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1、2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:110小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纲指定位置上.（1）当 x 7 0 时，：（/一1）是 F 的（）.（A）低阶无穷小.（B）等价无穷小.（C）高 阶 无 穷 小.（D）同阶但非等价无穷小.【答案】C.I-1,22【解析】因为当x-0时，：（一1劝 =2x（d 一1）2/，所以，（J-D是丁的高阶无穷小，正确答案是C.ex-1 八-X 0（2）函数f（x）“x ，在=0处（）1,%=0（A）连续且取极大值.（B）连续且取极小值.（C）可导且导数为0.
2、（D）可导且导数不为0.【答案】D【解析】因为lim/(x)=lim l=/(0),故/(x)在x=0处连续.x-0 ktO x因为Hm正幽=Hm JX-0 X T X-0ev-1-r 1 1=lim.=-,故/(0)=l,故选D.I X2 2 J 2(3)设函数/。)=以一匕111%(。0)有两个零点，则2的 取 值 范 围().a(A)(e,+8).(B)(O,e).(C)(0,1).(D)(-,+).e e【答案】A.【解析】令)(x)=o-lnx=0,fx)=a，令/(x)=0有驻点 =,x a(by b b b bf-=a-一一6 ln e,选A.a J a a a a(4)设函数/
3、(x,y)可微，且 疗 枇)/1+2/(x,x2)=2x2inx/iJ4(l,l)=()(A)dx+dy.(B)dx-dy.(C)dy.(D)-dy.【答案】C【解析】/(X +1,，)+炉月(X +1,/)=(%+1)2 +2 x(x+1)/(x,x2)+2 xf(x,x2)=4 x I n x +2 x x 0 x 1 ，一分别将 八，,代入式有y =0 y=/(1,1)+(1,1)=1,/(1,1)+2(1,1)=2联立可得(1,1)=0 ,%(1,1)=1,(1,1)=工 (1,1)公+人(1,1)办=办，故选C .(5)二次型/(4,七)=(%+w)2+(2+毛彳一(七一看了的正惯性
4、指数与负惯性指数依次 为()(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B【解析】f(xl,x2,x3)=(xl+x2)2+(x2+J C3)2 (x,%)2=2X22+2%2+2X2X3+2 xix3 0所以A=1J1 A1 ,故多项式p l E-A|=-1o j -i-1 -1 2 1 =(+1)(4 3)4 .1 A.21令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选B.（6）设4 =（四,%,3，&4）为4阶正交矩阵,若矩阵3k表示任意常数，则 线 性 方 程 组 的 通 解x=（）(A)a2+ay+a4+ka.(B)a,+a3
5、+a4+ka2.(C)a,+a2+a4+ka3.(D)a,+a2+a3+A a4.【解析】由A是正交阵知A的列向量线性无关，所以/（8）=3,且84=0=&=。的 通 解 为 卬 又8(4+%+%)=1 =&=的通解为%+。3 +A%,应选。1 0-P(7)已知矩阵4=2-1 1 ，若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使PAQ为、1 2 一5,对角矩阵，则P,Q可分别取1 0 0、(A)0 1 0、0 0 1 0 1、0 1 3、0 0 1,(B)2-11-3 20、0(1 ()0、1 0(C)2-11-3 20、01 0 1、0 1 3、0 0 1,1 0 0、(D)0 1 0J 3(20
6、-1、0 0-3、2).1 00 1 0、0 0 1,【答案】C.【解析】1(A,E)=2-10-12100 P 00 0-11 0 27-13-61-210 0、U 01 0f0 10 10 0-1 1-3 20-30-120、01010 1 0 0、二 (F,P),则 尸=2-1 03 2“1 0 0、0 1 01001-r-3 尸、_000*广1000100 1 30 0 1,力、-二1 0 1、E,o r。二0 1 3,选C.、0 0 0 0 1 J 0 0)(8)设A,8为随机变量，且0尸(3)P(A),则 尸(司函 尸两.(C)P(A|B)P(A|B),贝IP(A忸)P(A).(D
