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1、2019年山东省临沂市中考数学试卷一、选 择 题（每小题3分，共42分）1.(3 分)|-20 1 9|=(c.2019D.120193.B.-20 1 92.A.20 1 9则N2 的度数是（A.1 1 0 B.80（3分）不等式1 -2 x 2 0 的解集是（B.x 2A.工 22(C.A.C.70 D.D.60)5.（3分）将 进 行 因 式 分 解，正确的是（A.a C a2b-b)B.a b(tz -1)2C.a b(a+1)(a -1)D.a b(a2-1)C.x W 2)6.(3 分)如 图，D 是 4B 上一点,D F 交 4 c 于点 E,DE=F E,F C/A B,若 4
2、 8=4,C F=3,则 8。的 长 是（)A.0.5 B.17.（3分）下列计算错误的是（）A.（a3h）（a h2）=a4b3C.a5 a 2=a3C.1.5B.（-加 3）2=加2 6D.D.2xy2-X xy2=cy28.（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转,一辆向左转的概率是（）A-fBiC.31 _D-99.（3分）计算.2aa-的正确结果是（）C.B.-AD.2a z la-lA.-J-_ 2a-lA.26.25 B.27CC.28cD.29c1 1.（3 分）如图，。中，A B=AC-Z
3、AC B=15 ,BC=2,则阴影部分的面积是C.4+ZT C3D.2+A n31 2.（3分）下列关于一次函数y=Ax+b （k 0）的说法，错误的是（）A.图象经过第一、二、四象限B.y 随 x的增大而减小C.图象与y 轴交于点（0,b）D.当x -且寸，y 0k1 3.（3分）如图，在平行四边形48 8 中，M、N是 8。上两点，B M=D N,连接/、MC、C N、NA,添加一个条件，使四边形4MC N是矩形，这个条件是（）4 1 =-B.MB=MOC.B D L A CD.NA MB=/C N D1 4.（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间f （单位：s
4、）之间的函数关系如图所示.下列结论：小球在空中经过的路程是4 0 加；小球抛出3秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时速度为0；小球的高度%=3 0 机时，=1.5 s.其中正确的是（）2 3 4 5 6 打A.B.C.D.二、填空题：（每题3 分，共 1 5 分）1 5.（3分）计算：A口 义&-ta r 4 5 =1 6.（3分）在平面直角坐标系中，点 尸（4,2）关于直线x=l的对称点的坐标是.1 7.（3分）用 1 块 Z型钢板可制成4件甲种产品和1 件乙种产品；用 1 块 5型钢板可制成3 件甲种产品和2 件乙种产品；要生产甲种产品3 7件，乙种产品1 8件，则恰好需用A.8 两种型号的
5、钢板共 块.1 8.（3分）一般地，如果（0）,则称x为。的四次方根，一个正数。的四次方根有两个.它们互为相反数，记 为 土/，若 得 丁=1 0,则加=.1 9.（3 分）如图，在/8C 中，Z A C B 120 ,B C=4,。为 4 8 的中点，D CLB C,则20.（7 分）解方程：_兄=3.x-2 x21.（7 分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取3 0 名学生进行测试，成绩如下（单位：分）78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 8683 81
6、81 85 86 89 93 93 89 85 93整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：成 绩（分）频数7 8 0 V 8 258 2 W V 8 6a8 6 4 V901 19 09 4b9 4 9 82回答下列问题：（1）以上3 0 个数据中，中位数是；频 数 分 布 表 中 =；b=；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级3 0 0 名学生中，达到优秀等级的人数.22.（7 分）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计划沿NC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧。G4、C、。共线）处同时施工.测得N C 4B=3 Q
7、 ,AB=4km,ZABD=105,求 8。的长.23.（9 分）如图，Z 8 是。的直径，C 是。上一点，过点。作 OOJ_48,交 8 c 的延长线于。，交/C 于点E,/是。E 的中点，连接CK（1）求证：C尸是。的切线.(2)若/=2 2.5 ,求证：AC DC.24.（9 分）汛期到来，山洪暴发.下表记录了某水库20人内水位的变化情况，其中x 表示时 间（单位：），y 表示水位高度（单位：m）,当x=8（A）时，达到警戒水位，开始开闸放水.x/h024681 01 21 41 61 82 0y!m1 41 51 61 71 81 4.41 21 0.3987.2(1)在给出的平面直角
8、坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点.(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.(3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m.18-：1：!J：1 7-*.4.A.U.A.J.16-A -*-T-*-Y-14-：ii-：i：-.：i：-：-13 1.*.*.*.1 2-：.:.:.1.:.一?10:i:i:9.*.：1.A.:1.:.:8-Y-A -T-.-A -T-A -T-7.r.6：i:i:i/：I 1 I 1 !I !：!x/h直线y=x+2 与x轴交于点4与y轴交于点8,抛物ly=a x2+hx+c(a V O)经过点/、B
