《2022-2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题--二元一次方程的六种实际应用含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题--二元一次方程的六种实际应用含解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题11兀次方程的六种实际应用类型一、方案问题例 1.某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售.当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8 天刚好完成任务.（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输.已知每辆大货车一次可以运输健身器械5 0 台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元.在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低
2、运输费用是多少？【变式训练1】为庆祝建党100周年，学校党支部号召广大党员积极开展 学知识、获积分、赢奖品!”活动,该校准备到苏宁电器超市采购奖品，发现该超市销售A、8 两种型号的电风扇，A 型号每台进价为190元、B型号每台进价为160元，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售额A 种型号8 种型号第一周3 台3 台1320 元第二周2 台6 台1680 元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）（1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价：（2）若超市准备再采购4 0 台这两种型号的电风扇，且 A 型号电风扇采购数量不超过B 型号数量的2 倍,当这4 0 台电风扇全部出售给
3、学校且利润不低于1850元，求超市共有哪些采购方案？【变式训练2】己知：用2辆A型车和1辆8型车载满货物一次可运货1 1吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货1 3吨.根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)某物流公司现有货物3 1吨货物，计划同时租用A型车4辆，5型车辆，(，人均大于0),一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请用含有的式子表示。，并帮该物流公司设计租车方案.类型二、行程问题例1.小颖家离学校1 8 8 0 m,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了 1 6 m i n,已知小颖在上坡路上的平均速度是4
4、.8 k m/h,在下坡路上的平均速度是1 2 k m/h .小颍上坡、下坡各用了多长时间？【变式训练1】甲、乙两人同时从A,3两地出发赶往目的地3,A,甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经2.5小时两人相遇.已知在相遇时甲比乙多行驶了 7 5千米，相遇后经过1小时甲到达8地.(1)求甲、乙两人行驶的速度.(2)在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距3 5千米.【变式训练2】一条笔直的公路上依次有A、B、C 三地，甲、乙两车同时从B 地出发，匀速行驶.乙车直接驶往C 地，甲车先到A 地取一物件后立即调转方向驶往C 地(甲车取物件的时间忽略不计)，甲车每小时比乙车多行
5、驶3 0 km.已知两车间距离y(k m)与甲车行驶时间x(h)的关系图象.(1)求两车的速度分别是多少？(2)填空：A、C 两地的距离是：,图中的t=(3)求甲车行驶多长时间，两车相距30km.【变式训练3】滴滴打车 深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/千米计算，耗时费按q 元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：时间(分钟)里程数(千米)车费(元)小明7512.1小亮64.510.8(1)求 p,q的值；(2)滴滴 推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8 千米后，超出的部分要加收0.6元/
6、千米的里程费.某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，己知两次“滴滴打车 行驶的平均速度为 40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车 的里程数？类型三、工程问题例1.长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济，将一段长为180米的沿江河道整治任务交由A、B两工程队先后接力完成.A工作队每天整治12米，8工程队每天整治8米，共用时2 0天，求4 8两工程队分别整治河道多少米？（1）根据题意，七（1）班甲同学列出的方程组如下.根据甲同学所列的方程组，请你分别指出未知数X、y表x+y =20示的意义：O X表示 y表示.l2 x +8y=l8 0（2）如果乙同学
7、直接设A工程队整治河道x米，8工程队整治河道y米，列出了一个方程组，求A、B两工程队分别整治河道多少米，请你帮助他写出完整的解答过程.【变式训练1】现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，需要1 2天完成；若甲队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要9天才能完成.求：（1）甲乙两个装修队单独完成分别需要几天？（2）已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工总费用为70000元,则甲装修队施工多少天？（3）甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人1 0人，该工程需要在1 3天 内（包 括1 3天）完成,该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任
