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1、2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学高二（下）月考数学试卷（4 月份）单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.已知等比数列 斯 中，%=2,a4=1 6,则公比q=()A.-2 B.2 C.4 D.-42.已知函数/(x)=sin(x+g),则/(=()A.1 B.0 C.D.13.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A.y=ex B.y=tanx C.y=x3-%D.y=ln|4.若曲线、=峭-1+)久在点(1,1)处的切线与直线收+丫 =0平行，则a=()A.-1 B.1 C.-2 D.25.已知等差数列 a j 满足。2+。4=4,&3+。5=1 0,则
2、它的前10项的和S i o=()A.123 B.105 C.95 D.236.函数/(x)=x+:的极大值点为()A.x=1 B.x=1 C.x=+1 D.不存在7.设/是公差为-2的等差数列,如果为+。4+&7+。97=5 0,那么。3+16+。9+。99=()A.-182 B.-7 8 C.-148 D.-828.下列求导错误的是()A.(%2 4-3ex)=2x+3ex B.(三 丫 =2xC.(2sinx 3)f=2cosx D.(xcosxy=cosx xsinx二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）9.已知函数x）=等，贝 4（）A.%）的递增区间为（一 8,6）B./
3、（x）极大值为亍C./（x）的极大值点为（e）D.-B.In3-D.-e e e i r u r n12.设函数/(=誓，则下列选项中正确的是()A./(x)为奇函数B.函数y=f(x)1有两个零点C.函数y=/(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D.过原点与函数/(均相切的直线有且只有一条三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13 .定义方程f(x)=1。)的实数根配叫做函数f(x)的“新驻点”，设/(x)=s i n x,则/(x)在(0,兀)上 的“新驻点”为.14.已知为正项等比数列，若巴,。2021是方程产6 x+8 =0的两根，则l g 2a1011=-15 .曲线y=
4、婷 3 x的一条切线的方程为y=a x+16,则实数a =.16 .若不等式a/2)%恒成立，则实数a的 取 值 范 围 是.四、解答题(本大题共6小题，共7 0.0分)17 .已知等差数列 即 的前n项和为右，5 9 =8 1，a7=13,求：S n；(2)若S 3、S 17-S 16、S k成等比数列，求k.18 .已知函数/(x)=/+a/(2a +3)x+a?,a e /?.(1)若a =-2时，求：函数/(x)的极值；(2)若曲线y=f(x)在#=一1处的切线与直线2x-y=0平行，求：实数a的值.19 .已知正项数列 即 的首项为4，且 何 二-向 =2.(1)求 的 通 项 公
5、式；(2)若b n =含 力 求 数 列 匕 工 的前兀项和7 20.如图，在四棱锥S-A B C D中，底面力B C D为直角梯形，LABC=LDCB=2ABCA=9 0,平面S DC 1平面A B C。，C D=C S =4,A B =2,点M为线段S D的中点.第 2 页，共 15页(1)求证：4 M平面S B C；(2)若4 MleD,求二面角S-4 M-C的余弦值.21.已知函数/(%)=(X2+ax)ex,a&R.(1)若(0)=1时，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增，求实数a的取值范围.22.已知函数/(X)=炉 一 +2(a e R).(1)讨论f(x
6、)的单调性;(2)当0 al时，记f(x)在区间 0,1的最大值为M,最小值为N,求M-N的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：；在等比数列 a“中，%=2,a4=16,：=q3=8,解得公比q =2.故选：B.利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比.本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.2 .【答案】B【解析】解：因为（=cos（x +所以）=cosg +9 =cosg =0,o o o Z故选：B.求出函数的导数，然后令x =%弋入即可求解.O本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.3 .【答案】D【解
