《2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型(解析版).pdf（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型三 目标导航空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离.专,高频考点*餐;知 识梳理知 识 点1空 间 中 距 离 的 定 义 及 分 类1、定义(1)点到点的距离，是指两点之间线段的长度.(2)点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度.(3)两条平行直线
2、之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度.(4)点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度.(5)相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度.(6)两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度.(7)异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度.注：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离2、分 类 情 况(1)点到点的距离；
3、(2)点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离；(3)点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离；(4)异面直线之间的距离.知识点2 利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法(1)点到点的距离方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离具体步骤：确定点A为起点，点B为终点，得出向量A月；计 算|万|；距 离d=|而|(2)点到直线的距离方 法1：过点P向直线/作垂线，垂足为点Q,计算|可|即为点P到直线/的距离具体步骤：在直线上作点Q,使得P Q _ L/；作 出 可；计 算|而|；距离d=|
4、可|P-3-/_ _ _。方法2：作直线上的一个方向向量A8,计算A P在方向向量A8上的投影，在通过勾股定理计算出P。的长度，即为点P到直线/的距离具体步骤：在直线上取定两点A,B,得出向量A，A P；计 算AP在A8上的投影:；利用勾股定理计算I P Q I；距离d=|P Q|方法：如图，在平面内取点A得出向量 而，计算平面的一个法向量，再计算 而在上的投影的绝对值，即为点到平面的距离具体步骤：在平面内取点A的 出 向 量 而；利用平面内两条相交直线的方向向量,A P -A R A P-AR计算出平面的一个法向量；计算而在上的投影 一 ；d _|AB|IAB|(4)异面直线之间的距离如图，
5、设 是 异 面 直 线，是4,4 的公垂线段A 8 的方向向量，又 C,。分别是4 4 上的任意两点，则 而在 上投影的绝对值即为4到L之间的距离.具体步骤：在直线4 上取点A,c,在 直 线 上 取 点 B,D:通 过/和 B5 计算公垂线段的方向向量”；计 算 而 在 上 的 投 影 包?；=|也|n|n|注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式1=应回，其中两点A,B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）.考点精析考点一点到点的距离【例 1-1
6、】如图，正方体A 8C 0-A 耳G A 的棱长为1,是 棱 AA的中点，。是 BR 的中点.求证：QM分别与异面直线AA，8 垂直，并 求 的 长.如图建立空间直角坐标系,则 4 看,M(1,0,1),4 L 0,0),A(1.0,1),8(1,1,0),D(0,0,1),1 1 -所以OM=(5，-/,0),胴=(0,0,l),B A =(T,T，1),因 为 丽 丽=0,西 西=0,所以 OM _L M,O MIOM|=J(；)?+(-；)2=与【例1-2】如图，正方体ABC。-A B C R的棱长等于4,点E是棱。的中点.求直线A E与直线8 c所成的角余弦值;(2)若底面A8C。上的
