2)若此问题改为“如何由y=3sin(2x 1)的图象得到函数y=sinx的图象”.请同学们自己叙述一下变换过程.【跟踪训练】将函数y=
16、sinx依次进行怎样的变换可得到y=；sin(2x+)+l 的图象？【思路分析】先相位变换，再周期变换，再振幅变换，最后平移即可.【解析】将函数 =4值 的图象向左平移/个 单位，得函数y=sin(x+盘)的图象；将所得丫=5 m 1+,)图象上各点横坐标缩短到原来的g 倍(纵坐标不变),得至1 了 =$出(2+乙)的图象；将所得 下 山(2%+右图象上各点纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变)，得到y s i n(2 x+f)的图象；将所得图象向上平移1 个单位长度，得到y =g s i n(2 x +含+1 的图象.考法0 7根据图象确定函数的解析式己知函数y =As i n(z x +0)
17、(其中A 0,0 0 ,|同 0,a 0 ,|夕|0 ,a）0）的图象可看作把y=Asin（zr+e）（其中A 0 ,公0）的图象向上（3 0）或向下（3 0）平移|3|个单位得到的.由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期.先求A,B,再求啰，最后求【解析】由己知条件，知一个周期内的图象上 有 =3,用油=-5,则_ymin)=4,8=；()皿 +ymin)=_ l，T 7 1 _7l?-112-1 2-2，即丁 =兀.T 27r L (0：co=2.:.y=4sin(2x+-1 .点 哈,3)在函数的图象上，7 T*.3=4sin(2x在+0)-1,JT即 si
18、n(+夕)=1.兀 11x+8)性质的应用已知函数/（x）=Asin（tyx+0）,x e R （其中 A 0,co0,0 （p 0,co 0,0 。0,所以4+A=2,解得A =I,又其图象相邻两对称轴间的距离为2,口0,所以L =2,2 co解得=四，2J T所以 f(x)=1-c o s(X+(p).因为y =/(x)的图象过点(1,2),所以 c o s(+8)=-1，兀故+6 9=2kK+兀,左 Z ,2即0=2 E +T,A w Z ,又00)在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x理，则。故选：B.的值不可能是（）175A.-B.-C 1 D.-333【答案】B3开 ,71,
19、C D =k7T-，攵 Z,2,1 ,.2 2co k H ,k G Z,15【解析】由题意得：，V3 3 0口=不1,彳71 兀3 30 见 2,、4 2a）TT2.已知函数/(x)=2 si n(2 x +-),贝ij()6A./（X）的最小正周期为B.“X）的图象可以由函数g（x）=2 si n2 x向左平移5个单位得到C./（力的图象关于直线x =-5对称rr J jrD./（x）的单调递增区间为伙+=版+（Z:e Z）6 3【答案】B【解析】对于A：/（X）的最小正周期为：T =万，故A不正确；对 于B：由函数g（x）=2 si n2 x向左平移三个单位得到y =2 si n2 x
20、+=2 si n(2 x +故B正确;j r rr jr K TT 7T K 7T 7T I对于C：令2 x+=+br,解得：%=-+,若+L =2，得：左=一上，而Z eZ,矛盾，故C6 2 6 2 6 2 1 2 2不正确；对于D：令一工+2版 2 x +工 生+2&万，解得：一二+b r x 4 2+A万，故/（x）的单调递增区间为2 6 2 3 6T T 7 Tk7i,kjr+（k Z）.故 B 正确.3 6TT3,函数V=t an（3 x+二）的一个对称中心是（）6A.(0,0)4万C.(-9 0)9B.（3,0）oD.以上选项都不对【答案】Ck冗【解析 因为正切函数，=12似 图象
21、的对称中心是（彳，0）,kGZ；.兀 k兀 k.K n令 3x+=-,解得尤=-,kGZ；6 2 6 18所以函数64211（3*+2）的图象的对称中心为（竺 一 工，0）,kGZ；6 6 18当 k=3时,C正确,故选：C.4.要得到函数），=5布 氏+7）的图象,可以将函数y=sin x的图象上各点（）A.纵坐标不变，横坐标变成原来的2 倍，然后再向左平移B 个单位长度B.纵坐标不变，横坐标变成原来的2 倍，然后再向左平移专个单位长度1J TC.纵坐标不变，横坐标变成原来的：，然后再向左平移3 个单位长度2 617 FD.纵坐标不变，横坐标变成原来的g,然后再向左平移二个单位长度2 12【
