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1、2022年中考数学压轴题1.(1)【问题发现】如图 1,在 R t Z 4 8 C 中，4 B=A C=2,N A 4 c=9 0 ,点。为 8 c 的中点，以 CD 为一边作正方形C0 E 凡 点 E恰好与点/重合，则 线 段 与/的 数 量 关 系 为 一 =近 亚(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形C D E F 绕点C 旋 转,连接CE,A F,线段BE与/尸的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明：(3)【问题发现】当正方形CD E 尸旋转到8,E,厂三点共线的时候，直接写出线段力厂的长.解：（1）在 R t Z /8 C 中，A B=AC=2,根据勾股定理得，B C=
2、&A B=2&,点。为 8c的中点，：.AD=1/?C=V 2,.四边形CD E 尸是正方形，：.A F=E F=A D=V 2,；BE=AB=2,：.BE=2AF,故答案为B E=五 A F；（2）无变化;如图 2,在 R t Z /8 C 中，AB=4 C=2,./8 C=N/C8=4 5 ,./C 4 _ V 2 s i n _ADC=彳豆=在正方形 CD E F 中，N F E C=F E D=4 5。，在 R t Z X CE/中，s i n/F E C=g =孝，第1页 共1 1页.CF_CA_ CE CBV ZFCE=ZACB=45,ZFCE-ZACE=ZACB-/ACE,：.N
3、FCA=/ECB,：./XACFsABCE,二B而E=瓦CB=6r-,:.BE=2AF,.线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段/上时，如图2,由（I）知，CF=EF=CD=a,在 R t Z X B CF 中，CF=y/2,BC=2五,根据勾股定理得，BF=y/6,：.BE=BF-EF=V6-V 2,由（2）知，BE=y/2AF,：.AF=V3-1,当点E在线段8尸的延长线上时，如图3,由（1）知，CF=EF=CD=五,在 中，CF=V 2,8 c=2企，根据勾股定理得，BF=屉,：.BE=BF+EF=V 6+V 2,由（2）知，BE=/2AF,V 3+1.即：当正方形CDEF旋
4、转到B,E,F三点共线时候，线段ZF的长为61或遮+1.第2页 共1 1页D图3E2.在正方形N B C C 中，动点E,尸分别从。，C两点同时出发，以相同的速度在直线D C,C8 上移动.(I)如图，当点E自。向 C,点尸自C向 8移动时，连接4 E和。尸交于点P,请你写出NE与。尸的位置关系，并说明理由；(2)如图，当 ,F分别移动到边D C,C8 的延长线上时，连接4 E和。F,(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是 或“否，不须证明)(3)如图，当 E,尸分别在边。，8 C的延长线上移动时，连接4 E,DF,(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图，当E,E分别在边。C,C8
5、 上移动时，连接AE和 DF交于点尸，由于点E,尸的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若 4 D=2,试求出线段C 尸的最小值.理由：.四边形N 8 C Z)是正方形,:.AD=DC,N/OC=NC=9 0 .在/)1 和 )尸中，AD=DCZ-ADC=LC,、DE=CF第3页 共1 1页:.丛AD E94D CF(S/S).：.AE=DF,ZD AEZCD F,由 于/。尸+/。尸=90,：.ZDAE+ZADF=90.：.AEDF；(2)是:(3)成立.理由：由(1)同理可证4 =。凡 NDAE=NCDF延长FD 交 A E 于点G,则 NCD 尸+N/OG=90,A Z
6、ADG+ZDAE=90.J.AE1DF；由于点尸在运动中保持NZP=90,点尸的路径是一段以4。为直径的弧，设工。的中点为0,连接0 c 交弧于点P,此时C P的长度最小,在 RtA0Z)C 中，QC=R 2 +QD2=V22+I2=瓜第4页 共1 1页：.CP=QC-Q P y/5-1.3.如图，在RtZ X/B C中，ZACB=90Q,以斜边45上的中线CZ)为直径作。，与8c交于点/，与48的另一个交点为E,过/作垂足为M(1)求证：MN是 的 切 线：OC=OM,：.NOCM=NOMC,在RtZ X/8 C中，CD是 斜 边 上 的 中 线,：.CD=%B=BD,:.NDCB=NDBC
