《2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题01绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题01绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练(含详解).pdf（58页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 1绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1.最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律,解题时能达到事半功倍的效果.题型1.两个绝对值的和的最值【解题技巧】卜a+k-q目的是在数轴上找一点为 使x到。和匕的距离和的最小值:分类情况（X的取值范围）图示卜-4+卜一4取值情况当xa时I *b|L K T 一 1无法确定r*1x a b当aW xW b时卜H F 8 b|卜 _4+,一4的值为定值，即为a不 b当k _一a J无法确定a b A结论：式子卜一。|+,一身在a K x WhEI寸，取得最小值为心一身。例1.（2 0 2 1
2、珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物.有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了 数 与 形”之间的联系.在数轴上，若点A，3分别表示数。，b,则A，5两点之间的距离为A 8=|a-4.反之，可以理解式子|x-3|的几何意义是数轴上表示实数x与实数3两点之间的距离.则当卜+2|+上一5|有最小值时，x的取值范围是（）A.x 5 B.x W-2或x25 C.-2 x5D.-2 x 5变 式1.（2 0 2 2江苏苏州七年级阶段练习）同学们都知道，|5 一（-2）|表示5与一2之差的绝对值，实际上也可理解为5与一2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：（1）
3、求|5 一（-2）|=.（2）找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x 2|=7这样的负整数是.（3）由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x 6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.例2.（2 0 2 2.河南郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合 的基础.例如：从“形 的角度看：|3-1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与-1的两点之间的距离.从“数 的角度看：数轴上表示4和-3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）.
4、根据以上阅读材料探索下列问题：（1）数轴上表示3和9的 两 点 之 间 的 距 离 是:数轴上表示2和-5的 两 点 之 间 的 距 离 是：（直接写出最终结果）（2）若数轴上表示的数x和-2的两点之间的距离是4,则x的值为；若x为数轴上某动点表示的数，则式子l x+l l +l x-3的 最 小 值 为.变 式2.（2 0 2 2思明区校级期末）同学们都知道|5 -（-2）|表示5与（-2）之差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5 -（-2）|=.（2）找出所有符合条件的整数x,使得卜+5|+仅-2|=7成立的整数是.（3）由以上探索猜想，对于任
5、何有理数x,|x-31+l x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.题型2.两个绝对值的差的最值【解题技巧】卜一4一卜一耳目的是在数轴上找一点心 使x到。和6的距离差的最大值和最小值：分类情况（X的取值范围）图示_ q取值情况当冗 4时kzbi-卜以一网 1,一4_,_。|的值为定值，即 为 一 qx a t)当aVxWb时卜a-5不 b-卜-q|x-|x z?|4,一.当-|二-一沙a b 不T卜_._ 卜_ 母的值为定值,即为结论：式子,一4一,一 耳 在 时，取得最小值为一|。一4；在x N b时，取 得 最 大 值 一4。例1.（2 0 2 2.浙江 温州七年级开
6、学考试）代数式|x-1|-W+2 I的最大值为“，最小值为6,下列说法正确的是（）A.。=3,b=0 B.a=0,b=-3 C.a=3,b=-3 D.。=3,6 不存在变 式L （2 0 2 2.上海七年级期中）代数式|工-1|-卜+2|,当工-2时，可化简为；若代数式的最大值为。与 最 小 值 为 则 必 的值_ _ _ _ _ _.例 2.（2 0 2 2 湖北十堰七年级期中）设-1M3,则|x-3|-g|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为一.变式2.（2 0 2 2 湖北武汉七年级期中）我们知道，1 a 1 的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点 A,B 在数轴上分别