7、点P满足PR _L平面A E G，求线段。P的长度.【解析】如图以0为坐标原点，以D4,OC,O4为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,所以 平=(-4。-2),鸵=(-4,0,T),则 4(4,0,4),E(),0,2),B,(4,4,4),C(0,4,0),设直线AE与直线4 c所成的角为e,e（0,/,则 c o s 0=1 M gIAEHBQI2 4 3M2&4 0-1 0（2）假设在底面A B C 上存在点P,使得P R 1平面A g,设P（a,b,0）,因为 G（0,4,4）,R（0,0,4）,所 以 而 =(4,0),尾=(0,4,2),麻=(4 4-9,由“户 L而;，入户工反；
8、,得，印.石=0,印.函=0,-4a+4b=0/、即/Q八，解得a=2,力=2,即P 2,2,0，46-8 =。所 以 加=（2,2,0）,|D P|=V 22+22+02=2,故线段OP的长度为2立.考点二点到直线的距离【例2-1】在空间直角坐标系中，点4（1,2,0）,8（0,1,0）,P（2,2,2）,贝1 1 p到直线A B的距离为.【解析】依题意 得 而=（T，-L 0）,丽=。,0,2）则P到直线A B的距离为d=A P故答案为：当变 式1：已知在正方体A B C。-ASG。中，棱长为2,E为B用的中点.则点E到直线AR的距离为【解析】如图，建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0)
9、,0,(0,0,2),(2,2,1),故 A、=(-2,0,2),A%=(0,2,1)，_ AD AE 2 V10|AD,-AE 显忑 10sin ZD,/IE=71-cos2 ZDtAE=,点 E 到直线A R 的距离为|A%|-sin NA E=乎.故答案为：我2变 式 2：如图，在四棱锥P-A B CD 中，底面A8C 为矩形，侧 棱 底 面 ABC。，AB=6 BC=,PA=2,E 为 PD的中点.(1)求异面直线AC与所间的夹角的余弦值：(2)在侧面孙8 找一点N,找 NE_L平面P A C,并求出N 到 4 C 的距离.【解析】(1)分别以4 为原点，AB,AD,AP为 x、y、w
10、建立空间直角坐标系.可得 8(6,0,0),C(A l,O),0(0,1,0),m O,2),从 而 抚=(3 1,0),而=(退,0,-2),设 衣 与 方 的 夹角为。，有：c AC P B 3 3将 T1s8 s 6 =阿丽=3=1所以异面直线AC与 0B间的夹角的余弦值为箸(2)由于N 点在面R 记中，故设其坐标为N(x,0,z).则 诋=(-x,g,l-z).由 NE_L面 P4C 得:NE-AP=2(z-l)=0 j z=l/r-x所 以 丽 令 相 与 恁 得 夹 角 为 夕因此N 到A C的距离h=AN-sin 0=变 式 3：如图所示，边长为2 的正方形ABFC和高为2 的直
11、角梯形4 出厂所在的平面互相垂直且=及M4F 且/9 4 尸=90.求 8。和面3E r所成的角的正弦:(2)求 点 C到直线8 0 的距离；【解析】(1)因为AC、AD.A3两两垂直，建立如图坐标系,DB=(2,0,-2),=(-1,1,2),BF=(0,2,0)设平面BEF的法向量n=(x,y,z),则 8(2,0,0),D(0,0,2),(1,1,2),尸(2,2.0),C(0,2,0),则则 盥若+令 z=L g，尸。，所以元=（2，。），.向 量 D_B 和万=（,2,0,1、）所成角的余弦为廊DB附n=&2 2+.2+0-+2；-2）2 =回记即 BO和面的小所成的角的正弦值为 .
12、10(2)因 为 丽=(2,0,-2),品=(-2,2,0),所 以 丽.配=2x(_2)+0 x2+0 x(_2)=Y,/=2 0，网=2近 ,所以点C 到 直 线 的 距 离 4=R变式4：如图，正方形A8CQ的中心为。，四边形O8EF为矩形，平面。跳产，平面A 8 C 3,点G为AB的中点，AB=BE=2.（1）求证：EG平面ADF；CD(2)求二面角。-瓦-C 的正弦值；(3)求点。到直线EG的距离；【解析】(1)证明：取 AD的中点/,连接GI,因为四边形O8EF为矩形，则 瓦 7/03且 尸=08,因为G,/分别是AB,AD的中点，则 G/且G/=J s。，又。是正方形A B C