22、答案】D 解析由y=sinx将各点横坐标变成原来的y得到y=sin 2 x.再向左平 移 刍 个单位长度变换得到y=sin2 x+二=sin（2呜）故选：D.5.点尸 一看,3）是函数/（x）=s in x+）+/n Cco0,|0，网 会 的图象的一个对称中心,所以加二3，k e Z,71又因为点P到该图象的对称轴的距离的最小值为“T 1 2%7t所以一=-=4 4 69 4所以7=兀，a）=2.71所以 O =+k e Z,71又因为|夕|耳，所以9=0,/(-V)=si n故A,B,C错误,、n JI JI又x w -w，。，2 x +,所以/（x）在 一 -,0匕单调递增，故D i E
23、确，故选：D.B,4兀,2，4D.2兀，2,-46.函 数 x）=-2 cos；x+；J的周期、振幅.初相分别是（）71 71 7TA.-9 2,一4 4C.4兀 2,一4【答案】C【解析】由/（x）=-2 cos（g x+：）,./2 27 rzi iLjr则 一 口 一 ！一 ，振幅为2，271 兀当x =O时，（p =-,即初相为一.故选：c4 47.若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数 =&C O S（5 +?）的 图 像（）T T 7TA.向左平移了个单位长度 B.向左平移7个单位长度4 2TTTTc.向右平移一个单位长度 D.向右平移二个单位长度4 2【答案】B【解析】对
24、于A,得到的函数为y =0 c o s*+()+(=岳o s(,K),不是奇函数，图象关于原点不对称，A错误；对 于B,得到的函数为y =J 5cos L(x+工)+M =J cos(+M)=-0 s i n 2,是奇函数，图象关于原2 2 4 2 2 2点对称，B正确；对于C,得到的函数为y =J 5cos L(x%)+色=J 5cos(+】)，不是奇函数，图象关于原点不对称，2 4 4 2 8C错误；对 于D,得到的函数为y =J 5cos(x X)+!=&c o s,不是奇函数，图象关于原点不对称，D错 2 2 4 2误；故选：B8.函数/(x)=cos(。0)在 区 间 内 单 调 递
25、 减，则。的最大值为()1A.2【答案】B 乃 2 1 、冗(0 式，71,2兀C D 71【解析】V X G ,则-CDX-,_ 3 3 J 3 6 6 3 64 2 7r 7L(JD TC 27coy 7 T因为函数/(x)在 区 间 内 单 调 递 减,则;-7 1 1 2左肛2左 乃+(&Z),3 3 3 6 3 6所以，兀兀、C1不一02k兀2；兀,解得6%+W 3 Z +(左e Z),-2k7T+7T I 3 61 7 5tii6k+-0,则A=0,-(y 0,函数/（x）=-Jsin 0,取 k=0,6 6（0 C DTT TT!0 R|J co.故选：BCD6co 2 33.分
26、别对函数y=sin x 的图象进行如下变换：先向左平移。个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来2 倍，得到），=/（x）的图象;先将其上各点的横坐标变为原来的2 倍，然后向左平移（个单位长度，得到y =g（x）的图象,以下结论正确的是（）A.X）=g（X）B.4为/（X）图象的一个对称中心I 3 74 万c.直线=-才 为 函 数 g（x）图象的一条对称轴D./（X）的图象向右平移三个单位长度可得g（x）的图象【答案】B C D【解析】二小!*向左平移？个单位长度可得=5 抽（+3）；再将横坐标变为原来2倍，得到1 71/(x)=s i n|x+2 31jr y =s i nx横坐标变为原
27、来2倍可得y =s i n X；再向左平移5 个单位长度，得到1 7t 2X+-6 /g(x)=s i ；71X +I 3=s i n对于A,两函数解析式不同，A错误;对于B,W 44L 1 兀 ,当/=时，一元+一=万且/3 2 347 r。，是/（x）的一个对称中心，B正确;对于C,4力 1 7c 7L 47 r /.x=不时，7工+工=彳，,，x 丁 z ts g(x)的条对称轴，C正确;3 2 6 2 3对 于 D,f（x）的图象向右平移1 个单位长度得:x-3 J=s i n、713X-J-713 J1 71-X H-2 6=g（x）,D 正确；故选：B C D.4.写出一个值域为
28、L 2 的周期函数/（力=.（不能用分段函数形式）I 3【答案】/（力=卜由才+1 或 x）=S i n x+：（答案不唯一）【解析】由所给的值域为 1,2 ,且为周期函数,i3写出一个即可，例如/（力=卜山可+1,或者/（x）=2 s i nx+5.故答案为：/（力=卜吊乂+1或/（x）=S i nx+55 .若函数/（x）=s i n 2 x+|”0,展 的 图 象 与 直 线y=a有交点，则实数a的取值范围是【答案】冬1I j r j r【解析】对于/(x)=s i n 2 x+J,xw 0,当 X E c，7 3冗7 时，2-元 +;71 71 7t1 2 3 3 2所以/（%）=5皿