9、.2 4 6 8 10 12 14 16 18 202 5.(1 1 分)如 图，在正方形/8 C O 中，E是。C边上一点，(与。、C不重合)，连接A E,将 ZO E 沿/E所在的直线折叠得到 4F E,延长E K交 8 C于 G,连接Z G,作GH VA G,与 4 E的延长线交于点4,连接C.显然N E是/D 4 尸的平分线，E 4 是N。跖 的 平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于18 0的角平(1)求 、b 满足的关系式及。的值.(2)当xVO 时，若y=4/+b x+c (a,D E=F E：./ADE/C F E(4 4 S),：.AD=C F=3,.7
10、8=4,：.DB=AB-AD=4-3=1.故选：B.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定4 O E丝尸C E是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等.7.(3分)下列计算错误的是()A.(a3/),(.a b2)a4b3 B.(-机/)2=加2 6C.a5-a-2=a3 D.xy2-5 5【分析】选项4为单项式X单项式；选项8为积的乘方；选项C为同底数塞的除法；选项。为合并同类项，根据相应的公式进行计算即可.【解答】解：选项N,单项式X单项式，（6）（而2）ai*a*b,b2=a4b3,选项正确选项8,积的乘方，（-，加）2=?2 6,选
11、项正确选 项C,同底数幕的除法，“5 +。-2 =/-（-2）=凉，选项错误选项。，合并同类项，xy2-k r y2=A xp2-xy2=-xy2,选项正确故选：C.【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，事的乘方与积的乘方，同底数基的除法，熟练运用各运算公式是解题的关键.8.（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（）A.2 B.2 C.L D.1.3 9 3 9【分析】可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得
12、.【解答】解：画“树形图”如图所示:左亘右左直右左直右 这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，.一辆向右转，一辆向左转的概率为Z；9故选：B.【点评】此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解.29.（3分）计算3-a -1的正确结果是（）a-lA.-1 B.1 C.-2a-la-la-la-lD.2aTa-l【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了.2【解答】解：原式=N_ 殳+1 a-12 2 1_ -a-a -1）a-l a-l=1a-l故选：A.【
13、点评】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用.1 0.（3 分）小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温（单位：）,列成如表：天 数（天）1213最高气温（）2 22 62 82 9则这周最高气温的平均值是（）A.2 6.2 5 B.2 7 C.2 8 D.2 9【分析】由加权平均数公式即可得出结果.【解答】解：这周最高气温的平均值为工（1 X2 2+2 X2 6+1 X2 8+3X2 9）=2 7 （）；7故选：B.【点评】本题考查了加权平均数公式；熟练掌握加权平均数的计算是解决问题的关键.1 1 .（3 分）如图，。中，A
14、 B=A C，ZAC B=7 5 ,8C=2,则阴影部分的面积是)2+后 43C.4+2T T3D.33【分析】连接。8、OC,先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为6 0度，即可求出半径的长2,利用三角形和扇形的面积公式即可求解;解答解：V AC，:.A B=A C9V ZAC B=15 ,/.Z A B C=Z A C B=7 5Q,：.ZBAC=3 0,A ZBO C=60 ,：O B=O C,8O C是等边三角形，O A O B=OC=B C=2,作 NQ_ L 8C,9：AB=AC,:BD=C D,/经过圆心。，：OD=JJO B=M，2:AD=2+yI ,
15、SAABC=C*A D=2+5/3,S/BOC=C*O D 5/3,2 2:S 阴影=5八4 8产5 扇 形 B O L SZ8OC=2+V6 2：-=2+43 6 0 3故选：A.【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影=$ABC S扇形B O C -S/O C是解题的关键1 2.（3分）下列关于一次函数（A0）的说法，错误的是（)A.图象经过第一、二、四象限B.y 随 x 的增大而减小C.图象与y 轴交于点（0,b）D.当x -包 1y0k【分析】由 VO,b 0 可知图象经过第一、二、四象限；由Z-也时，y 0；k【解答】解：y=kx+b（1 0）,.图象
16、经过第一、二、四象限，A 正确；：k0,沙随 x 的增大而减小，B 正确；令 x=0 时，y=b,.图象与y 轴的交点为（0,b）,:.C 正确;令y=0 时，x=-微，当 寸，y A D=B D:.A D g/BC D (SAS),：.AH=BC=4,NH=NBCD=90,V ZACH30,:.C H=yH=m，:.CD=2 如,：.48C 的面积=2sBCD=2 X L x 4 X 2 7 3=8 02故答案为：【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.三、解答题：（共63分）2 0.（7 分）解方程：_3_=上.x-2 x【