7、表示数a,b,那么A,B 之间的距离可表示为|a-b|,请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与 1 所对应的点的距离为一，数 x与-1 所对应的点的距离为一；（2）求|x+l|-|x-l|的最大值；（3）直接写出|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|-|x-l|-|x-2|-|x-3|-|x-4|的最大值为_ _ _ _ _.题型3.多个绝对值的和的最值【解题技巧】最小值规律：当有两个绝对值相加：若已知ab,k一。|+,一。|的 最 小 值 为 匕 一 且 数 x的点在数”，人的点的中间；当有三个绝对值相加：若己知a h c,4+,一4+,一 d的最小值为c
8、-a,且数x的点与数的点重合；当有2 +1 （奇数）个绝对值相加：|x 一 7|+|x-|+.+x-a2n+x-a2n+,且4（a 2 .2 。2 +1，则x取中间数，即当x =a“+i时，4+|x 局+.+|x-4 2|+|一”+1 1 取得最小值为（。2 +1 -。1）+（。2 -。2）+.+（%+2 -4,）+。；当有 2 （偶数）个绝对值相加：|x-al|+|x-a2|+.+|x-a2/,_l|+|x-a2|,且 a2.a2n_x 4.求 x 的取值范围：文字语言：图形语言：答案：(4)求|x-l|+|x-2+x-3|+|x-4|+|J C-5|的最小值.文字语言：图形语言：答案：课后
9、专项训练：1.(20 22.全国七年级课时练习),-4|+k+2|的最小值为；此时x取值范围是.2.(20 22.全国.七年级课时练习)我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而|3+1|即|3-(-1)|则表示3和这两点的距 离.式 子 卜-1|的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而k+2|=卜-(-2)|,所以卜+2|的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离.根据以上发现，试探索：(1)直接写出 1 8-(一2)|=.(2)结合数轴，找出所有符合条件的整数x,|x-2|+|x+3|=5的所有整数的和
10、.(3)由以上探索猜想，对于任何有理数*,|x+4+|x-6|是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由.3.(2 0 2 2 全国七年级课时练习)阅读下面的材料：点A、B在 数 轴 上 分 别 表 示 实 数b,A、B两点之间的距离表示为I AB I ,当A、8两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如 图1,0(4)B O A A B =OB =b B B=1 a-b 1；当A、8两点都不在原点时：A O BO A0 b 0ab ba 6 b 如图2,图1点A、B都在原点的右边：图2图3图41 AB|=|0 8|-|O A|=|b-a 1=b-a=1 a-b 1；如
11、图3,点A、夕都在原点的左边：I A B|=|OB I -I OA I =I Z?I -I I =-b-(-a)=I a-b I ；如图4,点A、B在原点的两边：I AB|=|O A I +|0 8|=|a|+|6|-a+(-b)=a-b ,综上，数轴上 A、8 两点之间的距离I A B|=|a-b I .回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的 两 点 之 间 的 距 离 是,数轴上表示-2和-5的 两 点 之 间 的 距 离 是,数轴上表示I和-3的 两 点 之 间 的 距 离 是；(2)数轴上表示x和-1的两点A和8之 间 的 距 离 是,如 果|A 8|=2,那么x为.(3)当代数式I
12、x+1 I +I x-2 I取最小值时，相应的x的取值范围是.4.(2 0 2 2.全国.七年级课时练习)问题提出：学习了同为数轴上表示。的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数。和数h的两个点A,B之间的距离进行了探究：(1)利用数轴可知5与1两点之间距离是；一般的，数轴上表示数，和数的两点之间距离为.问题探究：(2)请求出|x-3 H x-5|的最小值.问题解决：(3)如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道&L旁依次有3处防疫物资放置点A,B,C,已知AB=8 0 0米，8 c=1 2 0 0米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点尸，问尸建在直线L上的何处时，才能
13、使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？-A B C 5.(2 0 2 1湖北孝感 七年级期中)同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：(1)计算|5-(-2)|=；(2)使得Ix-l l +l x+5|=6这样的整数有(写出所有符合条件的整数)；(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,式子|x-2|+|x +3.5|是否有最小值？如果有，请写出其最小值,如果没有，请说明理由.6.(2 0 2 2浙江杭州七年级期末)同学们都知道，|4-(-2)|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在