29、（2%+?）在xe 0,-j 上单调递增，且 值 域 为-y,l/j r j r要使函数x）=s i n 2 x+J,xe 0,的图象与直线y=o有交点,只需ae.故答案为：g，l2 26 .已知函数/(x)=0 s i n(2 x+；.川1 -O H X（1）用“五点法”作出X）在 （）,可上的简图.（2）由图象写出/（X）在 0,可上的单调区间.兀 5兀 兀5兀【答案】（1）答案见解析；（2）单调增区间：0,-,n,单调减区间：_ O J|_ O J|_ O O【解析】（1）列表：X07 C83兀V5兀V7兀T兀-兀2 x 447 C47 C27 13兀T2兀9KTy1V 21-72172
30、JT 5 7 1 7 T 5 兀单调增区间：o,-,二 丁,n,单调减区间：三，二 丁 .7.已知函数./（%）=5皿（5 +030,网 乃）图象经过点（看,-1）,（卷，1），且 在 区 间 隹，胃 上单调递增.（1）求函数/（X）的解析式；7T（2）当X G ,71时，求/（X）的值域.6I 7T 74 71 71【解析】（1）由题意知一7 =.,故口=2,2 口 1 2 1 2 2217 r ,k e Z、即夕=h2kji2713k e Z,因为时 Q,0 0,同4、)的部分图象.(1)求函数/(工)的表达式;(2)若函数f(x)满足方程/(x)=a(0 )、兀 兀 r-1 17 1又由
31、图可知：/(6 3)：J即八 不)=一1，77r 77r所以sin(2*五+啰)=一1,所以sin(*-+o)=-l,7zr 37r所以+。=2%4+，keZ,6 2冗所以少=2k兀H ,k e Z,3rr TT因为|夕区5，所以刃=1,71/(x)=sin 2x+I.3(2)因为/(x)=s i n(2 x+W的周期为兀，/(x)=5也2+1)在(),2可 内恰有2个周期.当04 曰时，方程s i n(2 x+?=a在 0,2句内有4个实根，设为玉、马、工3、1 4，当a =时，方程s i n(2 x+1)=。在 0,2兀 内有5个实根为0 ,兀，,2兀,1 3兀故所有实数根之和为 亍:吟
32、1 时，方程s i n 2 x+=。在 0,2可 内有4个实根,设为玉、%、3、1.r i-1.兀 1 3 7 r结合图象知X +入 2 =:，工 3 +工 4=,，6 67 兀故所有实数根之和为一；3综上：当0a立 时，方程5 也(2%+?=。所有实数根之和为 学;2 13；3当日。0,7 为 f(x)的零点，且/(X),/-恒成立,2 4 J T J T A/(X)在 区 间 一 丁，二上有最小值无最大值，则 0的最大值是_ _ _ _ _ _ _ 1 2 2 4)【答案】1 5【解析】由题意知函数/(x)=s i n(fy x+e)(a O，M ),x=?为 y=/(x)图象的对称轴，8
33、 =为/(x)的零点，.1 2 +1 .=.,nG Z,a)2n+l.4 co 2TT 7T 1 f(x)在 区 间 一；7，;上有最小值无最大值，_ 1 2 2 4；.TV 7T 7T e,2 7V周 期 於(-1-),即-2 ,3 41 6.2 4 1 2 8 co 8，要求s的最大值，结合选项，先检验3=1 5,冗 冗 兀当 3=1 5 时，由题意可得-xl5+(p=kn,(p=-,函数为 y=/(x)=s i n(1 5 x-),4 4 4jr T T A TC 37r 37r TC在 区 间 一二，二匕 15X-GI-,),此时/(x)在=一 工 时 取得最小值，L 1 2 24)4
34、 2 8 1 2=3=1 5 满足题意.则3的最大值为1 5.故答案为：1 5.2 乃y2.函数/(X)=C O S()(XZ)的值域有6 个实数组成，则 非 零 整 数 的 值 是.n【答案 1(),1 1T=-=1 7 2 I【解析】由题设知：/(X)的最小正周期为 1 2乃1 I I又XZ,I In为非零整数，在 0,四 上f(x)的值域有6个实数组成，即F(x)的图象在以上区间内为6个离散点，2且各点横坐标为整数，当为偶数，有=5,即=1 0；2当为奇数，有5 回6,即=1 1；故答案为：1 0,1 123.函数/(x)是定义域为R的奇函数，满足/g-x =/(g +x,且当x引0,万
