《2021-2022学年湖南省长沙市某中学高二下学期期末考试数学试卷（含详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年湖南省长沙市某中学高二下学期期末考试数学试卷（含详解）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、长沙市周南中学2022年高二年级下学期数学科期末考试试题分量：150分 时量：120分钟一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合4 =小（3）0,5=0,1,2,3 ,则 A D 8=（）A.0,1,2,3 B.0,1,2 C.1,2,3 D.1,22.已知i 为虚数单位，复数z=一在复平面上对应的点Z 位 于（）1-iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了 200名高中生，依据独立性检验，经计算得到长2=7
2、.6 3,参照下表，得到的正确结论是（）P（非 洛）0.10.050.010.005().001忆 02.7063 8416.6357.87910.828A.有 99%的高中生爱好该项运动B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关“D.在 犯 错 误 概 率 不 超 过 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4.函数为 x）=sin（2x+e +?J 偶函数的一个充分条件是（）兀 c ）A.（p=B.（p=一6371CD.(p-+e Z)5.已知点P（x,y）在直线xy 1 =0上的运动，则（x-2）?+（y-
3、2的最小值是（）,三B.孝 C.：D.当6 .已知椭圆C：工+匕=1 的左右焦点分别为巧、Fi,过左焦点尸”作直线交椭圆C于 A、B两 点,则三2 5 1 6角形A B F 2 的周长为（）A.1 0 B.1 5 C.2 0 D.2 57 .已知c o s（x 殳）=，则 c o s x +c o s（x-二）等 于（）6 3 38 .“嫡”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为5 =一须2。,1 1 0,其中i 表示所有可能的微/=1观态，P i 表示微观态i 出现的概率，益 为大于0的常数.则在以下四个系统中，混乱程度最高的是1 1 2A.PI=P 2=5 B.P =,0 2=1 1
4、 1C.PI=P 2=P 3=7 D.p,=-,p2“33 6 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已 知 平 面 向 量 B，工,则下列说法正确的是（）A 口小丽B.若,+=则 1.5111 111c-（碱）3=。的 第D 若a.c =a-3,a/O，则加=c1 0 .十六世纪中叶，英国数学家雷科德在 砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“v”和 符 号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。0,h 0,q+b=2,则（）A.0
5、 a 1 B.0 a b 2 D.0 b 211.已知函数/（%）=181（2 一处一1。8 2*+4）,则下列结论中正确的是（）2A.函数/*）的定义域是 T,2 B.函数y =/（x-l）是偶函数C.函数/（x）在区间-1,2）上是减函数D.函数/）的图象关于直线x =1对称12.现有不同的红球4 个，黄球5 个，绿球6 个，则下列说法正确的是（）A.从中选出2个球，正好一红一黄，有 9 种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有 12 0 种不同的选法C.若要选出不同颜色的2 个球，有 3 1种不同的选法D.若要不放回地依次选出2 个球，有 2 10 种不同的选法三、填空题（共 20分.其
6、 中 1315题每题5 分；16题第1 空 2 分，第 2 空 3 分.）13 .随机变量 X B（10 0,p）,且 E（X）=20,则 p=_ .14.在（3/-L）的展开式中，其二项式系数和为6 4,则 所 有 项 的 系 数 和 为.15 .记函数/（X）的导函数为广（X）.若/（x）=e*c o sx,则 （0）=.X-X ag（a）,则 g （a）的最小值为.四、解答题（共 6 个大题，满分70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列 a,（eN*）满足：当为奇数时，=2/1+1；当为偶数时，勺=2.（1）判断2 0 2 3 是否为数列 a“（wN*）中的项，并说明
7、理由；（2）若 勿=%.（eN*），记数列也 的前项和为S“，求 S 2 0 2 4.18.已知AABC 中，ZB=60,ZC=45,AB=4.（1）求 A C；（2）问线段2 c 上是否存在点。，使得A =i?如果存在，求线段8。的长；如果不存在，请说明理由.19.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现 九章算术中提到了“刍费”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如 图 1,E、F、G 分别是正方形的三边AB,CD.AO的中点，先沿着虚线段F G 将等腰直角三角 形 和 G 裁掉，再将剩下的五边形A B C F G 沿着线段 E尸折起，连接A B、C
8、G 就得到了一个“刍薨”(如图2).(1)若。是四边形E B CE 对角线的交点，求证：AO平面G CF；(2)若二面角4石尸一8是直二面角，求点8到平面G CF 的距离.2 0 .真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3 个人依次进行，每人必须在5 分钟内完成，否则派下一个 人.3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.甲在5 分钟内解开密码锁的概率为0.8,乙在5 分钟内解开密码锁的概率为0.