8、务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？【变式训练3】某建筑公司为了完成一项工程，设计了两种施工方案.方案一：甲工程队单独做需4 0 天完成；方案二：乙工程队先做30天后，甲、乙两工程队一起再合做20天恰好完成任务.请问：(1)乙工程队单独做需要多少天才能完成任务？(2)现将该工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了 x 天，乙工程队做另一部分工程用了 y 天，若 x,y 都是正整数，且甲工程队做的时间不到15天，乙工程队做的时间不到70天，那么两工程队实际各做了多少天？类型四、数字问题例 L若在一个两位正整数N 的个位数字与十位数字之间添上数字2,组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N
9、 的 诚勤数，如 34的 诚勤数为324；若将一个两位正整数M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为M的 立达数，如 34的 立达数”为 36.(1)求证：对任意一个两位正整数A,其 诚勤数 与 立达数 之差能被6 整除；(2)若一个两位正整数B 的 立达数 的各位数字之和是8 的各位数字之和的一半，求 8 的值.【变式训练1】有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0,则它与这个两位数的和是1 4 6,如果用这个两位数除以这个一位数，则商6 余 2,求这个两位数和一位数.【变式训练2】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组
10、的应用题.由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷.请根据下列诗意列方程组解应用题.周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3,个位上的数字的6 倍正好等于这个两位数，求这个两位数.类型五、年龄问题例 1.7 月 4 日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛.下面是两个孩子与记者的部分对话：妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁.哥哥：两年后，妹妹年龄的3 倍与我的
11、年龄相加恰好等于爸爸的年龄.根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现住哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？【变式训练1】一名3 4 岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话:根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.【变式训练2】聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时,他还发现，过 1 0 年，妈妈岁数减1 (岁)刚好是自己岁数加1 (岁)的 2倍；再过1 年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7,求聪聪和他妈妈现在的年龄.类型六、利润问题例 L 某商店销售A、3两种型号的打印机，销售3台A型和2台5
12、型打印机的利润和为5 6 0 元，销售1 台A型和4台8型打印机的利润和为7 2 0 元.(1)求每台A型和B型打印机的销售利润；(2)商店计划购进A、8两种型号的打印机共1 2 0 台，其中A型打印机数量不少于3型打印机数量的一半，设购进A型打印机。台，这 1 2 0 台打印机的销售总利润为卬元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？(3)在(2)的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将 A型打印机的出厂价下调加元(0 2 1()0),但限定商店最多购进A型打印机5 0 台，且 A、8两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这1 2 0台打印机总利润最大的进货方
13、案.【变式训练1】某商品经销店计划购进A，8两种纪念品，若购进A种纪念品7件，8种纪念品8件共需3 8 0 元；若购进A种纪念品1 0 件，3种纪念品6件共需3 8 0 元.(1)求 A,3两种纪念品每件的进价分别为多少元；(2)若该商店每销售1 件 A种纪念品可获利5元,每销售1 件 8种纪念品可获利7元，该商店准备购进A ,B两种纪念品共4 0 件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于2 1 6 元，求该商店最多可以购进A种纪念品多少件.【变式训练2】玩具批发市场A、8玩具的批发价分别为每件3 0 元和5 0 元，张阿姨花1 2 0 0 元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件3 5 元与
14、6 0 元价格出售.设购入A玩具为X件，8玩具为丁件.(1)若张阿姨将玩具全部出售赚了 2 2 0 元，则张阿姨购进A、B型玩具各多少件？(2)若要求购进A玩具的数量不得少于3玩具的数量，问如何购进玩具A、3的数量并全部出售才能获得最大利润，此时最大利润为多少元？专题1 1二元一次方程的六种实际应用类型一、方案问题例 1.某工厂急需生产一批健身器械共5 0 0 台，送往销售点出售.当生产1 5 0 台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4 倍，一共用8天刚好完成任务.（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足1 0 辆，小货车数量