35、)时，/(x)=l-l2 J l2 J X-7tx+n给出下列四个结论：/U)=0 ；万是函数/(幻的周期；函数/Xx)在区间(-1,1)上单调递增；函数g(x)=/(x)-s i n 1(%e -1 0,1 0 )所有零点之和为3万.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】对于：由=可得/(万)=/(0)=拶=0,故正确；对 于 ：由/(1一 工 卜/仁+工)可得f(x)关于直线x g对称，因为/(X)是定义域为R的奇函数，所以 万+X)=T)=-/(X)所以/(2%+x)=-/(x+%)=/(x),所以函数f(x)的周期为2，故 不 正 确；对 于 ：当0 x o,(、2 2
36、y=X2 7 L X +7l=X+7T-在 0 VX V 1 单调递减，且 丁 1一 +=1 I 2；4c in Y所以y(x)=-在0 X 0,0 0.则关于t的二次方程2产一力1 =0必有两不等实根 J 2,则仙2=一g，小G异号.当0/1且0 团 1时，则方程s in x =%和s in x i 在区间(0,)(e N*)均有偶数个根，从而方程2 4高 一 加11%1=0在(0,/团(川)也 有 偶 数 个 根，不合题意；当 乙=1,则，2=g，此时4 =1,当x e(0,2万)时,s in x =4只有一根，s in x =H有两根,所以，关于的方程2 s in 2 x-A s in
37、x-1=0在(0,2。)上有三个根,由于 2021=3 x 673+2,则方程 2 s in2%-A s in x 1=0 在（0/3 4 6万）上有 3 x 6 7 3 =2 019 个根，由于方程s in x =:在区间（13 4 6万,13 4 7万）上只有一个根，在区间（13 4 7万,13 4 8万）上无实解，方程s im:=与在区间（13 4 6 ,13 4 7万）上无实数解，在区间（13 4 7万,13 4 8万）上有两个根，因此，关于X的方程2 s in?x X s in x 1 =0在区间（0,13 4 7%）上有2 02 0个根，在区间（0,13 4 8万）上有2 02 2
38、个根，不合题意；当 彳=一1时，则弓=；，此时几=-1，当xw（0,2）时，s in x =f 只有一根，s in x =f 2有两根，所以，关于x的方程Z s i/x /l s in x l =0在（，?）上有三个根，由于 2 02 1=3 x 6 7 3+2,则方程 2 s in 2 x-/l s in x 1 =0 在（0,13 4 6%）上有 3 x 6 7 3 =2 019 个根，由于方程s in x =：在区间（13 4 6万,13 4 7万）上无实数根，在区间（13 4 7万,13 4 8万）上只有一个实数根，方程国1 =12在区间（13 4 6况13 4 7万）上有两个实数解，
39、在区间（13 4 7万,13 4 8万）上一无实数解，因此，关于x的方程Z s i/x-z l s in x-1=0在区间（0/3 4 7乃）上有2 02 1个根，满足题意.若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于。且小于1,有偶数个根，不合题意；综上所述：2 =-1,“=13 4 7.5.已知函数x）=2 s in（s +（00,网乃），“X）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差*（1）“X）的一条对称轴1=一（且/仁 /；冗 A jr 2 7 r,0 L且 在 上 单 调 递 减；/（X）向左平移a个单位得到的图象关于）轴对称且/（0）0从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后
40、确定函数的解析式;(2)在(1)的情况下，令/?(x)=g/(x)-c o s 2 x,=若存在x e *三 使得g 2(x)+(2-a)g(x)+3 a W O成立，求实数”的取值范围.【解析】(1)由题意可知，函数“X)的最小正周期为T =2 x =7r,.j=爷=2.选 ，因为函数/(x)的一条对称轴x =_?,则2x 1_q)+e=+版(e Z),7万解得夕=+k7i(k G Z),6Q M%,所以，8的可能取值为 多、?6 6若夕=_ 葛，则/(尤)=2s i n(2_r _5 4)6)则/闺=2s i n 罔=一2 4 1),合乎题意.所以，/(x)=2s i n(2%+-选 ，因
