《2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用(解析版).pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用三目标导航空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模己知的向量，且三个向量间的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽.纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种方便建系的考查方式让同学们习惯了
2、空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败.因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣.善高频考点/0 _ 工 知 识梳理知识点1 “三个”定理共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理对于空间任意两个向量 a,。(际0),a。的充要条件是存在实数为使a=功.若两个向量a,5 不共线，则向量p 与向量 a 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+y如果三个向量a,b,c 不共面
3、,那么对任意一个空间向量P,存在唯一的有序实数组(x,j,z),使得p=xa+yV+zc.其中 a,b,c 叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量.如p=xa+yb+zc,贝！称 xa+y5+zc 为在基底 a,b,c 下的分解式.知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示(4)线线垂直:设 III,U2分 别 是 直 线，2的方向向量，ni,112分别是平面a,夕的法向量.(1)线线平行：/l，2 d lU2UB2eR，使得 U1=XU2.(2)线面平行：1iQUuiJLniUUi ni=0.(3)面面平行：a/u n iii2W 使得 ni=2n2./1/2=U|-LU2=UI,U2=O
4、.(6)面面垂直:(5)线面垂直：Ji J_ uuin iu a i R,使得 ui=2ni.a J_un 1_L 112田 IF2=0知识点3空间距离及向量求法设 u 为直线/的单位方向向量，Aei,pl,AP =设已知平面a 的法向量为n,AGa,Pg a,向文字语言a,向量弁在直线/上 的 投 影 向 量 为 恁，则量也是向量方在平面上的投影向量,PQ=yj AP)12|A 0|2=-la2a-u_ AP-n一1 1知识点4空间角及向量求法直线与平面所成的角角的分类向量求法范围异面直线设两异面直线所成的角为仇两直线的方向向量分别为U,V,则(It所成的角cos6-|cos u,v)|H|
5、v|设直线/与平面a 所成的角为，/的方向向量为u,平面a 的法向量为n,则sin.=|cos 0),则尸(1,2,h).则 福=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又 砺=(0,2,田，可得8户-A月=0.又.直线8 F C 平面;.B F/平面方法二：基底法证明：如图所示，因为C TA E,所 以 存 =%醺(/0),又因为A)BC,B C=2 A D =2,所以B F =B C+C F =2 A D +AAE,所 以 8 A A 方 和 4 月共面，又 B b.平面A D E,所以8%平 面 ADE.【例 1-2】如图，在直三棱柱4 3 C-A B C 中，D,E分别为BC,AC的中点，
6、AB=BC.求证:BEC,E.【解析】方法一：通过线面垂直证线线垂直.在直三棱柱A 8C-A M C 中，是 AC的中点，AB=BC.:.B E A C,.直三棱柱A B C-A A G 中，A4,_L平面ABC,庞:u平面ABC.A4,乂 AAp|AC=A，.BEJ_平面ACGA，.GEu 平面 ACGA,，:.B E L J E.方法一：基底法证明：如图所示，在直三棱柱ABC 中，C G J.B E,又因为AB=B C,为 A C 的中点，所以A C A.B E ,所以 B E-q E =BE(CC+C A)=BE CC+B E CA=O,所 以 BECtE.考点二角度问题解题方略：通过建