13、D的中心，则 OB=LBD,2所以 EF/GI 且 EF=G I,则四边形EF/G是平行四边形，故 EG/FI,又 77u平 面 仞 F,EGF；(2)解：以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,以 丽=（0,&,0）,CF=（-V2,0,2）,则 8（0,-血,0）,C（0,O,O）,E（0,-V2,2）,F（0,0,2）,所设平面C E F的法向量为n=(x,y,z),则n-EF=0 _一，即H C F =Q不妨令z贬，因为OC_L平面OEF,则平面OEF的一个法向量为?=（1,0,0）,回=亚=/n|/?6 3所以卜os（小,则二面角。-防-C 的正弦值为（3）解：因为E（0,-&
14、,2）,。（0,0,0）,G 当，一 号,0贝 同=（0,2 a,-2）,E G=-冬冬 2所以/*前 m _阈曲 屈阿_=痂2+*4+=_丁V15，所以点O到直线EG的距离为d=/sin（而，的）=2石 X A =考点三点到平面的距离【例 3-1】已知经过点A（l,2,3）的平面a 的法向量为3=（1,-1,1）,则点尸（-2,3,1）到平面a 的距离为（）A.73 B.2 C.2应 D.26【解析】依题意 AP=（-3，l,-2）,所以点到平面。的距离为 公 等 节:：*:=2技故选：D【例 3-2】如图，已知四棱锥P-ABCZ）中，以 _ 1 _ 平面A B O AD/BC,A D LC
15、 D,且 A5JLAC,AB=AC=B4=2,E是 8 c 的中点.（1）求异面直线AE与 PC所成角的大小;（2）求点D 到平面2 4 c 的距离.【解析】（1）如图所示，以A 点为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则 8（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,故 E（l,l,0）,通=（1,1,0）,PC=（0,2,-2）cos 而 定”高周1，即 麻，网=66,故异面直线AE与尸 C所成角为60;(2)在平面 ABCD 中，A B =AC=2,AB A.AC,0ZABC=ZACB=45,SAD/BC,E)NQ4C=NACB=45,由心A4CZ)得 A。=C=&，田。(1,1,
16、0),又13c(0 2 0),ECD=(-l,-l,0),又回ABJ_平面PAC,团通=（2,0,0）是平面E4C 的一个法向量，所以点D到平面PAC的距离d=ABCDI变 式 1：在二棱柱A B C-A 4G 中，平面ACGA，平面A8C,84JLA C,四边形ACGA为菱形,且NAAC=60。,（2）求 C倒 平 面 的 距 离.【解析】取 AC的中点。，连接4。，A C，O E,则 O E/AB,又 fiALAC,所以OELAC,由题意知AA/C为等边三角形，又点。为 AC的中点，所以A O A C.因为平面ACGA，平面A B C,平面A C 4 n 平面ABC=AC,A 0 u 平面
17、ACQA,所以A。，平面A B C,又 O E u平面4 B C,所以A 0，O,4 分所以。A，OE,o c 两两垂直，分别以OE,o c,0A 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）,则 A(0,0,句，A(o,-l,o),8(1,-1,0),叫,0,0),F,G(0,2,现g f =0,(2)设平面AE F的法向量为 =(x,y,z),贝 卜n-AE=0,Q r l无 质=0,即即1 Gx+y+z=令 y =l,得 x =-2,z=6,所以 3 =(-2,1,6),UUITAC n 所以点C到平面A E F的距离d =，H6 3/22a-2变式 2：如图，三棱柱ABC-A4G
18、中，面43CL面A 41G C,A B _ LA C,A A =A B =A C =2,NA A C =6 0 .过AA的平面交线段BQ于点E (不与端点重合)，交线段BC于点尸.(1)求证：四边形AAE F为平行四边形;(2)若B到平面 G的距离为及，求直线AC与平面A F C,所成角的正弦值.【解析】在三棱柱ABC-A BG中，AAJIBB、,Bqu平面B8CC，A 41a平面BB，则 明 平面B B g C ,又平面AAE Fc平面88CC=EF,Au平面AAfF,于是得明下,而平面?W C 7/平面A B C 1，平面AAE Fc平面A f i C =AF,平面4 4 1 E F c平