15、充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输.已知每辆大货车一次可以运输健身器械5 0 台，每辆车需要费用1 5 0 0 元；每辆小货车一次可以运输健身器械2 0 台，每辆车需要费用8 0 0 元.在运输总费用不多于1 6 0 0 0 元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【答案】（1）原来每天生产健身器械5 0 台；（2）方案一：当 m=8 时，n=5,费用为：1 6 0 0 0 元；方案二:当 m=9 时，。=3,费用为：1 5 9 0 0 元，方案二费用最低.【解析】（1）设原来每天生产健身器械x 台,根据题意得:1 5 0 5 0
16、 0-1 5 0 0+-=8尤 1.4x解这个方程得x=5 0,经检验x=5 0 是原方程的根，并符合实际答原来每天生产健身器械5 0 台；（2）设运输公司用大货车m辆，小货车 辆m 1 0 根据题意，5 0 m +2 0 =5 0 0 1 5 0 0/W+8 0 0/2 1 6 0 0 0 由得n-25 2.5m，把代入得1 5 0 0 m+8 0 0（2 5-2.5 加）8S m 1 0,0 8 m 1 0方案一：当 m=8 时，“=2 5-2 0=5,费用为：8 x1 5 0 0+5 x8 0 0=1 2 0 0 0+40 0 0=1 6 0 0 0 元;方案二：当 m=9 时，n=3,
17、费用为 9 x1 5 0 0+3 x8 0 0=1 3 5 0 0+2 40 0=1 5 9 0 0 元,方案二费用最低.【变式训练1】为庆祝建党100周年，学校党支部号召广大党员积极开展 学知识、获积分、赢奖品!”活动,该校准备到苏宁电器超市采购奖品，发现该超市销售A、3 两种型号的电风扇，A 型号每台进价为190元、B型号每台进价为160元，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售额A 种型号B 种型号第一周3 台3 台1320 元第二周2 台6 台1680 元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）（1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价：（2）若超市准备再采购4 0
18、台这两种型号的电风扇，且 A 型号电风扇采购数量不超过8 型号数量的2 倍，当这4 0 台电风扇全部出售给学校且利润不低于1850元，求超市共有哪些采购方案？【答案】（1）A 型电风扇的销售单价为240元/台，8 型销售单价为200元/台；（2）共有2 种采购方案：方案1，采购A 型电风扇为2 5 台，3 型电风扇为15台：方案2,采购A 型电风扇为26台，5 型电风扇为14台【解析】（1）设A 型电风扇的销售单价为X 元/台，8 型电风扇的销售单价为y 兀/台x=2 40y =2 0 0 3 x+3 y =1 3 2 0，解得2 x+6 y =1 6 8 0答：A 型电风扇的销售单价为240
19、元/台，3 型销售单价为200元/台（2）设A 型电风扇采购为加台,由题意得 m l 8 5 0解得2 5 4 mW .3,根为正整数解，二 利=2 5、2 6,共有2 种采购方案方案1,采购A型电风扇为2 5 台，B型电风扇为15台:方案2,采购A 型电风扇为26台，5 型电风扇为14台.【变式训练2】已知：用 2 辆 A型车和1 辆 3型车载满货物一次可运货I I 吨；用 1 辆 A型车和2辆 3型车载满货物一次可运货1 3 吨.根据以上信息，解答下列问题：（1）1 辆 A型车和1 辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?（2）某物流公司现有货物3 1吨货物，计划同时租用A型车。辆，5型车
20、8辆，（a,。均大于0）,一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请用含有的式子表示。，并帮该物流公司设计租车方案.Q I 0人【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆5型车装满货物一次可运5吨；（2）4=，有两种租车方案：A型车2辆，3型车5辆或A型车7辆，3型车2辆【解析】（1）设每辆A型车装满货物一次可以运货“吨、8型车装满货物一次可以运货 吨.2 x +y =l l x =3依题意列方程组得：，解方程组，得：.x+2y=l3 y=5所以1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆8型车装满货物一次可运5吨.（2）结合题意和（1）得：3 a +5。=3 1,解得：a=-?.力都是正整数,qy
21、 b=5 b=2方 案-：A型车2辆，3型车5辆;方案二：A型车7辆，8型车2辆；所以有两种租车方案：A型车2辆，8型车5辆或A型车7辆，5型车2辆.类型二、行程问题例1.小颖家离学校1 880 m,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了 1 6 m i n ,已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8k m/h,在下坡路上的平均速度是1 2 k m/h.小颍上坡、下坡各用了多长时间？【答案】小颖上坡用了 l l m i n，下坡用了 5 m i n.【解析】设小颖上坡用了 x小时，下坡用了 y小时，（,1 11 6 x-%+y =6 0 ,解得 I6 0，4.8x +1 2 y =