7、立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的“惯例”，这也是对考生数学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能够起到柳喑花明的效果.【例 2-1】在长方体-A B C 中，AB=BC=,A4,=6，则异面直线A R 与。耳所成角的余弦值为()A/5 R下,石 门 近5 6 5 2【解析】方法一：空间向量法建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设D4=I,则有：0(0,0,0),A(l,0,0),(0,0,y/3),B,(l,1,73),所 以 函=(1,I,百)，A=(-1,0,设 西，通 的夹角为。，则cos6=,竺L=,5即
8、异面直线AD,4所成角的余弦值为5方法二：基底法如图，|宿R莅+丽|=2,|函莅+通+丽|=行，5万瓦=(而5+羽)(-而+诟+题)=2,记A。与。片所成角为8,则c s e=慢时=3=见IAD,|DBt|2V5 5故选A【例 2-2如图，长方体ABC。4 4 0 的底面钻 8是正方形,点 E 在棱A4,上，B E lE Ct.若 AE=A E,求二面角B-E C-0 的正弦值.以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,设 AE=AE=1,则 BE=ES,jB E L 平面 EBCi，,BE J_ Eq,8炉+仍；=28炉=88；=4,r.8序=2,-.AE2+AB2=1+AB2=BE2
9、=2,:.AB=,则 E(l,I,1),4(1,1,0),用(0,I,2),&(0,0,2),C(0,0,0),BC EB,EB 面 EBC,故取平面砂C 的法向量为虎=EB；=(-1,0,1),设平面E C g 的法向量元=(x,y,z),由 1 n-C_C_.=0，得 z=0，取 x=l,得z为=(1,1,0)ri-CE=0 x+y+z=0_ _ m n 1cos,DA=D C =D G =2.若点尸在线段G上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段DP的长.【解析】方法一:空间向量法证明：依题意，以。为坐标原点，分别以D4、DC,力G的方向为X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角
10、坐标系.可得。(0,0,0),A(2,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),3E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,-,1),N(1,0,2).2设线 段 上 的长为，(e 0,2),则点P的坐标为(0,0,h),可 得8户=(-1,-2,)，而力C =(0,2,0)为平面4 X 7 E的一个法向量,故|co s即，反|=B C L =-2 由题意，可得 2.=小6 0。=且,解得人;且 引。，2.|BP|-|C|2+5 J+5 2 3方法二：基底法如图，取平面ADGE的一个法向量 诙，因为直线BP与平面ADGE所成的角为60,DC=2,所 以 所 在 丽 的 投
11、影为|即|cos即，前 =|而|cos30=|函|=2,所以|即|=述，又BC=1,3所以|丽|=君，所以丽2 =(而+而)2=而 2 +而 2 =5+而 2 =3,解得|而|=必，从而线段3 3DP的长为芯【例 3-2如图，直四棱柱A B C O-A B C R 的底面是菱形，M =4,AB=2,ZS4=60,E 是 3 c 的中点.则点C 到平面C Q E 的距离为直四棱柱ABC。-4 8 c。的底面是菱形，空间向量法A A=4,AB=2 1 ZBAD=GO,E 是 3 c 的中点.则ZM,DE,两两垂直，以。为原点，建立空间直角坐标系,C(-l,石，0),C,(-l,6 4),0(0,0
12、,0),(0,6 0),DE=(0,拒,0),DC=(-,，4),DC=(-1,8，0),设 平 面 的 法 向量历=(x,y,z),则4 _ L，取x=4,得为=(4,0,1),n-DE=y/3y=0.点C 到平面G O E的距离为：,D C ri 4 4Vna=-=f=-.|n|x/17 17故答案为：晅.17方法二：基底法如图，如图：记砺、反 和 画 分别为。、。、c,平面。E G的一个法向量 =m+zc，由 诙=(ga+b)=O和砺=-S +c)=O得 =8 a+c;则点C到平面g O E的距离即为在n方向的投影的绝对值K G T Jc(8 a +c)|=_2 =勺 叵,所以点c到平面