7、析】解：函数y=eL 不是奇函数，不满足题意；函数y=t cm x 是奇函数，但在定义域内图象是不连续的，不是增函数，不满足题意；函数y=/_%是奇函数，当 G（聋,马 时，y，=3/_ 1 0,函数是增函数，x 6(1,0)时，f (x)0,函数是减函数，x e(o,i)时，f(x)0,函数是增函数，所以 =-1 时，函数取得极大值，故选：B.7.【答案】D【解析】解：由题意可得两个式子均有3 3 项，故+。99=+2 d)+(。4+2 d)+(。97+2 d)=%+。97+2 d x 3 3 =50 1 3 2 =-82故选：D.可得式子左边都为3 3 项，且。3 +。6+。99=a 1+
8、CZ4+CI 97+2d x 3 3,代入数据可得.本题考查等差数列的前n 项和，涉及整体法的思想，属基础题.8.【答案】B【解析】解：对于选项A,(x2+3ex)=2x+3ex,故 A 正确；对于选项B,(圣)，=就，故 B 错误；对于选项C,(2sinx-3)=2cosx,故C正确；对于选项 ),(x cosx)z=cosx xstnx,故。正确；故选：B.利用求导公式分别求解即可.本题考查了导函数的求法，重点考查了求导公式，属基础题.9.【答案】BD第6页，共15页【解析】解：因为，(久)=詈，所以函数的定义域为(0,+8),所以/，(%)=等，在x 6(0,e)上，f(x)0,/(x)
9、单调递增，在x 6(e,+8)上，f(x)0,/(%)单调递减，所以当x =e时，/(x)有极大值/(e)=詈=:,x=e为极大值点，故A错误，8正确，C错误；因为0 近 2 e,而“X)在(0,e)上为单调增函数，所以/(倔)/(赤)0),则(x)=：-：=爱.当x(e,+8)时，e-x 0,r(x)0,/(%)0,单调递增，所以当x=e时，/(x)取最大值，fMmax-/(e)=/ne-=1-1=0.所以/。)的值域为(-8,0,故f。)0/nx-1 0/nx 1,当且仅当x=e时，等号成立.对于4,/n2-20=/n 2 2,故A错误；ee对于B,/n3-M3 故 8 正确；e e对于C
10、,In n-e-0 Inn 0)，g。)二年 工当 (e,+8)时，gx)0,g(x)单调递增.e V 3 g(n),即殍 等，v Inn 0,3 0,.,等 故。错误.In/r n故选：ACD.12.【答案】BCD【解析】解：函数/(久)=的定义域为x|x*0,/(-x)+/(%)=1-+1-=2*0,所以/(x)不为奇函数，故 4 错误；由/(%)=1,可得第1 =0,解得=1,故y=/(X)-1有两个零点，故B正确；由 /(-x)+/(-2x)+/(X)+f(2x)=/(-%)+/(%)+/(-2x)+/(2x)=2+2=4,则函数y=/(x)+/(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C
11、正确；当x 0时，/(x)=1-竽 r w =-空，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n),则切线的方程为y n=U(x-zn),即y-1+等=(x-m),代入(0,0),可得l+m=21nni,设g(m)=2lnm 1 m,gr(rn)=1,当0 V m V 2时，g(m)递增，m 2时，g(m)第8页，共15页递减，则g(r n)的最大值为g(2)=2 2 -3 0时，不存在过原点的切线；当 o 时，/(X)=1 -f(x)=设过原点与/(x)相切的切点为(s,t)(s 0),则切线的方程为y-t =必 尹(-$),即y1 +吟 2 =皿 萨 l(x s),代入(0,0),可得1+s =
12、2/n(-s),设g(s)=2/n(-s)-1 一 s,g(m)=-1 0,所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x 解得x()=-2,a =3 x(2)2-3 =9.故答案为：9.求出原函数的导函数，设切点坐标，由题意可得，切点处的导数值为a,再由切点处的函数值相等列式求得切点横坐标，则Q可求.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键,是基础题.1 6.【答案】彰+8)【解析】解：因为不等式a/nx在(0,+8)上恒成立，所以a 2粤恒成立，X2令/()=哭，则/，(乃=比铲=学，x7 z X4 X3所以当0 x 0,当久加时，/(x)二数列 阿
13、是2 为首项，2 为公差的等差数列，:.=2 +2(n 1)=2 n,n E N *,:.an=4 n2,n E N *.(2)由(1),知垢=3=告=展2 九，7；=1 x 21+2 X 22+3 X 23+n-2n,2 7；=1 X 22+2 X 23+-+(n-l)-2n+n-2n+1,(2)一 ，可得：-=1 x 2 1+1 x 2 2 +1 x 2 3 +1 x 2n-n-2n+1=迎二2+11-2=2n+1-2-n-2n+1=(1 -n)-2n+1-2,7；=(n -1)-2n+1+2.【解析】(1)先根 据 何 二-历 =2 即可发现数列 阿 是2 为首项，2 为公差的等差数列，
14、并计算出数列 历 的通项公式，进 一 步 即 可 计 算 出 数 列 的 通 项 公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列%的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和小本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前几 项和问题.考查了整体思想，转化与化归思想，错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.2 0.【答案 解:(1)证明：取C D 中点N,连接4 N,MN,在四棱锥S-4 B C C 中，底面A B C C 为直角梯形，ABC=Z.DCB=2BCA=9 0 ,平面SD C J 平 面 A B C。，CD=CS=4,AB=2,点M为线段S。的中点，.-.AN/B