22、1.88 y =6 0即x =l l m i n，y =5 m i n,所以，小颖上坡用n i m i n,下坡用了5 m i n.【变式训练1】甲、乙两人同时从A,5两地出发赶往目的地3,A,甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经2.5小时两人相遇.己知在相遇时甲比乙多行驶了75千米，相遇后经过1小时甲到达B地.(1)求甲、乙两人行驶的速度.(2)在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距3 5千米.【答案】(1)甲：5 0 k m/h,乙：2 0 k m/h；(2)2/?或3【解析】(1)设甲的速度为x A m/6,乙的速度为)流?/，由题意得2.5 x-2.5 y
23、=75l x x =2.5 yx =5 0y=20,解得所以甲的速度为5()分/，乙的速度为2 0 A m/(2)由(1)可得，A B两地的距离为：5 0 x 3.5 =1 7 5 6，设甲、乙行驶f小时后两人相距3 5 A m相遇前甲、乙相距3 5 m山题意可得5 0 f+2 0 1 =1 75 3 5,解得：r=2相遇后甲、乙相距3 5 k w，由题意可得5(k +2 0 r=1 75+3 5,解得：t=3所以当甲乙行驶2小时或3小时两人相距3 5 k w【变式训练2】一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，匀速行驶.乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转
24、方向驶往C地(甲车取物件的时间忽略不计)，甲车每小时比乙车多行驶3 0 k m.已知两车间距离y (k m)与甲车行驶时间x (h)的关系图象.(1)求两车的速度分别是多少？(2)填空：A、C两地的距离是：,图中的t=：(3)求甲车行驶多长时间，两车相距3 0 k m.【答案】(1)v甲=9 0 k m/小 时,V/.=6 0 k m/小时；(2)3 0 0 k m,一；(3)0.2小时或4小时3【解析】解：(1)v甲+v 4=1 5 0 ；v甲-v z,=3 0,咻+彩=1 5 0；即 c c o 结合可得：v甲=9 0 k m/小时，V z.=6 0 k m/小时；%V乙=3 0 ，(2)
25、乙用3.5小时候到达C 地,故 B、C 之间的距离为：Vct=3.5x60=210km.甲用1 小时从B 到达A,故 A、B 之间的距离为Vwt=90 xl=90km,综上可得A、C 之间的距离为：AB+BC=300km；一寸#300 10,甲需要先花1 小时从B 到达A,然后再 花 前 小时从A 到达C,“-10,13从而可得t=-；3 3(3)当两车反向运动时:30+150=0.2(小时)13当两车同向运动时：-30+90=4(小时)：3答：甲车行驶0.2小时或4 小时，两车相距30km.【变式训练3】滴滴打车 深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/千米
26、计算，耗时费按q 元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：时间(分钟)里程数(千米)车费(元)小明7512.1小亮64.510.8(1)求 p,q的值；(2)滴滴 推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8 千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费.某天，小丽两次使用 滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次 滴滴打车 行驶的平均速度为 40千米/小时，求小丽第一次 滴滴打车”的里程数？【答案】(1)p=2；g=0.3；(2)7 或 13.【解析】(1)由题意5 p+7g=12.14.5 p+6y=10.8解得(2)不妨
27、设第一次的路程为x 千米，有三种可能：第一次路程不超过8 千米，第二次的路程超过8 千米，2x20+0.3(204-40)x60+(20-X-8)x0.6=52,解得 x=7；第一次路程超过8 千米，第二次的路程也超过8 千米，2x20+0.3(20+40)x60+(x-8)x0.6+(20-X-8)x0.6=52,不存在;第一次路程超过8 千米，第二次的路程不超过8 米，2x20+0.3(20+40)x60+(x-8)x0.6=52,解得 x=13.类型三、工程问题例 1.长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济，将一段长为180米的沿江河道整治任务交由小B两工程队先后
28、接力完成.A 工作队每天整治12米，8 工程队每天整治8 米，共用时20天，求 4 8 两工程队分别整治河道多少米？（1）根据题意，七（1）班甲同学列出的方程组如下.根据甲同学所列的方程组，请你分别指出未知数X、y 表示的意义:x+y =2012x+8=180 x表示_ _ _ _ _ _ y 表示（2）如果乙同学直接设A 工程队整治河道x 米，B工程队整治河道y 米，列出了一个方程组，求 A、8 两工程队分别整治河道多少米，请你帮助他写出完整的解答过程.【答案】（1）A 工程队整治河道的天数，B工程队整治河道的天数；（2）A 工程队整治河道60米，8 工程队整治河道120米【解析】。）根据题
29、意：x 表示A 工程队整治河道的天数，y 表示8 工程队整治河道的天数，故答案为：A 工程队整治河道的天数，B工程队整治河道的天数（2）设A工程队整治河道x 米，8 工程队整治河道y 米.x+y =180 r元=60根据题意得，x y，解得，-+-=20 y=120112 8 1答：A 工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米.【变式训练1】现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，需要12天完成；若甲队先做5 天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要9 天才能完成.求：（1）甲乙两个装修队单独完成分别需要儿天？（2）已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工