9、6,丙在5 分钟内解开密码锁的概率为0.5,各人是否解开密码锁相互独立.(1)求该团队能进入下一关的概率；(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小？并说明理由.2 1 .已知A(-V 6,0),B (木，0)为双曲线C的两个焦点，点 P(2,1)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点A,B 是双曲线C上异于P的两点，直线 以，P B 与)，轴 分 别 相 交 于 N两点，若O M +O N =0 ,证明：直线A 8 过定点.2 2 .已知曲线/(x)=x e 一a l n x 在 x =l 处的切线方程为y =2(e-l)x+6.其中以 b
10、 均为实数.(1)求。一8的值；(2)若是函数y =/(x)的极小值点，证明：/(%0)k0）0.10.0 50.0 10.0 0 50.0 0 1402.7 0 63.8 4 16.6 357.8 7 91 0.8 28A.有9 9%的高中生爱好该项运动B.有9 9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】【分析】比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可.【详解】由K?=7.6 3e(6.6 35,7.8 7 9),即在犯
11、错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关故选：C4 .函数为/(x)=s i n(2x +e +1偶函数的一个充分条件是()兀A.夕=一6c 冗B.(p=3c 兀C.(p=-2D.夕=女)+。(左G Z)【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的奇偶性求参数。，结合选项确定一个满足要求的。值即可.【详解】若函数/(x)=s i n(2x+?)为偶函数，JT TT TT所以。+=攵4+,攵EZ,则“=%+一/WZ.3 2 6故选：A5 .已知点尸(x,y)在直线x-y-i =O上的运动，则(x 2)2+(y 2)2的最小值是()B.与 DT【答案】A【解析】【分析】(x 2y+
12、(y 2表示点P(x,)与(2,2)距离的平方，求出(2,2)至ij直线x-y-l =O的距离,即可得到答案.【详解】（x 2）?+（y 2）2表示点P（X,y）与（2,2）距离的平方,x _y _l =O的距离4 =也x/2 2所以（2,2）的最小值为屋=g.故选：A2 26 .已知椭圆C：二+匕=1的左右焦点分别为a、Fl,过左焦点Q,作直线交椭圆C于A、8两点，则三25 1 6角形A B B的周长为（）【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为2a=2后=1 0，由椭圆定义知4月+6 3 =24,4 6+3 6=2。：.“、=A B +AF2+B F2=A
13、Fl+FiB +AF2+B F2=4a 2 0故选：C7 .已知c o s（x_ 3 =走，则 c o s x+c o s（x-马 等 于（）6 3 3C.1【答案】D【解析】【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】co sx4-co s（x-）=co s x +co sx+s i n x =5/3 co s x-=l3x =1 ,3 2 2 v 6 7 3故选：D8 .“端”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为S =-&f pJnpj,其中i表示所有可能的微观态，Pj表示微观态i出现的概率，为大于0的常数.则在以下四个系统中，混乱程度最高的是1 I 2A.PI=P
14、 2=5 B.PI=,p?=1 1 1 1C.Pt=P2=p3=-D.P|=z，p2 p3=-J O J z【答案】c【解析】【分析】对选项逐一验证，分别计算系统的混乱程度，借助对数函数比较大小，计算得解.【详解】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）.A选项：系统的混乱程度S Agl n g+gl n；=_ l n 2 =l n g；B选项：系统的混乱程度5 8 3,1 1!1+2 1 n 2 =2 n 2 l n 3 =l n亚；B 3 3 3 3 3 3C选项：系 统 的 混 乱 程 度=-l n-+-l n-+-l n-=-l n 3 =l n-;3 3 3 3 3 3 3D选项：