13、CQ E的距离n n 4 7 1 7 1 7考点四位置关系问题解题方略：空间中点线面的位置关系的判断或证明实际是许多同学比较畏惧的一个知识点，因为其往往是相对抽象的空间公理的直接应用.对于多点共面、多线共面和线面关系等问题的解决，向量基底法往往显得更为形象和具体.【例 4-1】如图，在四棱锥 中，R4_L平面 A8C,ADCD,AD/BC,PA=ADCD=2,PF 1BC=3.E 为 尸 的中点，点尸在PC 上，且=-.PC 3(I)求证：四,平 面 次);(II)求二面角尸-A E P 的余弦值；(III)设点G 在 P 3 上，且 生=2.判断直线AG是否在平面A砂 内，说明理由.PB 3
14、：A D Y C D,PA A D=A,【解析】证明:(I ).平面 Af iC Z),:.PA LC D,.8 _ L平面 PA D.解：(I I )以A为原点，在平面M C E)内过4作8的平行线为x轴,A为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，A(0,0,0),(0,1,1),尸(|,|,g),-._ _ 2 2 4P(0,0,2),8(2,-1,0),A=(0,I,1),3 3 3平面AEP的法向量元=(1 ,0,0),设平面A E F的法向量而=(x,y,z),则in-A E=y+z=0一.2 2 4 ，取 x=1，得应=(1m-A F =x+y+z=03 3 31,-1),设二面角尸一
15、A E-P的平面角为。,mri 3.二面角尸 一 A E-P的余弦值 为 走.3(I I I)方法一：空间向量法直线A G在平面A E F内，理由如下:点G在 必 上，且 生 =M .-.G(-,二，2),PB 3 3 3 3_ _ 4 2 2.I AG =(,-,y),平面A E F的法向量比=(1,1,-1),4 2 2m-A G =-=0,3 3 3故直线A G在平面A E F内.X方法二：基底法直 线AG在 平 面AEF内，说明如下：如图，记 加、加 和 入户分别为a、b、c,平面AE尸的一个法向量 1 1 1 1 2 =M+M +ZC,由 n-A E=(tz+c)=0 和 n-A F
16、 =n-(a+b+c)=O 得 n=a g 乂.1?1 1 2 1 a2 c2 A G =a+-b +-c,所以 AG-=(a c(a+-b +-c)=+=0,所以 AGJ_，所以3 3 3 33333AG在平面AEF内.【例4-2】图1是由矩形ADEB、RtAABC和菱形3FGC组成的一个平面图形，其中4?=1,B E=B F =2,Z F B C =f).将其沿AB,8c折 起 使 得 况 与5尸重合，连结。G,如图2.图1图2共面【解析】方法一：基本事实证明：由已知得 4/3E,CG/BE,:.AD/CG,.AD,CG确定一个平面，;.A,C,G,。四点共面，方法二：基底法证明：图2中的
17、A,C,G ,。四点证明：在 图 I 中，因为四边形A D E B 和 B F G C 分别为矩形和平行四边形，所 以 通=布，函=而，又因为在图2中，而=诙，所以函=屁，从而A 方=B G,;.A,C,G ,力四点共面，分层提分题组A基础过关练1、【多选】如图，一个结晶体的形状为平行六面体A B C C-A/B/C/S,其中，以顶点A为端点的三条棱长均为 6,且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是（）/二/A BA.A C尸6加）B.A C iLD BC.向量就与 油 的 夹 角 是 60。D.与 AC所成角的余弦值为逅3【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都
18、是60。，所以 丽二 A 4,A D =A D A B=6x6xc av 60=1 8,（羽+A月+而）J 福2+通2 +而*+2随 瓦+2通 通+2福 而=3 6+3 6+3 64-3 x2 x1 8=2 1 6,UUU _ _ _ _贝！J|1=1 A 4,+通+标 1=6#，所以A正确；UUU _ _ _A C,DBAA.+AB+ADHAB-AD）=A B-A A A D +A B2-A B-A D +A D A B-A D=0，所以 B 正确；显然 A A/D 为等边三角形，则N A 4 O=6 0。.因 为 麻=丽，且向 量 丽 与 丽 的夹角是1 2 0。，所以 麻 与 丽 的 夹