14、数轴上所对应的两点之间的距离：问理Ix-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(1)1 4-(-2)|=.(2)找出所有符合条件的整数x,使|x-4|+|x +2|=6成立，并说明理由(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x,l x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.7.(2022山西七年级阶段练习)A、3 两点之间的距离表示为A 8,点A、B在数轴上分别表示有理数。，b,在数轴上A,5 两点之间的距离A8=|a-q.A B-k-A 请用上面的知识解答下列问题：a 0 b(1)数轴上表示2 和 6 的 两 个 点 之 间 的 距 离
15、是,数轴上表示T和-3 的两点之间的距离是，数轴上表示2 和-3 的 两 点 之 间 的 距 离 是.(2)数轴上表示了和_ 2的两点C和。之间的距离是；如果|C 4=3,那么x 为.(3)求|x+l|+|x-2 的最小值.8.(2021湖南邵阳七年级期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合.研究数轴我们发现了很多重要的规律.譬如：数轴上点A、点 B 表示的数分别为a、b,则 A、B 两点之间的距离AB=|“-b|,线段A 8 的 中 点 表 示 的 数 为 审.如 图，数轴上点A 表示的数为-4,点 B 表示的数为2.-(1)求线段A 8的长和线段A 8的中点表
16、示的数.-4 0 2(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+l|+k-2|=3.(3)并由此探索猜想，对于任意的有理数x,|x-2|+k+4|是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由.3(4)点 C 在数轴上对应的数为x,且 x 是方程2x-l=g x+l的解.数轴上是否存在一点P,使得以+PB=P C,若存在，写出点尸所对应的数；若不存在，请说明理由.9.(2022.浙江七年级阶段练习)代数式|彳一1|一仇+6|-5 的 最 大 值 是.10.(2022湖南长沙市怡海中学七年级阶段练习)如图1,点 A,B,C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5,b,4.某同学将
17、刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的数字0 对齐数轴上的点A,发现点B对齐刻度1.8cm,点C对齐刻度5.4cm.w 5 c r-o I图i应的数6;AB C二 叫 叩1 3叫1叩 叩,1 1 1|1 1 1 1 1 1 10 1 2 3 4 5 6(1)求数轴上点B所对图2(2)点P是 图1数轴上一点，P到A的距离是到8的距离的两倍，求点P所表示的数;(3)若点。在数轴上表示的数为x,则|x+5|+|x -4|的最小值为，卜+5|-|x -4|的最大值为1 1.(2 0 2 1 湖北咸宁七年级期末)我们知道|x|的几何意义是表示在数轴上数x对应的点与原点的距离；即H=|x-0|)这个结论可以推广
18、为：禺-即表示在数轴上数4、乙对应点之间的距离.如图，数轴上数。对应的点为点4,数b对应的点为点8,则A,8两点之间的距离A B=|a-M =a-(1)|x+l|可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；(2)请根据上述材料内容解方程上+1|=1；(3)式子|x+l|+|x-l|的 最 小 值 为；(4)式子卜+1|-卜一2|的 最 大 值 为.枭!-T-&上 a1 2.(2 0 2 1 浙江七年级期末)|x+l|+lx-l|+|x-3|的最小值是()A.5 B.4 C.3 D.21 3.(2 0 2 2 重庆一中七年级阶段练习)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作同。数轴
19、上表示数a的点与表示数b的 点 距 离 记 作 如|3-5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|=|3-(-5)|表示数轴上表示数3的点与表示数一5的点的距离，M-3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离.根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程)(1)若=|x+l|,贝!x =；若|x 2|=|x+l|,贝！x =(2)若|x-2|+|x+l|=3,则x能 取 到 的 最 小 值 是,最大值是(3 )当|x-2|+|x +l|+|x +3 取最小值时，则X的值为(4)当k-2|-|x+l|取最大值时，则x的取值范围是14.（2021 重庆七年级期
20、中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值.如图1,在数轴上点A表示的数为-2,点8 表示的数为1,点 C表示的数为3,则 8,C之间的距离表示为：=A,C 之间的距离表示为：AC=|3-（-2）|=|3+2|.若点P 在数轴上表示的数为x,则 P,A之间的距离表示为：P A=|x-（-2）|=|x+2|,P,8 之间的距离表示为：PB=x-l.AB C1-1-1-1-1-1-i-1-1-（1）如图 1,-5-4-3-2 1 0 1 2 3 4 图1若点P 在点A左侧，化简|x+2 1 +1 x-11=；若点P 在线段AB上，化简|x+2|+|x-l|=；若点P在点8 右侧