19、面48=,则A E A F,所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形.在平面A4CC内过点N作 上，AC,因平面ABC,平面AAGC，平面ABCA平面A4CC=A C ,于是得A z，平面ABC,又A3,AC,以点4为原点，建立如图所以的空间直角坐标系,8(2,0,0),C(0,2,0),A(0,1,G),G(0,3,A S =(2,0,0),Aq=(0,3,x/3),C B =(2,-2,0),A C=(0,2,0),A F =A C+C F =A C+t C B =(0,2,0)+f (2,-2,0)=(2/,2-2 r,0)(0 /Z)22(1-/)7(r-D2+4 r=叵,解得f =
20、g,因此，n =而 而=(0,2,0),设直线4G与平面AG所成角为凡于是得 s i a M c o s S A G 上!1 _ 近吗2 +(一 生 X 2 4，所以直线AC与平面A F C,所成角的正弦值为1.4变式 3：如图，在四棱锥尸-4 5 C 中，A D B C,Z A D C =Z P A B =9 O,B C =C =g A)=l,E 为边 A。的中点，异面直线勿与CO所成的角为90。.p在直线R I上 找 一 点 ，使得直线CM平面P8E,并求嘿的值;(2)若直线C D到平面P B E的 距 离 为 平,求平面P 8 E与平面P 5 C夹角的余弦值.【解析】A D B C,Z
21、A C =NA钻=90。，8 c =8 =；4。=1,为边4)的中点，所以四边形8 C E是正方形,因为乙R 4 B =90。,异面直线P A与 8 所成的角为90 ,所以 P A _ L A B,P A _ LC Z),又因为A B,C D在平面A6co内相交,所以P A，平面A B C,建立如图所示的坐标系:设尸(0,0,力,把=2,则M(o,o,力),AP令加=90,1),因为 丽 石=0，EP.m=0,所以m是平面P B E的法向量.要使CW平面PBE,只需 两 行=-2 f +加=0,解得：A =2；(2)丽=(1,0,0),因为 CI2BE,又因为BEU平 面 P B E,。0 平
22、面/5；所以C(3平 面P BE,所以CO到平面P 5E 的距离等于点。到平面尸8 E 的距离,1 B|EDm|_ t _ 2石正r=E=可，解得：r=2,所 以 册=(1,0,0),丽=(-l,T 2),令 3=(0,2),因为 团 工=0,旃 石=0,所以7 是平面P 8C 的法向量，由可知平面尸8E的法向量而=Q,0,1)=(2,0,1),因为平面P B C与平面P BE的夹角为锐角，所以平面尸3 E 与平面P8C夹角的余弦值为：-=-=1，|/M|.|n|V5.V5 5考点四异面直线之间的距离【例4-1定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长
23、方体A B C D-A B C Q 中，AB=,B C =2,例=3,则异面直线AC与 BQ之间的距 离 是()A 石 R 不(布 0 6A.D.-L U.一5 7 6 7【解析】如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0),C(0,l,0),8(2,l,0)C(0,1,3),则 前=(-2,1,0),BC；=(-2,0,3),设 正 和 南 的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则 n-一A C =0，即_n f-2x+y=0n -B Q =0 1-2x+3z=0令 x=3,则 =（3,6,2）,.丽=（0,1,0）,变式1：如图所示的多面体是由底面为ABC。的长方体被截面A
24、EFG所截而得，其中A8=4,BC=1,BE=3,CF=4,若如图所示建立空间直角坐标系.(2)求点C到截面AEFG的距离.(1)求异面直线E尸 与 所 成 的 角;【解析】(1)由题意知 4(1,0,0),B(l,4,0),E(l,4,3),F(0,4,4),团丽=(-1,0,1),AD=(-1,0,0)EFAD=|乔 卜 忆画=1,团异面直线EF与AO所成的角为45.(2)设平面AEFG的一个法向量3=(x,y,z),田 4-=(/0,-4,-3、),=(/-1,0,1、),团 n-寸EA-八Q=f-4y，-3z=0 令A x=4,贝(,y=-3,z=4,F=0|-x+z=0髭=（4,-3
25、,4）,又 团 C（0,4,0）,I3 A C=（-1,4,O）,AC-n 团点C到平面向”的距离公甘=黑、=噜变式2：如图,在棱长为a的正方体A B C D-44GA中,M为qG的中点，E为AG与。的交点，尸为BM与CB,的交点.求证:B R _ L A G，B D,1 B,C,（2）求证：E F是异面直线AG与8 c的公垂线段.求异面直线AG与8c的距离.【解析】（1）以0为原点，班 觉，西分别为X、y,z轴正方向建立空间直角坐标系.则。（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0,a,0）,）,（0,0,a）,A（a,0,a）,B、（a,a,a）,（0,a,a）,M ,a,