7、)若 P(AAJB)P(AAJB)，则 P(A)P(B).【答案】D【解析】P(A|AUB)=P(A(4 U 3)P(A)P(A U B)P(A)+P(B)_ P(AB)P(AAJB)=隔(A U B)P(A U B)P(AB)-P(A U B)P(8)P(A B)P(A)+P(B)-P(AB)因为尸(A|A U 8)P(X|A U 8),固有尸(A)P(8)-尸(A B),故选D.(9)设(X“X),(X2,Y2).(X“,)为来自总体N(1,2；0,4；P)的简单随机样本，工 1 JL-A _ _令9=内 一 内,x=-Y xi,y=XX，e=x Y,则 1 M(A)是。的无偏估计，。向=
8、。!二+二.n(B)不是。的无偏估计，。面=生 士 匚.n(C)是。的无偏估计，(方)=吧宠2的%n(D)2不是。的无偏估计，D(0)=n【答案】C【解析】因为x,丫是二维正态分布，所以又与歹也服从二维正态分布，则刀一少也服从二维正态分布，即E(1)=E(5一斤)=后(5)E(手)=4一2 =8,D(0)=D(X-歹)=D(X)+D(Y)-co v(X,Y)=0+%-2 0 0%，故选c.ni _ n i I n(10)设总体X的概率分布为P X =1=寸，P X=2 =P X=3 =-,利用李爱珍总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得。的最大似然估计值为1 3 1 5(A)-.(B
9、)-.(Q-.(D)-.【答案】A【解析】似然函数(詈)取 对 数ln 6)=3 1 n(?1 +5 1n 詈)皿One加0 4二、填空题：H 16小题,每小题5 分，共 30分.请将答案写在答博纸指定位置上.(1 1)若 y=cos e,则x=.1sin 一【答案幺2e【解析】=sine-。dx.1sin 一=e2e【答案】6【解析】y19-x2 卜 6 _9 2)非 yj9-x2 2 卜 4 _9(13)设平面区域。由曲线y=6 sin乃 x(0 W x W1)与 x 轴围成，则。绕 x 轴旋转所成旋转体体积为.T T【答案】-4【解析】V=(y/x-sinKX)1 dx-7rxsin2n
10、xdx-；j s i n 力=?.(1 4)差分方程Ay,=t的通解为._ i i【答案】y=y+y =t2-t+C,C 为任意常数.1【解析】y=C,y*=-(at-b),(t+l)(tz(r+1)+/?)-t(at+1)=r,2at-a-b=t,a2b=-T 1 1y=y*+y=lP-t+C,C 为任意常数.2 2X22(1 5)多项式/)=.V122x1-1中V 项的系数为.x【答案】-5【解析】f(x)=x122X1-10 x-1-1-32x-11X1220 x-1-30-3-3x-4，由特征值与特征矩x212x112X1阵的关系知：X，项的系数为-5。（16）甲乙两个盒子中各装有2个
11、红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令x,丫分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的 相 关 系 数.【答案】-5【解析】联合分布律（x,y）(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)2 3T o T o ,X的边缘分布x ro3、10210J 2，丫的边缘分布y U 1_ _，易知 C o v（x,y）=12 0D X=-.D Y4=；,即 P x y =1-三、解答题：1722小题，共70分.请将解答写在带粤纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知 li m aa r c t a n +(l +k