19、角是1 2 0。，所以C不正确;SBD；=A D +AA-AB,AC=AB+A D所以I B D；1=J(而 +福-A 分尸=6 0,AC=yl(AB+A5f=6+,B D；祝=（而+随-而）（而+而）=3 6,所以0.，=需送=6/6 斯器，所以C不正确.故选:A B.2、在三棱锥A B C D 中，E是 BC的中点，尸在AO上，且 A 尸=2 田，BD =a BC=b BA=c(2)若底面B C D 是等腰直角三角形，S.B D=B C =Afi=3,Z A B D =A B C =(,求 EF的长.【解析】(1)依题意，因E是 8C的中点，/在 A )上，旦A F =2/D,则 乔=丽+
20、丽+江=胡+通 一 炉=丽+而 BC=BA+-(BD-BA)BC3 2 3 22 1 .1 .2-1.1-=-B D BC+-B A=-a/?+-(7,3 2 3 3 2 3,2 -1 -1 -所以 EF=-a b +-c；3 2 3(2)因 B D =3 C =A B =3,N C B D =90,Z A B D=A B C =60 ,_ _ _ _ -9 9即|=|b|=|c|=3 ,则 a.B =O，a,c=万,b c=,由(1)知：|乔 卜 后 一 1 +)2=即+.+/_|/一.1+,=与,所以F的长是 息.23、如图所示，在平行四边形A B C D 中，AB=A C =,Z A C
21、。=9 0,沿它的对角线AC将 A C O 折起，使 A 8与C。成6 0 角，求此时反。两点间的距离.边形A 8 C Z）为平行四边形，.A B/。，又乙4 8=9 0,/.Z C 4f i =9 0,:.A C C D =0 A C f i A =0.在空间四边形A B C D中，4 B与CD成6 0 角，丽，而=6 0 或1 2 0。，又 而=丽+/+而，：.BD =BA!+A C +C D +2BA-A C +2BA-C D +2A C-C D=3 +2 xl xl xc o sl?X,C ）,当丽，前=60 时，|南（=4,，B4 =2,即此时B,。两点间的距离为2；当丽，丽=1 2
22、 01 时，回=2,:.BD=4 2,即此时B,O 两点间的距离为拉：综上所述：8，。两点间的距离为2 或.4、如图，正方体A B C O-A B C D 的棱长为1,E,F,G分别为C ）,AD,DO的中点.求证：E F/AC.则 7，L D构成空间的一个单位正交基底.所以而=西 _麻=3：_ 3 =3（；-力，C A =D A-D C=l-j.所 以 前=4 直.2所以即 4c.5、如图，已知a A.BCZXEEG,”为空间的9 个点，且 在=%乐，炉=%而，丽=%而，衣=而+?而,E G =E H +m EF,求证：（1）AC/EG;(2)旃=左 诙.【解析】证明：(1)EG=EH+mE
23、F=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)=kAD+km AB=k(AD+mAB=kAC：.AC/EG.(2)OG=OE+W=kOA+kAC=kOA+AC=kOC.6、在所有棱长均为2的三棱柱ABC-4/B/C/中，ZB/BC=60,求证：(1)AB/1BC；（2）4C J平面 AB/G.【解析】证明：（1）易知 而，比=120,鬲=福+函，则 通!反=（而 +瓯）BC=AB BC+BI JC=2X2XJ+2x2xy=0.所以AB8c.（2）易知四边形AA/C/C为菱形，所以A/CLA。.因 为 鬲 卡=（西-丽）（前-丽）=（函-丽）（及-丽-丽）AA.-BA B
24、C+BA BA+BA AABC-BB AA-BA-BC+BA-BA=2x2x4 42x2x1+4=0,2 2所以 AB/L4/C 又 AC/OAB/=A,所以 A/CL平面 ABC/.7、如图，平行六面体4B C D-A B C R 的底面 ABC是菱形，且 NGCB=NCC。=NBCO=60,C D =C C1,求证：。,_ 1平面（7田。.由于四边形ABCD为菱形，则CB=CO=C G，即同=欠=/，所以，C“=H J NCOS60=；卜 ，同 理 可 得=,由题意可得以=+后+,B D =b-a,所以，C4,B D =（a+b+c-（b-a=b-a+c-b-c-a=Q,所以，C A B
25、D,同理可证。，B G，因为B）n 8 =B,因此，。4，平 面 8。.8、如图，正四面体ABCZ）中，M ,N 分别为棱BC,A 3的中点，设 通=a,A C =b A D =c-c分别表示向量DM ,C N;（2）求异面直线DM与CN所成角的余弦值.【解析】（1）如图，设正四面体棱长为1,A则 丽=次+丽7=-+(+5)(+5-2工)，2 2CN=A N-A C =-a-b =-(a-2 h)-2 2(2)由(1)知，DM=-(a +b-2 c),CN=a-b =(a-2b).r义 a-b =a-c-=br c-=I.2设异面直线D M与CN所成角为6,则 cos=|2 两2DM2CN|(