26、a,F（三,所以 B q =（-a,-a,4）,=（-a,a,0）,gC =（-a,0,a）.因 为 西 隔=。2_/+0=0,所 以 两，而，即8R，AG；因为 西 丽=/+0-/=0,所 以 的J.配，即B Q1，S C;X2 2所 以 而 而=-三+鼻+0 =0,所 以 前，福，即2 2访 鸵=-+0+(=0,所以 E_L B C，即 F，B|C.又 E F cA =E,E F c B(=F,所以E F是异面直线4G与B 的公垂线段.(3)由(2)可知：E F是 异 面 直 线 与BC的公垂线段,所以异面直线AG与 的 距 离 即 为EF=6a即异面直线AG与B。的距离 为 卑.分层提分
27、题组A基础过关练1、长方体A B C-A G 2中，AB=A D =2,D D、=4,则点5到平面4 G。的距离为【解析】在长方体ABS-AAGR中，以A为坐标原点，AB,AD,A A所在直线分别为 轴，旷 轴，轴设平面ACQ的法向量为：n=(x,y,z)0(0,2,0),4(0,0,4),G(2,2,4),A q =(2,2,0),4。=(0 2-4).-Aci=0 _2x+2y=0-2 y.4 z=0令z=l得：=(-2,2,1)又 丽=(-2,2,0)忸 方.川|4 +4 +0|8点5到平面4G。的距离为：%;点出故答案为：g2、如图，在正方体ABC。-A B 中，棱长为2,E为B片的中
28、点.求8 G到平面A。E的距离.(2)若A C n面AER=M，求 名C M【解析】如图，以N为坐标原点，AD,AB,AA,分 别 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则 A(0,0,0),8(0,2,0),C,(2,2,2),(2,0,2),(0,2,1),A (0,0,2),因为正方体A B C。-A8G2中，B G /A R,A R u平面A j E,所以8 C J/平面A R E,则f iC,到平面A。E的距离即为q到平面AR E的距离,而 二 =(0,2,(),A D=(2,0,2),A E =(0,2,1),设平面AR E的法向量为=(x,y,z),贝!p即无 A=0n-A
29、E=0 2x+2z=0*,2 y+z=。令 则 X=2,Z=-2,故7 =(2,1,-2),故q到平面AR E的距离d=|空=：,ll V 9 3即BG到平面AR E的距离为I；(2)研=(2,0,0),西=(0,-2,2),.而I由题意可得“竺=出 题 总 得C M n-CD|n|l-A A I=4 n-CDx 6233、设在直三棱柱ABC-ABC中，AB=A C =AAt=2,/R 4 c =9 0。，E,尸依次为C C“8c的中点.(i)求异面直线4B,E尸所成角e的大小(用反三角函数表示)(2)求点C到平面尸的距离.【解析】(1)如图所示，以点A为原点，A B方向为X轴，A C方向为y
30、轴,方向为z 轴建立空间直角坐标系，3(2,0,0),4(0,0,2),c(),2,0),E(),2,1),尸(1,1,0),4 B =（2,0,-2）,EF=（l,-l,-l）AtB EF 4/6|4B|-|EF|-A 3 -3则 0=arccos3，、一 /、.,、_ n-AF =y=0A尸=（1,0）,短=（0,2,1）,5=（1,-1,0）,设平面用的法向量为=（3,2）,则 有 _ _ _ _,几 AE =2 y+z-0令y=l,解得x=-l,z=-2,则=（一 1,1,一2）,=日=2=当，点C到 平 面 尸的距离为手4、在直三棱柱A B C-A 8 c中，AB=A C =AAl=
31、2,A B A C =9 0,点E,尸分别为BC,CG的中点.(1)证明：E F；(2)求直线 的 与 平 面 所 成 的 角；求点4到平面AE尸的距离.【解析】以A为原点，以A 3,A C,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.A(0,0,0),A (0,0,2),8(2,0,0),B/2,0,2),C(0,2,0),C,(0,2,2),E(l,l,0),歹(0,2,1)国 际=(2,0,2),F=(-1,1,1)国 福 历=2 x(-l)+0 x l+2 x l=0S A B,I F F；(2)设平面A E F的法向量为m=(x,y,z)荏=(1,1,0),而=