21、，化简|x+2 1 +1 x-11=；由图可知，lx+2|+|x-l|的最小值是.（2）请 按 照（1）问的方法思考：|x+3|+|x-l|+|x-2|的最小值是.（3）如图2,在一条笔直的街道上有E,F,G,”四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为2 0 0 m.己知 E,F,G,”四个小区各有2 个，2 个，3 个，1 个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8 个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校.聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M 处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M 的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值
22、.5.（2021浙江宁波七年级期中）如图，点 A、B 在石 尸 G H图2数轴上分别表示实数。、b,A、8 两点之间的距离表示为A B,在数轴上A、8 两点之间的距离A B=|a-b|,请你利用数轴回答下列问题：（1）数轴上表示2 和 4 两 点 之 间 的 距 离 是,数轴上表示-1 和 2 的 两 点 之 间 的 距 离 是；（2）数轴上表示x 和-3 的两点A、8 之间的距离48=,如果A B=2,则 x 的值为；（3）|x+l|+|x+2|+lx-3|+|x-4|的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 5（4）-|x-2|的最大值为._ 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
23、_ _ _ _ _ _ _。16.（2022浙江杭州七年级期中）点 P,。在数轴上分别表示的数分别为b0p,q,我们把p,q 之差的绝对值叫做点P,Q 之间的距离，即PQ=|p-q|.如图，在数轴上，点 4,B,0,C,。的位置如图所示，则3 c =|3-1|=2；CO=q =l；M=|(-4)一(2)|=卜2|=2.请探索下列问题：-I.(1)计算”(-4)1=,它表示哪两个点之间的距离？.(2)点 M 为数轴上一点，它所表示的数为x,用含尤的式子表示P8=；当 P8=2时，X=；当 x=时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小.(3)|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-2018
24、|+|x-2019|的最小值为.17.(2022浙江杭州七年级阶段练习)问题一：有理数a,6,c对应的数轴上的点是A,B,C.如果A、B两点距离小于8,A C两点距离大于4,且 C 在 A B之间，a=-3.5,b,c 都是整数，试利用数轴求出b,c 的可能值问题二：已知点A 8 在数轴上表示的数分别为加，”(1)若 A,B两点的距离为，则 =(用 含 加，的式子表示)(2)由(1)的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x 的点到表示 的点的距离(3)若动点C 表示的数为无，当x 为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.0|x-2|+|x+3|；(2)|X-2|+|X+3|+|X+
25、5|；(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+.+|x-20|18.(2022浙江七年级期中)若不等式|x-4|+|x -2|+|x -l|+|x|2 a,对一切实数x 都成立，则”的取值范围是()A.a5 B.a5 C.a5 D.a5专 题2.绝对值化简问题绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题。题型1.已知范围的绝对值化简【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：判断绝对值符号里式子的正负；两数相减：大的数-小的数 0,转化到数轴上：右-左0；小的数-大的数 0,转化
26、到数轴上：左-右0.两数相加：正数+正数 0,转化到数轴上：原点右侧两数相加0；负数+负数,转化到数轴上：原点左侧两数相加0；正数+负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.去括号：括 号 前 是 去 括 号，括号内不变；括号前是“一”，去括号，括号内各项要变号.化简.例1.（2 0 2 2湖南长沙七年级期末）有理数、氏c在数轴上位置如图，则,-。|-卜+耳+忸-d的值为（）.-A.2a B.2a+2b-2c C.0 D.-2c变 式2.（2 0 2 2
27、 河南周口 七年级期末）有理数“，人在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式国+心1一口型的值是（）a b-a+b_ Q Q 6 A.-1 B.1 C.3 D.-3 a h I c l ab be ac abc例2.（2 0 2 1 长郡集团郡维学校初一月考）如果U+U+U=-i,那么厂订的值为（）abc a b b c a c a b cA.-2 B.-1 C.0 D.不确定变式2.（2 0 2 2内蒙古赤峰七年级期中）x、y、z是有理数且孙z v。，则 区+出+以 的 值 是（）x y zA.-3 B.3 或一 1 C.1 D.一3或 1题型2.未知范围的绝对值化简【解题技巧】绝对值的性质：