30、总费用为70000元,则甲装修队施工多少天？（3）甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人10人，该工程需要在13天 内（包 括 13天）完成,该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4 天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？【答案】（D甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20天、30天；（2）10天；（3）2 人【解析】（1）设甲装修队单独完成此项工程需要x 天.5 9根据题意，得一+1 =1,解得x=20,x 1 2经检验，x=20 是原方程的解.1 +1 2 20=3 0,答：甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20,3 0 天.（2）设实际工作中甲、乙两装修队分别做
31、a、b天.根据题意，得a b,-1-=120 3 0 ，解得 a=1 0,b=1 5.4 0 0 0 a+20 0 0/?=7 0 0 0 0答：要使该工程施工总费用为7 0 0 0 0 元，甲装修队应施工1 0 天.（3）设乙装修队调走m人，由题意可得：E l m 的最大整数值为2,答：乙队最多调走2 人.【变式训练3】某建筑公司为了完成一项工程，设计了两种施工方案.方案一：甲工程队单独做需4 0 天完成；方案二：乙工程队先做3 0 天后，甲、乙两工程队一起再合做20天恰好完成任务.请问：（1）乙工程队单独做需要多少天才能完成任务？（2）现将该工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了 x
32、 天，乙工程队做另一部分工程用了 y天，若 x,y都是正整数，且甲工程队做的时间不到1 5 天，乙工程队做的时间不到7 0天，那么两工程队实际各做了多少天？【答案】（1）乙工程队单独做需要1 00天才能完成任务；（2）甲队实际做了 1 4 天，乙队实际做了 6 5 天【解析】（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由题意，得：型 型+2 0 x -=l,解得：x=1 0 0,经检验，x=1 00是原方程的解.x 4 0答：乙工程队单独做需要1 00天才能完成任务；X V 3（2）根据题意得：一 +上=1,整理得：y=1 00-x.4 0 1 00 2S y 7 0,01 00-x 1 2.又取
33、15且为整数，取=1 3 或 1 4.当x=1 3时，y不是整数，所以x=13不符合题意，舍去.当 x=14 时，y=100-x l4=1 0 0 -35=65.2答:甲队实际做了 14天，乙队实际做了 65天.类型四、数字问题例1.若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2,组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的 诚勤数，如34的“诚勤数”为324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的 立达数，如34的 立达数”为36.（1）求证：对任意一个两位正整数A,其 诚勤数 与 立达数 之差能被6整除；（2）若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各
34、位数字之和的一半，求8的值.【答案】（1）见解析；（2）8的值为68或59.【解析】（1）设A的卜位数字为a,个位数字为b,则A=10o+b,它的“诚勤数”为100a+20+b,它的 立达数”为10a+b+2,01OOa+2O+b-（10a+b+2）=90o+18=6（15a+3）,Sa为整数，H15a+3是整数，则 诚勤数 与 立达数 之差能被6整除；（2）设B=10m+n,lm9,0n9（8加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），0B+2=lOm+n+2,则 8 的 立达数”为 10(m+1)+(n+2-10),fflm+l+n+2-10=(m+n),整理，得 m+n=14,201m
35、9,0n9,m=8 fm=6 1m=9 1m=5 1m=7n=6 n=8 n=5 n=9 n=7经检验：77、86和95不符合题意，舍去,圈所求两位数为68或59.【变式训练1】有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0,则它与这个两位数的和是1 4 6,如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2,求这个两位数和一位数.【答案】这个两位数是56,一位数是9【解析】设两位数为x,一位数为y,根据题意,得:x+10y=146x=6y+2，解得:x=56y=9答：这个两位数是56,一位数是9.【变式训练2】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方
36、程和方程组的应用题.由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷.请根据下列诗意列方程组解应用题.周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3,个位上的数字的6 倍正好等于这个两位数，求这个两位数.【答案】这个两位数是36.【解析】设这个两位数十位上的数字是X,个位上的数字是y,x+3 =y fx =3根据题意，得匕,解得=1 0 x+y y =6答:这个两位数是36.类型五、年龄问题例 1.7 月 4 日，20
37、20长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛.下面是两个孩子与记者的部分对话：妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁.哥哥：两年后，妹妹年龄的3 倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄.根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现荏哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？【答案】现在哥哥10岁，妹妹6 岁.x+y =1 6 f x =1 0【解析】设现在哥哥x 岁，妹妹y 岁，根据题意得 -c,、，解得 ，答：现在哥哥10岁，妹妹6 岁.【变式训练1】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