15、系统的混乱程度S,=-l n-+-l n-+-l n-=-l n 2-l n 3 =-l n V 4-l n V 3=-l n -4 =l n =,所以6 6 3 3 2 2 3 2 百 加SASC,SBSC,SD Sc,所以S,、最小，从而C选项对应的系统混乱程度最高.故选：C二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.己知平面向量2，B，,则下列说法正确的是（）A.|叫眼上B.若卜+囚=卜一3|，则一石1 1 1 1 1 1c.3步）声=44/?毋）D.若a.c=a-B a 7
16、。,则B=c【答案】AB【解析】【分析】根据向量数量积的性质逐一判断选项即可【详解】=,故A正确；B+q=W 4可得 a2+2a.b+b=a-2 a-h +b:.a-b=Q，则_L万，故B正确（a的）g?表示与c共线的向量,a（Bc）表示与a共线的向量,故C错误对于D选项，当B,c均与垂直时，此 时7 =7 B =0，但B与不一定相等，故D错误故选：AB10.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在 砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和 符 号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 0 b 0,a+b=2,则（）A.（）al B.0ab2 D
17、.0 h 0,人0,8=2 a列不等式判断A D,再根据基本不等式判断BC即可a 0详解】：.a 0,h 0,h=2-a .：.,解得 0 a 0同理0 b 2,则A不正确.D正确：=（2 =i,当且仅当a=h时，等号成立，I 2）2）：.Q a b 0,x+4 0可得-4 x =l g J也是减函数，所以函数x)在区间-1,2)上是增函数，故C选项错误；由可得f(x)的图象关于直线x=-l对称，故D选项正确.故选：BD1 2.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是()A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有1 2 0种不同的选法C.若
18、要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要不放回地依次选出2个球，有2 1 0种不同的选法【答案】BD【解析】【分析】根据分步与分类计数原理逐个求解即可【详解】对A,从中选出2个球，正好一红一黄，有4 x5 =2 0种不同的选法，所以该选项错误：对B,若每种颜色选出1个球，有4 x5 x6 =1 2 0种不同的选法，所以该选项正确；对C,若要选出不同颜色的2个球，有4 x5+5 x6+4 x6 =7 4种不同的选法，所以该选项错误；对 D,若要不放回地依次选出2 个球，有 1 5 x1 4 =2 1 0 种不同的选法，所以该选项正确.故选：BD三、填空题（共 20分.其 中 1315题
19、每题5 分；16题第1 空 2 分，第 2 空 3 分.）1 3.随机变量 X B（1 0 0,p）,且 E（X）=20,则片.【答案】5【解析】【详解】根据二项分布的均值公式，即可求得答案.由题意，随 机 变 量 乂 8（1 0 0,），且 E（X）=20,可得1 0 0 =2 0,所以2=0.2,故答案为：0.21 4 .在，3尤 2 一,的展开式中，其二项式系数和为6 4,则所有项的系数和为_.I X）【答案】6 4【解析】【分析】根据二项式系数和求得的值，再用赋值法求得各项系数和即可.详解】由题意可得2 =64,解得 =6,故令x=l,则所有项的系数和为（3x1 I），=2$=6 4,