28、正数的绝对值是它本身，即 何=。；。的绝对值是o,即|q=o；负数的绝对值是它的相反数，即时=一。；绝对值具有非负性，即时20。例1.（2 0 2 2新都区校级月考）已知x为有理数，且|x-3|=2 x+3,则x的值为.变 式】（2 0 2 2河北七年级期中）若 人 氏c是有理数,间=3,附=1 0,c=5,且a,b异 号,b,c同号，求a-b-（-c）的值.变式2.（2 0 2 1江苏九年级）已知1】-汴1+旧,求l x-1例2.（2 0 2 2福建福州七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”.如：|x|=2,|2 x -1|=3,都是含有绝对值的方程
29、.怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程一不含有绝对值的方程.我们知道，由=2,可得x=2或x=-2.【例】解方程：|2x-11=3.我们只要把1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.解：根据绝对值的意义，得 2 x-1=3 或 2 x-1=-3.解这两个一元一次方程，得 x=2 或 x=-l.根据以上材料解决下列问题：解方程：根-2|=4；（2）拓展延伸：解方程枕-2|=|3x+2|.变式3.（2022 湖北咸宁七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想.例 如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A 表示的数为a,B 表示
30、的数为6,则 A,B 两点的距离可用式子|。-目（表示，例 如:5 和-2 的距离可用|5-（-2）|或2-5|表示.（1）【知识应用】我们解方程卜-5|=2 时，可用把卜-5|看作一个点x 到 5 的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P 表示的数为x）与 5 的距离为2,所以该方程的解为x=7或x=3 所以，方程,+5|=2 的解为一（直接写答案，不离过程）.（2）【知识拓展】我们在解方|x-5|+|x+2|=7,可以设A 表示数5,8 表示数一 2,P 表示数x,该方程可以看作在数轴上找一点P 使 得 申+总=7,因为A8=7,所以由可知，P 在线段A B 上都可，所以该方程有无数解，
31、x 的取值范围是-2 4 x 4 5.类似的，方程|x+4|+|x-6|=10的一（填“唯一”或“不唯一”），x 的取值是，（“唯一”填 x 的值，不唯一填x 的取值范围）；（3）【拓展应用】解方程以+4|+6|=14课后专项训练：1.（2022 全国七年级课时练习）如图，数轴上的三点4,B,C 分别表示有理数小b,c,则化简|a-bHc-a|+|b-c|的结果是（）j B O C A.2a-2c B.0C.2a-2b D.2b-2c2.（2022 全国七年级课时练习）已知a,方两数在数轴上的位置如图所示，贝 U代数式|4+|。-2卜怜+1|的结 果 是（）b a I I I A.-2,a4-
32、1 B.2a-1C.3 D.1-1 0 1 23.（2021浙江杭州市弘益中学七年级期中）若 2 a”或“（1）判断正、负，用填空：a+氏 0,c a 0,b+c 0,b c 0,a b 0；（2）化 简:a+a+b+c-a-2b+c-b-c|+|a-b|.8.（2021抚顺县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4 和 1 的 两 点 之 间 的 距 离 是；表 示-3 和 2 两 点 之 间 的 距 离 是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于-n.（2）如果|x+l|=3,那么 x=；（3）若|a-3|=2,|6+2尸 1,且数a、b 在数轴上表示的数
33、分别是点4、点 B,则A、B 两 点 间 的 最 大 距 离 是,最 小 距 离 是.（4）若数轴上表示数。的点位于-4 与 2 之间，则|a+4|+|a-2|=.A%A i（i ；：4 2 产9（2022重庆渝北七年级期末）已知A,B,C 三点在数轴上对应的数为a,b,c,它们在数轴上的位置如图所示，化简：|a+A+d卜 A-a|=.b0c 10.（2022湖北十堰七年级期末）有理数、b、。在数轴上的位置如下图所示，化简：|4+十上一目+|4+耳=.b a 0 1 1.（2022全国七年级课时练习）|x-2|+|x-4+x-6|+|x-8|的最小值是 a,回+也1 +11=T,那 么 她+也
34、+四+四 的 值 为（）a b c ab be ac abcA.-2 B.-1 C.0 D.不确定1 2.（20 22全国七年级专题练习）若就存0,则 +回+白 的 值 为（）a b I QA.3 或 1 B.3 或 0 或 1 C.3 或 0 D.0 或 11 3.（20 22江西上饶七年级期末）已知x+a O、x+bx O,那 么 包 色+在 叫 =_ _ _ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ 或x+a x+bm n1 4.（20 22江西 峡江县教学研究室七年级期末）已知相、”是两个非零有理数，则 厨-同=1 5.（20 22揭阳期中）“数形结合”是一种重要的数学方法
35、.如在化简同时，当在数轴上位于原点的右侧时，间=4；当。在数轴上位于原点时，间=0；当。在数轴上位原点的左侧时，同=-4.试用这种方法解决 下 列 问 题.（1）当 4=1.5,=-2.5 时，一 耳=；（2）请根据a、b、c 三个数在数轴上的a Ibl位置求11+A+4r的值.化简：a-b-2a+b+b+c.lai lb I IcI h a 1 6.（20 22浙江杭州七年级期末）阅读与写作：一个数学问题，在特定的题设下，有时其结论并不唯一，因而我们需要对这一问题进行必要的分类，将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的结果进行归纳综合，这种