15、C,MN/SC,；A N C M N =N,B C n SC =C,.平面A M N平面B SC,v A M u 平面4 M N,平面SB C；(2)底面4 B C C 为直角梯形，乙 ABC=乙 DCB=2/B C 4 =9 0 ,第 12页，共 15页BC 1 DC,平面SDC，平面4B C D,平面SDC _ L 平面力BCD=DC,BC _L 平面SOC,r SC u 平面SOC,BC 1 SC,AM 1 CD,AN/BC,MN/SC,CD L BS,v BC C BS=B,CD 1 平面SBC,以C为坐标原点，CB为x轴，CS为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，底面力BCD为直角
16、梯形，乙ABC=乙DCB=2/.BCA=90。，平面SDC J 平 面 ABC。，CD=CS=4,AB=2,点M为线段SC的中点，:.AB=BC=2,5(0,4,0),4(2,0,2),C(0,0,0),M(0,2,2),CA=(2,0,2).CM=(0,2,2).SA=(2,-4,2)，SM=(0,-2,2).设平面SAM的法向量五=(x,y,z),则 日=2 x 4y+2z=0,f e=11 得 有=(川)，n-SM=-2y+2z=0设平面CAM的法向量记=(a,b,c),则 产 迈=2b+2c=0,取口 =1,得记设二面角S-A M-C的平面角为。，则二面角S-A M-。的余弦值为cos
17、。=韶=焉=：|m|n|V3-V3 3【解析】(1)取C。中点N,连接AN,M N,推导出ANBC,M N/SC,从而得到平面4MN平面B S C,由此能证明AM平面SBC；(2)推导出BC 1 DC,BC 1 SC,CD 1 B S,从而得到C。_L 平面S B C,以C为坐标原点，CB为x轴，CS为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S-力 -C的余弦值.本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.21.【答案】解：(1)/z(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex,/(0
18、)=1=a=1；(2)由已知有f(x)在(一 1,1)单调递增，即r(x)0在(-1,1)恒成立，f(x)0=(2x+a)ex+(x2+ax)ex 0,因为 e*0,BJ x2+ax 2x+a 0=x2 ax+2x a 0=a(x+1)x2+2x,即a 金=丝 叱 =x+l-二-在(1,1)上恒成立，x+1 x+1 x+1y=x+l-W 在(一1，1)上单调递增，故y =尤 +1 -W 点1 a|故a的取值范围是：|,+8).【解析】(1)对函数求导，利用/(0)=1计算即可；(2)函数 X)在 上 单 调 递 增，等价于其导数在(-1,1)上恒大于等于0,由此进行参变分离计算最值即可.本题主
19、要考查利用导函数研究函数最值，属于中档题.2 2.【答案】解：因为f(x)=：炉-.a +2,故可得(=一 a x=-a),令/(x)=0,可得x=。或x a,当a =0时，f(x)0,此时/(x)在R上单调递增；当a 0时，当x 0,/(x)单调递增;当 e(0,a)时，f(x)a时，f(x)0,/(X)单调递增；当a 0时，当x 0,f(x)单调递增；当x 6 (a,0)时,/(x)0!l寸，f(x)0,f(x)单调递增.综上所述：当a =0时，/(乃在肥上单调递增；当a 0时，/(x)在(一8,0)和(a,+8)单调递增，在(0,a)单调递减；当a 0时，f(%)在(0,a)单调递减,在
20、(a,+8)单调递增，又0 a l,x 6 0,1 ,故f(在 0,a 单调递减,在 a,1 单调递增.则/(%)的最小值N =/(a)=1 a3+2 =a3+2；326又/(0)=2 J(l)=|一1+2 =卜.，当|W a 1时，/(x)的最大值M =/(0)=2,此时M N =2 -(川 +2)=川 (1),当0 a|时，的最大值M =/(l)=g ：a,第 14页，共 15页此时W-N=2-2-(一 工 a 3 +2)=-a33 2 6 6 2 3令h(x)=x3-+|,0 x I，则h(x)=/一 =：(%+i)(x-1)0,所以h(x)在(0,；)上单调递减，所以九(|)=2 h(x)h(0)=J,3 o o l 3所以M-NW编 所以M N的取值范围为 d).o l 3【解析】(1)求得f (x),对参数a 进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断f(x)的单调性；(2)根据(1)中所求，求得M,N,以及M-N,再构造函数，求其取值范围即可.本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题.