20、故答案为：6 41 5 .记函数“X）的导函数为/（x）.若 x）=e c o sx,则 八 0）=.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，将 x=0代入即可求得答案.【详解】由题意得，f（x）=eA c o s x-eA si n x,故/（0）=e c o sO-e（）si n0 =l,故答案为：1xx ag（a），则 g （。）的最小值为.【答案】.2 .-#e_|【解析】V*【分析】当。=0时，分段解方程，可求得函数零点有几个；利用导数判断函数/?(x)=的单调性以及最值情况，结合二次函数的图象和性质，分别作出/?(x)=2和 根(月=一/+4%的图象，讨论。的取值情况，确定g(。
21、)，求得答案.王,x 0Y当了 0,当1 1 时，/(x)0时，()0,且&(0)=0,令 m(x)-x2+4 x,则 zn(x)1rax=也(2)=4,如图，分别作出函数y=(x)和 =?(x)的图象由图可知，当aW 2时，g(a)=4,设V+4x=的较大根为,e则当2 玉)时，g(Q)=J,e故函数/(x)的最大值g()-,4 ,即g(a)的最小值为,，l_e e故答案为：2;.e【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数图象解决分段函数的最值，利用数形结合思想解决问题.四、解答题(共6个大题，满分70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列 叫(”eN*)满足：当为奇数
22、时，。“=2 +1；当为偶数时，a=n2.(1)判断2023是否为数列 凡 (eN*)中的项，并说明理由；(2)若 勿=%1(e N*)，记数歹(I 的前项和为S”,求S2024.【答案】2023是数列/“.J (N*)中的项，理由见解析【解析】【分析】(1)根据数列的通项公式，令。“=2 +1 =2 0 2 3,解得“，看是否为正整数，可得答案;(2)求出么=%“，判断数列 为等比数列，由等比数列的前项和公式，即可求得答案.【小 问1详解】当为奇数时，。“=2 +1为奇数.当 为偶数时，4 为偶数，令a“=2 +1 =2023，可得=1011,合乎题意，所以，2023是数列 q (N*)中的
23、项；【小问2详解】V 2为偶数，则bn=(2了 =4,h 4,+|.也=4且4=4,bn 4“1所以，数列 是以4为首项，以4为公比的等比数列,福川 4(1-4H)4 2 _ 4,所以，s=-=-4,1-4 331 8.已知A A B C 中，N B=6 0。，N C=4 5。，A 8=4.(1)求 A C；(2)问线段B C上是否存在点。，使得AD=后?如果存在，求线段B D的长；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)A C =2/6(2)存在，B D =5【解析】【分析】(1 )根据正弦定理求解即可；(2)根据42指 可判断满足条件的点力恰有1个，再根据余弦定理求解即可【小 问1详解】4x
24、3由正弦定理得：，空=/,即_=U,故4。=一-=2 s i n C s i n B s i n 4 5-s i n 6 0 V 2工【小问2详解】过4作B C的垂线A。，垂足为O,则A O =4 s i n 6 O =4 x、5=2 j i，如图，2因为4后2指，所以满足条件的点力恰有1个，由余弦定理得：A D2=AB-+B D2-2 A B-B D c o sB.B P 21 =1 6 +B D2-8 B D x 1,所以(6 0+1)(6 0-5)=0,解得B D =5.1 9.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现 九章算术中提到了“刍薨“这个五面体，于是他们
25、仿照该模型设计了一道数学探究题，如 图1,E、F、G分别是正方形的三边A B、CD、A力的中点，先沿着虚线段尸G将等腰直角三角形尸D G裁掉，再将剩下的五边形4 B C/G沿着线段E F折起，连接A 8、C G就得到了一个“刍短”(如图2).（1）若。是四边形四C F 对角线的交点，求证：AO平面G C F；（2）若二面角A 所 一 3 是直二面角，求点B到平面GC/7的距离.【答案】（1）证明见解析2夜【解析】【分析】（1）取线段C尸中点“，连接O H、G H,依题意可得4G0“且 AG=O”,即可得到AO/HG,从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小 问 1详解】