32、(0,2,1),A E m fA E m=0 f x+y=0 f x =-yA F L m AF-m =0 2 y+z=0 z=-2 y令y=T,贝=z=2 G l平面尸的一个法向量为浣=(1,-1,2)由 福=(2,0,2)设 直 线 与 平 面AEF所成角为a|2 x l+0 x(-l)+2 x 2|+(-1)2+22/22+02+22就正=等团 直 线 与 平 面 尸所成角为(3)点 区到平面A E F的距离d=也叫$=瓜 m V 65、在如图所示的几何体中，四边形4 8 C为矩形，A FJ_平面A 8 C,EF/AB,A D =2,A B =A F =2EF=,点P为棱。厂的中点.(1
33、)求证：B E/平面A P C；(2)求直线D E与平面8 c 尸所成角的正弦值;(3)求点E到平面A P C 的距离.【解析】(1)证明：连接8。，交 AC 于点。，又 P,。分别为。尸和O B的中点，所以BF/P O,因为尸O u平面4 PC,6 尸.平面AP C,所以8 尸平面A P C；(2)直 线 平 面 A B C,AB 平面A B C。,所以由题意得A _L A 尸，A D A B,所以以A为原点，AB,A D,质 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，8(1,0,0),0(0,2,0),叫,0 )，C(l,2,0),尸(0,0,1),小，；所以。=1,-2,1,配=(0,
34、2,0),f iF=(-1,0,1),设平面B C F的法向量n=(x,y,z),n-B C=On-BF Q2 y=0-x+O+z=Ox =l,解得,y=o,z=1设直线Z)E 与平面B C F所成角的正弦值0,所以直线D E与平面8 c 尸所成角的正弦值 叵；1 0(3)由(2)/=(1,2,0),入 五=(g,0 )，-M.蔗=0 卜+2 y+o=o设平面A P C 的法向量为浣=(x,y,z),贝！,即,、1八 i n-AP =O O+y+z=O令 y=T,则 z=2,x=2,所以平面AP C的法向量4=(2,-1,2),则点E到平面A PC的距离d=l/|；x 2 +0 x(-l)+l
35、x 2V 22+l2+22=1在四棱锥 P-A5C。中，PA lA B C D,A C AD,A B B C,Z B A C=4 5 ,PA=A D =2,A C =(1)求工到平面P C力的距离；(2)求平面P AC与平面P C O夹角的余弦值；(3)设E为棱附上的点，满足异面直线比与以所成的角为3 0。，求AE的长.【解析】(1)在四棱锥P-A3C。中，P4 _L平面ABC。，A C 1 A D,以力为原点，射线AD、AC、AP分别为X、Z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图,于是得 PC=(0,1,-2),PD=(2,0,-2),A C=(0,1,0).设1(x,y,z)为平面P C。的
36、一个法向量，则?.黑一：一2；-令z=i,得G =(i,2,1),n-PD =2 x-2 z=0所以4到平面P C D的距离d=也 坐1 =八2,=坐；l|V l2+22+l2 3(2)由知，平面P 4C的一个法向量而=(1,0,0),而平面尸。的一个法向量5 =(1,2)，于是得.-、tn-n 1 瓜c os /zz,n)=.=r=fm-n lx-s/6 6显然平面P A C与平面P C。夹角为锐角,所以平面P A C与平面P C D 夹角的余弦值是显；6.1 1 _.因 E 为棱以 上的点，设E(0,0,(0 4?V 2),则 8后=(5，-5，?)，而C D =(2,-1,0),I D
37、C.方 I又异面直线的 与。所成的角为3 0。,则c os 3 0 =|c osXEC。1=13日.|6132一且一 2解得x/iom =-,10所以AE的长 为 叵1 07、如图，AABC 内接于。0,A B 为。的直径，A B =1(),BC =6,C D =8,且 8,平面 A B C,E 为 A D的中点.D求点A到平面B C E的距离.【解析】(1)依题意A B 是圆。的直径，E A C 1 B C,由于C)_L 平面A B C,E C D 1 A C,C D L B C,以 C 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系:A(8,(),0),8(),6,0),O(),(),8),E(