12、)x 存在,X 1求a值.【答案】a=，d-e）.7i e【解析】要想极限存在，则左右极限相等.又由于 l i m a a r c t a n +(1+3)工o x71.1 八 I k_ 71 1二一a +e.h m e z a r c t a n +(1+x)v=-a +.2 *x 1 1 2 e从而一a +e =-a H，即a=(e).2 2 e e（18）（本小题满分12分）求函数/（x,y）=2 I n凶+.一；+）的极值.【答案】（一 1,0）处取极小值2；（L,0）处取极小值!一2 1n 2.2 2【解析】,=2x2+x-l-y2=Q 2 2/,即X +一1一 丁 =得驻点（J_,
13、o）(4x+l)x 3(2%2+x 1 y)x4J yy 2X驻点(一 1,0)处 A=3,B=0,C=l,AC-B2=30,A 0,故/(x,y)在(一1,0)处取极小值2；驻点(1 0)处A=24,B=0,C=4,AC-B2=30,A 0,故/(x,y)在(1 0)处取极小值l 21n2；2(19)(本小题满分12分)设有界区域。是V+y2=l和直线y=x以及X轴在第一象限围成的部分，计算二重积分jj e+厅(x2-y2)dxdy.D【答案】e2 eH8 4 8c o s z a/e f l-in%JJ(炉-y 2 M b =COS J(8s+si nc o s 2Jd可；/皿 +疝 行/
14、2D 2 JOeu9+M)Z udu=-!-J。(cos 6+sin 6)41(cos 8+sin 8)41(cos 6+sin 8)2所以上式4 C O S e-si”6 e(cos8+sin6)2 dg_ J _2。cos。+sin。2-2J|u 2J其中，e-Jl 1 ,2 rVl 0 J 2 1(eu du=ud(-eu)=-(Jl u J 2 2u2JO(cos。+sin 6)2 a e 8 s e+s i n (cos 6+sin 0)20r(cosJ+sind)21 tedtJo6(cos0+sin8)2_J_ e(cos+sin0)2 _ 1(cosO+sin。)4 L -4
15、cos sin 6 e(cos+sinj)2 _1 “g0(cos，+sin 6)31/-1.T-auu尸 F 广 g e)(-2/=；e2 g e+/卞所以原式e?e+f-u du=e2 e+.8 4 Ji 8 4 8(2 0)(本小题满分12分)设n 为正整数，y=yn(x)是微分方程孙 一(+l)y =0 满足条件以 =?的解.求 y.(x)；(2)求级数f y,(x)的收敛域及和函数.=1【答案】(2)收敛域 1,1，s(x)=、,.“(+l)1,X=1(1)y-5 +Dy=0,得 y=C e dx=Cx+,将 v(1)=I代入，C=-1%(%)=-xn+l.(+1)8 1(2)y!工
16、用的收敛域为 一 1,1.=1 (+1)8 1 8 0+1 8 y+l设 S(x)=Z-J*”=Z-Z-=(l-x)ln(l x)+x x e(1,1)=i5 +l)/=I n=i+l又因为S(x)在-1,1 上连续,所以S=lim S(x)=l.f-日山 c/、(l x)ln(l-x)+x,X(-1,1)所以S(x)=1,x=1(2 1)(本题满分12分)2 1 0-设矩阵A=1 2 0 仅有两个不同的特征值。若 A 相似于对角矩阵，求。力 的值，并求1 a h可逆矩阵P,使 P A P 为对角矩阵。【解析】由|/1后一川=(/1-6)(；1 3)(/1-1)=0,当方=3 时，由A 可相似
17、对角化知，二重跟对应的特征值有两个线性无关的特征向量。所以r(3E-A)=l=a =-l,此时3对应的特征向量为1 ,0,1对应的特征向量为1rU 11 3、则 kAP=3、L当b=l时，同理可得r(E A)=l=a =l向 量 为1 ,则尸一四尸=1U I 3,O(2 2)(本题满分12分)对应的特征向量为1g、0,3对应的特征在区间(0,2)上取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为VY,令Z=JY(I)求X的概率密度.(2)求Z的概率密度.求 己用.2【答案】X f(x)=L 0 x l0,其他(3)-l +2 1n 2.1,0X1o,其 他.【解析】由题知：X /(x)=2 Y(2)由y =2-X,即2 =-,先求Z的分布函数.XFz(z)=PZz=P2-XX z l =P|_1 z当Z 1 时，的(z)=0.当 zNl 时，Fz(z)=Py-l Z2z+12N=1 一2z+lfz(z)=(Fz(z)=0,其他 E用T/H-Y-ldLr=-l+21n2.2-x