36、解决问题的思维方法在数学上称为“分类讨论”例如在解方程|x+3|=2 时，我们就可以利用这种思维方式来解决.当x+3 2 0 时，原方程可化为x+3=2,解得x=-l;当x+3 0 时，原方程可化为工+3=-2,解得x=-5.所以原方程的解是x=-1 或x=-5.（1）请你用这种思维方式解方程|3 x-2|-4 =0.（2）围绕“分类讨论”这一主题撰写一篇数学小文章，题目自拟.（要求：书写端正，字数限于1 0 0 字内.）1 7.（2 0 2 2 广东九年级竞赛）已知x 为实数，且|3%-1|+四-1|+|5*-1|+|1 7x-1|的值是一个确定的常数,则这个常数是（）.A.5 B.1 0
37、C.1 5 D.75专 题 0 1 绝 对 值 压 轴 题（最值与化简）专项讲练专题1.最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律,解题时能达到事半功倍的效果.题型1.两个绝对值的和的最值【解题技巧】卜一。|+,一 4目的是在数轴上找一点X,使 X到。和 b的距离和的最小值：分类情况（X的取值范围）图示卜-4+卜一4取值情况当x 5 B.xW-2或x25 C.-2 x5 D.-2 x5【答案】D【分析】根据题意将|x+2|+k5|可以理解为数轴上表示实数X与实数-2 的距离，实数X与实数5 的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即
38、可得到答案.【解析】方法一：代 数 法（借助零点分类讨论）当 x 5 时,|x+2|+|x-5|=(x+2)+(x-5)=2 x-3；，|x +2 +|x 5有最小值，最小值为7,此时一2x 2时，当-5人2时，当5时去绝对值进行求解即可；(3)同(2)利用分类讨论的思想进行求解即可.【详解】W：(1)1 5-(-2)|=|5+2|=7.故答案为：7；(2)当x 2时，|x+5|+|x-2|=x+5+x-2=7,解得：x=2与x 2矛盾，故此种情况不存在；当-5勺区2 时,|x+5|+|x -2|=x+5+2 -尤=7,故-5 x 2 时,使得|x+5|+|x -2|=7,故使得|x+5|+|
39、x -2|=7 的整数是-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；当 x -5 时，|x+5|+b -2|=-x -5+2 -x=-2 x+3=7,得 x=-5 与 x 6 时，卜-3|+|x -6|=x -3+x -6=2x-9 3；当 3人6 时，|A-3|+|X-6|=X-3+6-X=3；当 x V 3 时，卜-3|+|x -6|=3-x+6 -x=9 -2 x 3.故|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3.【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答.例2.（2 0 2 2河南郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的
40、数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.例如：从“形 的角度看：|3-1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与-1的两点之间的距离.从“数 的角度看：数轴上表示4和-3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）.根据以上阅读材料探索下列问题：（1）数轴上表示3和9的 两 点 之 间 的 距 离 是；数轴上 表 示2和-5的 两 点 之 间 的 距 离 是；（直接写出最终结果）（2）若数轴上表示的数x和-2的两点之间的距离是4,则x的值为；若x为数轴上某动点表示的数，则式子l x+1 1 +l
41、x-3|的 最 小 值 为.【答案】（1）6,7；（2）一6或2；4【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；由于所给式子表示x到一1和3的距离之和，当x在一1和3之间时和最小，故只需求出一1和3的距离即可.（1）解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是I 9-3 I=6,数轴上表示2和-5的两点之间的距离是I2-（-5）I=7,故答案为：6,7；（2）解：根据题意，得：I x-（-2）|=4,I x+2 I=4,.+2=4 或 x+2=4,解得：尸一6或42,故答案为：-6或2；.|x+l|+|x-3|表示x到一 1和3
42、的距离之和，.当x在一 1和3之间时距离和最小，最小值为I-1一3|=4,故答案为：4.【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键.变 式2.（2 0 2 2思明区校级期末）同学们都知道|5 -（-2）|表示5与（-2）之差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5 -（-2）|=.（2）找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7成立的整数是.（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值