38、4,(),4),设旗=(%，%，zj是平面8 c E的法向量，则 一 ，故可取=(1，。，-1 .nlCB=6y 08,6,0)8,0)8),设为=(%，,z?)是平面A B。的法向量，n,-A=_ 8 x j4_6 y,=0 .、则 一 ，故可取瓦=(3,4,3,n2-AD=-8x2+Sz2 0国万 2=。，回平面BCE _L 平面A B D.(2)B E=(4,-6,4),A(-8,0,0),设直线5E 与直线AC所成角为a，aw 0,贝 cosa=B E A CHR32 _25/17V68.8 17 荏=(-4,0,4),平面BCE的法向量为q=(l,0,-。,&-4 居,0 A 平面B
39、CE,E A 到平面BCE的距离为|亚|=A/42+42=4/2.8、在直三棱柱 ABC-ABC 中，A 5J.A C,AB=AC=2,A/=4,点。是 BC 的中(1)求异面直线AB,AG所成角的余弦值；(2)求直线AB|与平面GA。所成角的正弦值；(3)求异面直线A/与 4)的距离.【解析】以 而，A C，画 为 x,V,z轴建立按直角坐标系4-孙z,则各点的坐标为3(2,0,0),A(0,0,4),G(0,2,4),0(1,1,0).如图:45（1）所以“=（2,0,T）,Aq=（0,2,4）,故异面直线B和AG所成角的余弦值为4.(2)离=(2,0,4),赤=。,1,0),设平面CA。
40、的法向量为3=(x,y,z).则 无n-A需C,=。0 即f2y:+，4=z。=0，取E 得-(十 七 设直线m与 平 面 於 所成角为。，则sin 0=cos ,0,-2)设8用=，片(0,机,0),函 =(),北-2),因为若用到直线A C的距离为晒,即 J国2 =加，解得,=4.故 4 (0,4,0),G(2 6,4,0),。(百,0,0),口=(石,0,-2),函=(6,4,0),网=(26,0,0),麻=(0,T,2).设平面A M的 法 向 量 为.z j,则“,黑=，n 4 c =U.2y/3x.=0 -r-j e -所以V 4 c八，不妨取“=(0,1,2),一4,+2 Z=0
41、设平面A。的法向量为闲=(,必*2),则卜小 匕=?,m D/=0百x?-2 z9=0 一 厂 厂所以-，不妨取m=(-4,6,-2石).V3X2+4 y =0设平面44c与平面A,CD夹角为。，则co s。=|普 士|=|=竺或，|?|川 V 5 V 31 1 5 5即平面8,A C与平面AC。夹角的余弦值为苦 等.题 组B 能 力 提 升 练1、平行四边形A 8 C Q所在的平面与直角梯形4 3防所在的平面垂直，BE 团 AF,AB=BE=-A F =,且A 3_L A F,/C R 4 =巳,8 C =/I P为。F的中点.2 4DA C E Fi(2)求点P到平面BCE的距离；(3)若
42、直线EF上存在点”，使 得 直 线 所 成 角 的 余 弦 值 为 半，求直线8,与平面4 5 F成角的大小.【解析】ABC中，AB=l,/CBA=f,B C =,4由余弦定理得，AC2=AB2+BC1-2AB-BC-cosZCBA=1,AC2+AB2=BC2,：.ABLAC,：平面 ABCD I 平面 ABEF,平面 ABCD Q平面 ABEF=AB,：.AC 1 平面 ABEF,；EF U 平面 ABEF,:.ACA.EF.(2)以/为原点，A&ARAC所在直线为xy、z轴建立空间直角坐标系A-型.则 前=（1,0,1）屈=（0,1,0）,=则 B（l,O,O）,C（O,O,1）,0（-1
43、,0,1）,E（l,1,0）,F（0,2,0）,Ay设平面BCE的法向量为。=(x,y,z),贝 力 岑=，即厂取力=(1,0,1),nBE=0 y=0团点P到平面BCE的距离d=PCn可1 1i 2 2F显2 乔=（T,l,0）,CF=（0,2-1）,AD=（-1,0,1）,通=（0,2,0）,设点”坐标（办,另*1）,.,.丽=（与一1,%-1,马）,E I E、H、F三点共线，田 丽=说,.”（1 -2,1 +40）,I 3 B W=（-2,1 +2,O）,团辰网.卜_ B_H_C _ F _ _|2_(_1_+_ _刈_ MBH CF 6“2+(4+iy 5，解 得 行:.BH =设平
44、面A O产的法向量为庆=（X 2，%，Z2），m-AD=0 o r一，即ih-AF Oy2=0 /、:+%=。,令贝胴=(L 0/)设直线B H与平面ADF成的角为。,则回直线B H与平面4。尸成的角为z.O2、如图，梯形 A B C ,A B E F所在的平面互相垂直，ABCD,AB|EF,C D =E F =1,A B=A D=A F=2,7 TZBAD=ZBAF =,点M为棱B E的中点.求证：町，平面4 8。；（2）求二面角C-Z）尸-8的余弦值；判断直线AM与平面OCEF是否相交，如果相交，求出A到交点”的距离；如果不相交，求直线AM到平面。CEF的距离.【解析】证明：因为=所以又平