7、,：.NOMC=4DBC,：.OM/BD,：MNBD,：.OMLMN,：0 A 1过 O,.WN是。的切线；第5页 共1 1页 C。是G）O 的直径，：.ZCED=9 0 ,ZD MC=9 0 ,即 CEA.AB,由（1）知：B D=C D=5,为 BC的中点，3V siri5=百，.cosB=耳,在 中，BM=BDCGSB=4,:BC=2 B M=8,Q9在 RtACEB 中,B E=B CcosB=等，32 7：.ED=BE-B D=节 一5=g.4.已知NMPN的两边分别与O O 相切于点4 B,O O 的半径为九（1）如 图 1,点 C 在点4 8 之间的优弧上，NMPN=80 ,求N
8、4CB的度数；（2）如图2,点 C 在圆上运动，当P C 最大时，要使四边形NPBC为菱形，/尸8 的度数应为多少？请说明理由；（3）若 PC 交O O 于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 的式子表示）.【解答】解：（1）如 图 1,连接0 4 0B,第6页 共1 1页图1,：P A,尸 8 为。的切线，孙。=/尸 80=90,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360,A PB+AAO B=,V ZAPS=80,：.ZAO B00,./C 3=50；（2）如图2,当N ZP 8=60时，四边形ZP8C是菱形,连接CM,OB,囹2由（1）可知，NNO8+/P8=180,V
9、 ZAPB=60,ZAOB=20,A ZACB=60=A APB,.点 C 运动到PC距离最大，；.PC经过圆心，:P A,尸 8 为。的切线，：.PA=PB,NAPC=NBPC=3G,又：PC=PC,./PC丝BPC（.SAS）,第7页 共1 1页A ZACP=ZBCP=30，AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30，：.AP=ACf:AP=AC=PB=BC,四边形Z P 8 C是菱形；(3)。的半径为八.OA=r,OP=2r,：.AP=V 3 r,PD=r,：NN。尸=90-Z APO=60a,而 的 长 度=r,阴影部分的周长=P 4+P +尤=倔 廿+分=(V 3+I +J)r.5.如
10、图，均 为。的切线，P 8 C为。的割线，4DLOP于点D,/小？的外接圆与8 c的另一个交点为.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连 接04,OB,OC,BD.COA1.AP,ADA.0P,，由射影定理可得：PA2=PDPO,心=PD0 D.（5分）又由切割线定理可得PA2PB-PC,:.PB，PC=PDP0,：.D.B、C、。四点共圆，（1 0分）NPDB=4 PCO=NOBC=NODC,NPBD=A COD,:U B D sA C O D,PD BDCD 0D（1 5 分）二.BACD=PD，OD=AN,第8页 共1 1页.BD AD AD CD 又 N B D A =N B D
11、P+9 G =ZOD C+9 0 =ZAD C,:.BD AsAAD C,:.N B A D=Z A C D,：.AB是 Z O C的外接圆的切线，6.如图，点/为 y 轴正半 轴 上 一 点 8两点关于x 轴对称，过点”任作直线交抛物线y=|x2于 P，。两点.（1）求证：Z A B P=ZABQ-,（2）若点4的坐标为（0,1）,且/尸8。=6 0 ,试求所有满足条件的直线尸0 的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y 轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线尸0 的函数解析式为了=履+3 并设P,0 的坐标分别为（必，yp
12、）,（X 0,夕 0）.由Iy=f c x 4-1y=|%2%2 k x t =0,第9页 共1 1页3 2于是为 殉=-2 3 B P t =-XPXQ.BC yp+t 京 P?+t 京 p 2一 夕 p%Q 声 p(X p-X Q)X pBD yQ+t|x(j2+t XQ2XpXQ|X(2(X Q-X p)XQPC Xp 一 BC PC又因为-=-,加以-=-QD xQ BD QD因为4 8（7 尸=/8。=90 ,所以 ABCPs/BDQ,故 N/8尸（2）解：设 P C=a,D Q=b,不妨设a60,由（1）可知N/8 尸=/48。=3 0 ,BC=V 3 a,B D=同,所以 ZC=ga-2,AD=2-V 3 b.因为 P C。，所以NCPS/X4 D。.于 是 空 一 些 即 士.金t 7 GDQ AD,即2一 可所以 Q+b =y/3ab.由（1）中 工 p Q=一即一 a b=会 所以a b =W，C L b=于是可求得Q =2b=V 3.F5 n y/3 1将匕=芋代入y=%2,得到点。的 坐 标（不-）.乙3L L再将点。的坐标代入=b+1,求得卜=一字.所以直线PQ的函数解析式为y=-苧 x+1.根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为y=-字 x+1或y=字+1.第1 0页 共1 1页第1 1页 共1 1页