43、的方法去绝对值就可以了.（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的 值.（3）根 据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.【解答】解：（1）原式=|5+2|=7故答案为：7；(2)令 x+5=0 或x -2=0 时，则 x=-5 或 x=2当 x V-5 时，二-(x+5)-(x-2)=7,-x -5 -x+2l,x5(范围内不成立)当-5 x 2 时，(x+5)+(x -2)=7,x+5+x-2=7,2 x=4,x2,x2(范围内不成立),综上所述，符合条件的整数x有：-5,-4,-3,-2
44、,-1,0,1,2；故答案为：-5,-4,-3,-2,-1.0,1,2；(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|有最小值为3.【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性.题型2.两个绝对值的差的最值【解题技巧】卜一 4 Tx-9目的是在数轴上找一点x,使x到。和的距离差的最大值和最小值：分类情况(X的取值范围)图示,一。一,一。取值情况当X 4时，k-卜k一_,一4的值为定值，即为x a b当aWxW。时卜a*3 技 一 况3一 5不 b-,一 耳b-J卜*b|1
45、a bT的值为定值，即为结论：式子卜4一卜在xWa时，取得最小值为一卜可；在时，取得最大值,一4。例1.(2 0 2 2浙江 温州七年级开学考试)代数式|x-1|-仇+2|的最大值为小 最小值为江 下列说法正确的是()A.a3,b0 B.a0,b-3 C.a3,b-3 D.a3,6 不存在【答案】C【分析】分三种情况：当 疟1时；当-2 x l时；当烂-2时；进行讨论可求代数式|x-l H x+2|的值,即可求出a与b的值.【详解】解：当 疟1 时，|x -1|-|x+2|=x -1 -x -2=-3；当-2 x l 时，|x -1|-|x+2|=-(x -1)-(x+2)=-2 x -1 ；
46、当 x W -2 时，|x -1|-|x+2|=-(x -1)+(x+2)=3.,代数式|x -1|-|x+2|的最大值为a,最小值为b,*.a=3,b=-3.故选：C.【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零.注意分类思想的运用.变 式1.(2 0 2 2.上海七年级期中)代数式|x-l|-|x +2|,当x -2时，可化简为；若代数式的最大值为。与最小值为匕，则必的值.【答案】3 -9【分析】当 1时，根据当一2 M X M 1时，3
47、 4 2 x 1 4 3,求出a,b即可.【详解】解：当x -2时，x-l 0,x+2 l 时，|x 1 1|x+2 1=(x 1)(x+2)=-3当-2W1 时,-3 -2 x-l 3,代数式|x-l|-|x +2|的最大值为3,最小值为-3,.a=3,b=-3,，a b=-9,故答案为:3,-9.【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式.例2.(2 0 2 2 湖北十堰七年级期中)设-1人3,则|x-3|-g|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为一【答案】8 5【分析】先根据-1 3,确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可.【详解】:-1
48、-3,当-1 W启0 时，|x -3|-y M+|.r+2|=3 -x+g x+x+2=；x+5,最大值为 5,最小值为 4.5；当。刍W 3 时，|x -3|-x+x+23-x-x+x+2-x+5,最大值为 5,最小值为 3.5,最大值与最小值之和为&5；故答案为：8.5.【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键.变式2.(2 0 2 2 湖北武汉七年级期中)我们知道，M l的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B之间的距离可表示为|a-b|,请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：(1
49、)数轴上的数x与1所对应的点的距离为一，数x与-1所对应的点的距离为一；(2)求的最大值；(3)直接写出|+1|+5+2|+5+3|+心+4|-|彳 一1|一心一2|一一3|一|一4|的 最 大 值 为.【答案】(1)|x-l|,|x+l|；(2)2；(3)2 0【分析】(1)根据题意即可列式解答；(2)由x的取值范围分三种情况：当烂-1时，当-1 W X W 1时，当x 2 1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；(3)根 据(2)得到规律，依次进行计算即可.【详解】(1)由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为卜-1|,数x与-1所对应的点的距离为|x (-l)|=k+l,
50、故答案为：|x+l|;(2)卜-1|表示x到1之间的距离，|x+l|表示x到-1之间的距离，当烂-1 时，|x-l|=-x,|x+l|=-l-x,|x+l|-|x-l|=(-1-x)-(1-x)=-2；当-iW x W l 时，|x+l|=x+l,|x+I|-|x-1 1 =(x+1)-(1-x)=2 x 2；当 x N l 时，|x+l|=x+1,(x+1)-(x-1)=2,的最大值为 2(3)由(2)知：I x+llT x-ll的最大值为2,由此可得：I x+2|-|x-2|的最大值为4,|x+3|-|x 3|的最大值是6,上+4|一心-4|的最大值是6|x+l|+|x+2|+|x+3|+