45、面A B C D _ L平面A B E F,平面平面=E4u平面A 8 E F,所 以 外_L平面A 8 C O.(2)证明：因为E 4 _L平面A B C。，A )u平面A8CD,所以益4 L ),7T又N B A D =3,所以以、A D、两两互相垂直.如图以“为原点，所在直线为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由 ABMADnAFu Z enE/y,可知 A(0,0,0),C(2,l,0),0(2,0,0),8(0 2 0),F(0,0,2),则 而=(0,-1,0),D F =(-2,0,2),设石=(x,y,z)为平面C D F的一个法向量，i i -C D=0 f y=0 _则
46、，即、八，令x=l，贝！|z=L y=0,所以 =(1,0,1),n-DF=0-2 x+2 z=0设正=(x,y,z)为 平 面 的 一 个 法 向 量，,m-FB=0 f-2 x+2 z=0 A,一则 一 ,即 I.n,令 x=l,贝!|y=l,z=l,所以机=(1,1,1),m-D F =0 2y-2z=0,I-I mn V 6则 co s =产厂产J =,H-H 3易知二面角C-OF-B为锐二面角，所以二面角。-。尸-8的余弦值为 好.33 _ 劣(3)由 4 0 0 0),M(0,-,l)得 病=(0,5，1),丽=(0,2,-2),_ _ 3因为 AA/=lxO+jxO+lxl 片0
47、,所以A M与平面DCEF不平行，所以直线4 W与平面。CE尸相交，在四边形48斯 中延长A M交F E的延长线于点H.点 H 就是直线A M 与平面DCEF的交点，易知”（0,3,2）,所以 4叫=曲 于 声=屈.3、如图，在四棱柱4 B 8-A B C Q 中,侧棱A A l底面A B C D A B，AC,A8=l,AC =M=2,A =Cr=&，且 是。的中点.求点已到平面AS。的距离；（2）设尸为棱A片上的点，若直线E尸和平面A3C。所成角的正弦值为。，求线段A尸的长.【解析】（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0,0,（）,B（1,0,0）,C（0,2,0）,0
48、（T,1,0）,4（0,0,2）,旦（1,0,2）,G（0,2,2）,。（一1,1,2）,因为E为。的中点，则 打一L U）,因 为=（0,2,0）,福=（1,0,2）,赤=（T,1,2）设平面阴。的法向量为玩=（x,y,z）,m AB,=x+2z=0则,，in-AC=2y=0令z=l,则x=-2,故而=(-2,0,1),g、il-E f 4 2 病所 以 麻 肛 函=同画=而环=-设点2 到平面AH。的距离为d,则 d=|AD|cos（m,所以点2 到平面A。的距离为 竽；（2）由题意，设 肝：=%隔，其中；lc O/,则 E（/l,0,2）,所 以 前=（2+1,-1,1）,又 迓=（0,
49、0,2）是平面ABCD的一个法向量，因为直线EF和平面ABC。所成角的正弦值为 手，贝！|cosEF,A4.|=辑1 1 回 T=/2,=，2x7（/l+l）2+2 5整理可得力+2 2-2=0,又 法 0,1,解得 人 石 一1故线段4 尸的长为6T.(2)在 侧 面 内 找 一 点 N,使 NE_L平面P A C,并求出N 到 N 5 和 N P的距离.【解析】(1)由题意得/5 胡 0,PASL4D,PAa4B.以/为原点，Z 5 所在直线为x 轴，4 0 所在直线为j，轴，/尸所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，贝 l N(O,0,0),C(/,1,0),P(0,0,2),B
50、(g,0,0),团 正=(G，1 0),丽=(5 0,-2),AP=(0,0,2),设异面直线/C、P 8 的公垂线的方向向量为3=(x,y,z),则,恁，nL P B,n-AC=y/3x+y=0 A _,一 r-令 X=l,则片-G，n-PB=yl3x-2z=0设异面直线ZC、PB之间的距离为“，|A|2历则 =iE=w(2)设在侧面以8 内存在一点N(“，0,c),使 NE0平面7MC,由(1)知 E(0，g，l),团亚=吟1弋)，NEAP=2(-c)=00S-厂 1 ,NE-AC=-yJ3a+-=Q23解 得-6,帆 到 N 5 的距离 为 炉 下=1，N 到 NP的距离为J +02=6