38、【答案】妹妹的年龄是6 岁，哥哥的年龄是10岁.【解析】设妹妹的年龄是x 岁，哥哥的年龄是y 岁，依题意，得:x+y=6 /3(x+2)+(y +2)=3 4 +2 解 得：x =6y =i o答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是1 0岁.【变式训练2】聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过1 0年，妈妈岁数减1 （岁）刚好是自己岁数加1 （岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7,求聪聪和他妈妈现在的年龄.【答案】聪聪现在的年龄为1 4岁，妈妈现在的年龄为4 1岁.【解析】（1）设聪聪的年龄为（1 0
39、x+y）岁，则妈妈的年龄为（1 0 y+x）岁，根据题意得:x+l+y+l=710y+10+x-l=2(10 x+10+y+l)解得:x=ly=4答：聪聪今年1 4岁，妈妈今年4 1岁.类型六、利润问题例1.某商店销售A、3两种型号的打印机，销售3台A型和2台3型打印机的利润和为5 6 0元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为7 2 0元.（1）求每台A型和3型打印机的销售利润；（2）商店计划购进A、8两种型号的打印机共1 2 0台，其中A型打印机数量不少于8型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这1 2 0台打印机的销售总利润为卬元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使
40、销售总利润最大？（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调加元（0（加1 0 0）,但限定商店最多购进A型打印机5（）台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这1 2 0台打印机总利润最大的进货方案.【答案】（1）每台A型打印机的利润为8 0元，每台5型打印机的利润为1 6 0元；（2）当商店购进A型号的打印机4 0台，5型号的打印机8 0台时，才能使销售总利润最大；（3）综上所述，商店销售这1 2 0台打印机总利润最大的进货方案为:方案一：当8 0（机 1 0 0时，A型打印机都进货5 0台，B型打印机都进货7 0台：方案二：当加=8 0时，A
41、型打印机满足4 0 W a W 5 0的整数；方案三：当0根8 0时，A型打印机都进货4 0台，8型打印机都进货8 0台；【解析】（1）设每台A型打印机的利润为x元，每台8型打印机的利润为y元，根据题意得:3 x +2 y =5 6 0 x+4 y =7 2 0解得:x =8 0y =1 6 0，每台A型打印机的利润为80元，每台8型打印机的利润为160元.答：每台A型打印机的利润为8()元，每台B型打印机的利润为160元.(2)团购进A型打印机。台，则5型打印机数量为(120-。)台，由题意得：w=80a+(120-a)xl60=-80a+19200,800,；卬随。的增大而减小，,即“24
42、0,是正整数，.a=40时，w最大，120 4()=8()(台)，2当商店购进A型号的打印机40台，B型号的打印机80台时，才能使销售总利润最大.答：当商店购进A型号的打印机40台，8型号的打印机80台时，才能使销售总利润最大.(3)A形打印机利润为(80+m)元，8形打印机利润不变，由题意得：卬=(80+m)a+(120-6f)x 160=(m-80)。+19200,旦 40工。50,当 初 一800时，即80加100时，卬随。的增大而增大，;.a =50时,w最大,此时 120-a=70(台)，当相80=0时，即加=80时，w=19200.，当。满足40WaW50的整数时，卬最大.当加一8
43、()0时.，即0加80时，卬随a的增大而减小，,当a=40时，卬最大，此时120 a=80(台)，综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为：方案一：当80小100时，A型打印机都进货50台，B型打印机都进货7 0台；方 案：当2 =80时，A型打印机满足40WaW50的整数即可.方案三：当0(加80时，A型打印机都进货4 0台，8型打印机都进货80台；【变式训练1】某商品经销店计划购进A,B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品8件共需380元：若购进A种纪念品10件，3种纪念品6件共需380元.(1)求A,3两种纪念品每件的进价分别为多少元；(2)若该商店每销售1件A种
44、纪念品可获利5元,每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备购进A,3两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，求该商店最多可以购进A种纪念品多少件.【答案】(1)20元，30元；(2)32件【解析】(1)设A,3两种纪念品每件的进价分别为x元，y元.根据题意，得 7 x+8 y =3 8 0,解得1 0 x +6 y =3 8 0 x =2 0y =3 0答：A，3 两种纪念品每件的进价分别为20元，30元.（2）设该商店购进A种纪念品机 件.根据题意，得5 m+7（4 0 利）221 6,解得加尸 二 解得：x15,0-1 0,I2w随 x 的增大而减小,团当x=1 5 时，w 取最大值，最大值为225,此时 y=(1200-30 x15)+50=15,答：购进玩具4 B 的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元.