41、为函数f(x)的一个对称中心(1,0)5 7r,则 2x五+=kTik G Z),解得0=%乃-(k e Z),6Q刨，所以，。的可能取值为一 包、J6 6若L系,则“x)=2 sin 0T),当T点 图 时,2A*此时，函数/(可 在 区 间,早 上单调递增，不合乎题意；Z(P=二,则/(x)=26s i n12x +看当x e71 2万6,时,c ,5 72x 4-e67134T此时，函数/（X）在区间 p y 上单调递减，合乎题意:所以，/(x)=2sin+：选 ，将函数/（x）向左平移弓个单位得到的图象关于y轴对称,冗 所得函数为y=2sin 2尤+一k 6 7+0=2sin(2x+y
42、+9 1,由于函数y=20也2工+?+夕）的图象关于轴对称，可得0+e =+k7rk e Z),解得 =工+2左(4 e Z),6Q H 所以，夕的可能取值为一 当、6 6兀3若9=_ 詈，则/(x)=2sin(2x-546,/(0)=2sin54=-1,不合乎题总；71n-=l,合乎题意.6若夕=2，则/(x)=2sin12x+tJ ,/(0)=2si6所以，/(x)=2sin(2x+D（2）由（1）可知,所以,/?(%)=/(%)-cos 2x=sin f 2x+-cos 2x=sin 2x+cos 2x-cos 2x2 6y 2 271、sin 2x cos 2x=sin I 2x，26
43、7兀兀、门d Tn兀n当XW 时，0W2X一一-12 3 6 2-,.-.0/?(%)1,所以,TC _,/冗 _ 冗 2/?(x)2,6 6 6所以，=sin 2/?(x)-6e-2,sin(2一三I 6 j，g(x)+le1 ,|7 1o71,1+sm 2-2 I 6、677 1 _ 2)71 _ 71 71,.5/3*/一 2 ,2-一,贝U 2 3 3 6 2 2/、sin 2-g(x)+lg(x)+l=g(8+看由基本不等式可得g(x)+1+肃1T2 2 M x)+1肃荷=2V2,、1 (X当且仅当g(x)+l=0 e -,1+sin 2-时，等号成立，所以,2(2V2.676.已知
44、函数/(x)=&sin(0 x+*)+2sin2丝 詈 -1(0 0,0。兀)为奇函数，且/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为巴.2(1)求/(x)的解析式.(2)求(x)=/(x)+sinx+cosx 的最大值.(3)将函数/(X)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的g (纵坐标变)，得到函数6 2y=g(x)的图象，当时，求函数g(x)的值域.12 64 7 F 47r 对 于 第 问 中 的 函 数g(x),记方程8 3 =；在 代?,9 上的根从小到依次为芭，x2,%,3 6 3试确定的值，并求不+2七+2x_,+x”的值.【解析】(1)由题意，函数/0)=百5皿 的+9)
45、+2$由：丝 詈 卜1=上 sin(tyx+(p)cos(ft?x+0)=2 sin(yx+(p-6因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为y ,所以T=%，可得=2，又由函数/(x)为奇函数，可得/(0)=2sin(-)=0,所以。=k/i,keZ,6T T因为08兀，所以9 二 一，6所以函数/(x)=2sin 2尢.(2)h(x)=/(x)4-sinx+cosx=2sin2x4-sinA：4-cosx,f=sinx+cosx=J5sin(x+)-0,夜 ,4则r=l+2sinxcosx，所以 y=2广 +r2,t G 5/2,5/25,因为对称轴f=-L,4所以当y加时，、=2+&，
46、即 的 最 大 值 为2+垃.(3)将函数/(X)的图象向右平移2个单位长度，可得y=2sin(2x )的图象,6 31jr再把横坐标缩小为原来的;，得到函数y=g(x)=2sin(4尤-不)的图象，2 3当XW-刍 勺 时,以-白 -？白,12 6 3 3 37T TT当4 x-=-5时，函数g(x)取得最小值，最小值为 2，当41 f =f时，函数8。)取得最大值，最小值为百，故函数g(x)的值域-2,6 .4 71 4 7t 2(4)由方程g(x)=Q,即2sin(4x-)=-,即sin(4x-一)=一，3 3 3 3 3因为x e g，”，可得4 x-e g,5乃,6 3 3 3设6=4尤,其中 四,5幻,即sin6=,3 3 3结合正弦函数y=sin。的图象，如图27T可彳/方.程6巾=3 司,5 仃5个 饵,即=5.其中 a+a =3乃,仇+a=54,q+a=7匹 a+q =9 乃，71717 C解得Xj+x271 17 23 万 29 万,x2+x3-,x3+x4=,x4+x5=i r所以 X i+2X2+2七 H-F2X4+X5=(X +x2)+(x2+%,)+(%3+x4)+(x4+x5)=20%3