26、证明：取线段C F 中点H,连接G H,由图1可知，四边形E8CF是矩形，且 CB=2E3,：.0是线段B F与C E的中点,:.OHHBC且O =BC,2在图 1 中知 AG8C且 AG=8C,E F B C R E F =B C ,2所以在图 2 中，AG6c且 AG=1B。，A G H O H A G =O H ,2四边形A O H G是平行四边形，则AO/HG,由于4 9 a 平面6。尸，6 化简，利用根与系数的关系，表示直线雨，P B的方程，从而可求出点M,N的坐标，再 由 丽+丽化简计算可求出仁加的关系，从而可证得结论【小 问1详解】2设双曲线C的方程为a=1a O,h (),由题
27、意知4 1篇卞二1因为片+匕2=,2，所以解得a=百b /32 、,2.双曲线C的 方 程 为 咚-与=13 3【小问2详解】设直线 A 8 的方程为 y=A x+，4 ,弘）,3（2，%）,尸（2,-1）y=kx+m .由2 2 ，整理得（1左）无 一2也优一加一3 =0,x 一 丁 =3则 1 一公工0，A =4k2m2+4(1 -k2)(z n2-3)0,-3 A:2+3 0.2km-m2-3X.+X.=-亍,X.X.=-7-1-l-k2 -k2直线以方程为y=且=(-2)-1Xi-Z令x=。，则M(。，、x,+2y.)，同理N。言x.+2)y?._ _ x7+2y.x9+2y9 八由O
28、M+ON=0,可 得=一 =，Z X|Z X）x+2（例 4-m）x2+2（辰2 +，%）2 X j 2%2=0,（2Z+1）%+2加（2 2）+（2攵 +1）尤2+2z（2x j=0,（4攵+2-2加）（5 +9）一（4左+2）%毛+8m=0,（4-2m +2）-p -（4+2）-3+8/n0（2左一加+12加+（2左+1）（22+3）+42（1 A?）=0,*4k?m 2hrr+2km+2knr+6k+rrr 4-3+4m 4mk?=0*m2+4z+3+2 切 z+6Z=0，.(加+3)(加+2%+1)=0当2+2k+1 =0 时，m=-2 k-1此时直线AB方程为y=Z(x2)1恒过定点
29、P(2,-l),显然不可能.m=-3,直线A8方程为恒过定点(0,-3)2 2.已知曲线x)=xe H n x在=1处的切线方程为y=2(e l)x+b.其中八方均为实数.(1)求。一力的值；(2)若是函数y=/(x)的极小值点，证明：/(%0)=/(%)仅有的一个极小值点，从而求得极小值(1/(x0)=2、为)+1-l nx0,构造函数(x)=241-Inx 1,1-x l I,即可证明/(/),即证A=-1，构造函数，利用导数证明该不等式成立.1 5 A 3人0【小 问1详解】定义域为(0，+8),r(x)=(x +l)er-,X由题意知，0,从而y =/z(x),即y =/(x)单调递增
30、，_ f(l)=2 e 2 0,=区 二 0,故存在唯一的/w(：,l)使得 7 (%)=(),2 7 2 2故可得下表:X(0,%)X。(%,+oo)/(X)-0+/(X)递减极小值递增从而X。e (g,l)是y =f(x)仅有的一个极小值点,J(x)=(x +l)e%-2K =O,/./(x0)=xoeA -2 1 nx0=2则。（x）2(X +1)2-0X从而 =（x）在（g，l）上单调递减，=+=,41故/(*0)7 7，即证%1；1 5 A J八 0ev 1 l“、e”(2 x -l).一方面令 F(x)=-=,(-x ,&2 7 yi则 x）在 g,l）上单调递增，从而尸（x）g）
31、=岳=2.33,31 O1 1 12 In x H-1-3 In x-另一方面，令 G(X)=-,(%1),G (x)=-，户 户令G(x)=0有后,X1 -H(-,e 3。)21e-3011(e 汽 1)G(x)+0-G(x)递增极大值递减.11 4 4从而G(x),恤=G(e 30)=e 5 5 -x l.7342.31 2 ,从而 G(x)y/x 3121nx+31一1成立，故/(4)百，X2故“31 /()4115 v 07 15【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用以及函数的极值点问题以及不等式的证明问题，综合性强，计算量大，过程复杂，需要有良好的综合分析以及思维能力，解答的关键是能灵活的应用导数知识，特别是能构造适当的函数，利用其单调性或最值解决问题.