26、a-b-2c)-(a-2b)a2-2a-b+a-b-2 h2-2a-c+4h-2-2-1 +2-3-69、如图，在四棱锥PA8CD中，底面ABC。为直角梯形，AD!IBC,ZBAD=90,%，底面ABC。，且PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点.求证:PBLDM-.(2)求 AC与4所成角的余弦值.解析(I)由题图，知：PB=A B-A P D M=D P +DC=A P-A D +A B-A D=A P+y-A B-A D,乙乙1 乙)乙 乙，丽丽=(而-西 而+g而-;而)=g网网2=0,即 丽 工 丽.设/),5LPD=AD-AP AC=AB+A D,：.|PD|2=|AD-AP|2
27、=J画2-2A D-/+网?=8，故 阀=2伍,+2 A B-A D+A =5a2故 时|=6,/.PD AC=AD-APyAB+A D =2a2,cos 而,AC)=广,厂=回，则 前 与 丽 所 成角的余弦值为 强.2叵a.M a 10 10题组B能力提升练1、如图，在棱长为1 的正四面体ABCC中，E 是线段7）的中点，。在线段BE上，且 的=2无，设 荏=,AC=h，茄=1 以,，反寸为基底，用向量法解决下列问题.（1）用基底表示向量近;(3)求点A 到平面BCD的距离.解 析 (1)A O=A B+W =A B+-B E=A B+-(JE-A B =-A B+-A E mu 2 1
28、/Uira uuux i uun i uum i UUD I r i r i r=-A B -x-(AC+AD=-A B +-A C +-A D =-a -b +-c.3 3 2、I 3 3 3 3 3 3(2)由题知，a2=b2=c2=a b=b c=c a=；.uu min 1 zr r rx(x r x i/r r r2 2 r r r r r rQ=+=+b-b a+c b-c-a j=0,/.AO B C.uun mm I”r r./F r、i/r r r2 r r r r r rQ AO-BD=-i-b+cyc-cij=a C-a -b c-b a+c-c-a j=0,/.AO B
29、D.又：BC,BDu 平语B C D,且 5 C n 8 O=8,AO_L 平面 3CO.(3)由(2)知，点 A 到平面8 c。的距离为lUuiii /I*r r、CrrrTT /n _ H_ H r i n,FT Jg|AO|=(a+b+c)=(a +b+c)=+b+c+2ab+2 a c+2 ca =-2、二面角a-/一夕的棱上有两个点A、B,线段3。与 AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱/,若 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2而，则平面。与平面的夹角为.Ot【解析】设平面a 与平面夕的夹角为。，因为AC_LAB，BDAB,所以 E 晨 通=0，B D-AB=0 lib,
30、ufj C D =C+A B+B D，所以I-1 2 I-(2-1 2 I-1 2 I-1 2 -|CD|=|C 4+A 8+叫 =|C/4|+|AB|+2 C A A B+2CA-BD+2AB-BD=CA!+AB+BD+2CA-BD 所以 cos(-。)=-,所以 cos0=g,所以 9=60，=36+16+64+2x6x8xcos(-0)=2/r7j即平面a 与平面尸的夹角为60。.故答案为：603、如图，平面A 8 8 _ L 平面4 组尸，四边形A3C 是正方形，四边形ABEF是矩形，若 G 是 E尸的中点，A F =l,A C B G =-2,则三棱锥C-A 5G 的外接球的表面积是
31、（）67r B.10乃 C.8汗 D.127r【解析】：/=而+而，BG=BE+BA=AF-AB,：.A C BG =（A B+A D）（A F-A B）,乂QAB、AF.两两相互垂直，前 旃=-g 而 =-2,即AB=2,A G2=A F-+F G2=2,G C2=BC2+BE2+E G2=6,A C2=A B2+B C2=8,则AAGC为直角三角形，又VAABC为直角三角形，二 AC为三棱锥C-A B G的外接球的直径，AC则三棱锥C-4 5 G 的外接球的表面积5=4 （言）2=81.故选：C.4、如图，在平行六面体 ABCO-ABCQ 中，A B=A D=,M =2,AC=幺 43=6
32、0。，ND4B=90。，A/为 A G 与B Q 的交点.若其豆=a,A D =b A4,=c.0G（1）用，b,表 示 的，并求8M的长;（2）求异面直线BM与AC所成角的余弦值.【解析】（1）由题意 得 两=函+丽=羽+丽=福+；（丽 一 丽）=+（但一）因为N D 4 3 =9 0。，所以/=0，c =Mc o s(a,c)=l x 2 x g =l,B.c =|用c|c o s,c)=l x 2 x-i =1所以忖河卜c+b-a：O 1 ,.3 7 2=J 4H i-i-l -l =-V 4 4 2用+曲+3-1那 衣=+人 所 以 同 卜 卜+:=桐 2+|邛+2 7 心 血,所 以
33、 向 的，衣）卜需c.a+c.b+b.a+-.a(1 +1|3 327 T-，因为异面直线所成的角的范围是（0 卷,7所以8M与AC所成角的余弦值为;.5、如图,三棱锥0-ABC各棱的棱长都是1,点。是棱A8的中点，点 E在棱0C上，且 诙=2 元，记 函=万,方=5，oc=c.用 向 量B，工表示向量诙;（2）求1。引 的最小值.【解析】(1)根据题意，连接O。，C Q,点。是棱A 8的中点，点 E在棱0C 上，如下图:OB=b-OCc-2 2 3 1 1|DE|2=|OE-OD=OE-2OE.OD+OD=22-2 x lx 2 x cosZDOE+-=(A-)2+-,2 4 2 2当2=；
34、时，|法 取得最小值g，则|法|的最小值 为 当题组C 培优拔尖练1、在平行六面体A 8C Q-A B C Q 中，AB=4,AD=2,蝴=3,ABAD=ZBAA,=ZA,AD=,CM=2MC,N 为 CD 的中点._ _ _ _ _ 9 _【解析】(1)AM=AC+CM=AB+AD+AAt,-.2-2.2 4-2-4-4-*.AM=AB+A,D+-AA|+2A8,AD+-AB,AA+AD AA=16+4+4+8+8+4=44,*-AM=2 VH.(2)AN=AD+AB,网=14+4+4=2 3俞 府 二（+；回（Ag+A5+|J=而.通+而彷丽+g醺.而+g 通.可=4+4+2+8+2+2=
35、2 2,/.cos/M AN2 2 /3 3-2 V HX2A/3-62、如图，空间四边形Q 4 B C 的各边及对角线长为2 ,E是 A8 的中点，F在 0C上，且 存1=2 而，设 砺=，OB=b 0C=c c 表示EF;(2)求向量函与向量前所成角的余弦值.【解析】因为3=，OB=b，OC=c，所 以 而=而 _ 无=彳 历 _：(诙+诙)=_ T _ g B+g.(2)因为空间四边形6 M B e 的各边及对角线长为2 ,所以四面体0 4 B C 是正四面体，同=W=2,且,B，间的夹角为所以。B=C=BC=2X2X C O S6 0 =2,-（1-1 -2-、OA-EF=a a h+
36、cI 2 2 3 ）1 -2a2i-p/一 a b+a c=2 31-”2 -丫 1-2 1 产 4-2 1 一 /2 2 L a b+c=a+b+c+-a-b a c b e2 2 3 J 4 4 9 2 3 32 1 c2 4r 2 1 c 2 c 2 c 1 9=-x 2-H X2-4 x 2 +x 2 x 2 x 2 =,4 4 9 2 3 3 9_ 5所 以 同=半，所以8 s（如 丽”岗端=涓x 35M3 8所以向 量 丽 与向量定 所 成 角的余弦值为-%叵.3、如图，平行六面体 48C O-A AG A 中，CB 工 BD,ZC,CD=45,ZC,C5=60,CC,=CB=BD
37、=,(2)求二面角C-B D-C,的余弦值.(1)求对角线CA的长度;【解析】(1)由题意知，在RfaCB。中，CD=&.，ZCBD=45,以向量 为，C D,可 为 基底,C=CB+CD+CC,CB CD=CB|C D|COSZBCD=1,同理可 得 丽.西=g,而.GQ=i，式平方，得 有 2 =(而 +而+忑 丫 =CB+CD+CC2+2CB CD+2CB CQ+2CD C Q,而.前=|而|前卜0$乙次7)=1,同理可 得 区.西=；，.不=1,所以CA=3.(2)在 AC C。中，CtD2=CC+CD2-2CC,CD cos 450=1,q 0 =1,又GC=CB=1,ZC,CB=6 0 ,所以GCB为等边三角形,所以GB=BD=GO=1,故AC Q B为等边三角形,取 8。中点0,连接G。，则CQ_L8。，又C B 1B D,西=丽+的+西 ,设二面角 C-B D-C，则 CB BO=0,BO CQ=0,CB OQ=|cfi|oq|cos6,式两边同时平方，得 西 2=济 +的 2+西 2+2函 的+2防 西+2酝西=2-6 3 0，所以 2-g c o s，=l,cos 0=V3所以二面角 C-B D-G 的余弦值为彳4