17、分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：5 x=3 x -6,解得：x=-3,经检验x=-3 是分式方程的解.【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.2 1.（7 分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取3 0名学生进行测试，成绩如下（单位：分）7 8 8 3 8 6 8 6 9 0 9 4 9 7 9 2 8 9 8 6 8 4 8 1 8 1 8 4 8 6 8 8 9 2
18、 8 9 8 68 3 8 1 8 1 8 5 8 6 8 9 9 3 9 3 8 9 8 5 9 3整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：成 绩（分）频数7 8 W V 8 258286a86 901 19094b9 4 Wx 9 82回答下列问题：（1）以上3 0 个数据中，中 位 数 是 8 6；频数分布表中。=6；b=6；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩不低于8 6分为优秀，估计该校七年级3 0 0 名学生中，达到优秀等级的人数.,找出中位数，根据统计图与表格确定出a与b的值即可；（2）补全直方图即可；（3）求出样本中游戏学生的百分比，乘以3 0 0 即可得到结果.【解答
19、】解：（1）根据题意排列得：7 8,8 1,8 1,8 1,8 1,8 3,8 3,8 4,8 4,8 5,8 5,8 6,8 6,8 6,8 6,8 6,8 6,8 8,8 9,8 9,8 9,8 9,9 0,9 2,9 2,9 3,9 3,9 3,9 4,9 7,可得中位数为8 6,频数分布表中a=6,6=6；故答案为：8 6；6：6；30则该校七年级3 0 0 名学生中，达到优秀等级的人数为1 9 0人.【点评】此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及中位数，弄清题意是解本题的关键.2 2.（7分）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计划沿N C方向开挖隧道，为了
20、加快施工速度，要在小山的另一侧。（工、C、。共线）处同时施工.测得N G 4B=3 0 ,A B=4km,Z A B D 0 5Q,求 8。的长.30D1052B【分析】根据NCZ8=30,A B=4 k m,可以求得BE的长和N 48E的度数，进而求得NE B D的度数，然后利用勾股定理即可求得B D的长.【解答】解：作 B E 上4 D 于点E,ZC AB=3 0 ,AB=4km,：.Z A B E=6 0Q,BE=2km,V ZABD=W 5 ,；N EBD=45 ,.N EDB=45,:BE=DE=2km,B D=4 2 2+2,即 8。的长是2d乐机.【点评】本题考查解直角三角形的应
21、用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.23.(9 分)如 图，Z 8 是。的直径，C 是。上一点，过点。作 OOJ_48,交 8 c 的延长线于。，交 A C于点E,尸是DE的中点，连接CF.(1)求证：C厂是O O 的切线.(2)若/Z=22.5,求证：AC=DC.D【分析】(1)根据圆周角定理得到N4C8=NZCO=90,根据直角三角形的性质得到C F=EF=D F,求得NAEO=NFEC=N F C E,根据等腰三角形的性质得到N0C4=NO A C,于是得到结论；(2)根据三角形的内角和得到NOZE=NC7)E=22.5,根据等腰三角形的性质得到NCAD=ZADC=45
22、,于是得到结论.【解答】(1)证明：Z 8 是。的直径，A ZACB=ZACD=90,点厂是互 的中点，:CF=EF=DF,：.NAEO=NFEC=NFCE,9：OA=OC,：.ZOCA=ZOAC,9：ODA.AB,：.ZOAC+ZAEO=90,：.ZOCAZFCE=90,B|J OCA.FC,C尸与O O 相切；(2)解：:O D U B,ACLBD,：.ZAOE=ZACD=90,/ZAEO=ZDECf：.ZOAE=ZCDE=22.5,*：AO=BO9：AD=BD,A ZAD O ZBDO=22.5a,：.ZADB=45,：.ZCAD=ZADC=45,J.ACCD.【点评】本题考查了切线的判
23、定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.24.(9 分)汛期到来，山洪暴发.下表记录了某水库20内水位的变化情况，其中x 表示时间(单位：)，y 表示水位高度(单位：w),当x=8(A)时，达到警戒水位，开始开闸放水.x/h02468101214161820y/m141516171814.41210.3987.2(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点.(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.(3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到 6m.Ay/bn【分
24、析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当0 V x 8时，y与 x 就不是一次函数关系：通过观察数据发现与x 的关系最符合反比例函数.【解答】解：(1)在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示.(2)观察图象当0 x =6+6,把(0,1 4),(8,1 8)代入得色=14 解得：k=L,b=14,y与 x 的关系式为：y=Z+14,经验证l8k+b=18 2 2(2,1 5),(4,1 6),(6,1 7)都满足y=l+1 42因此放水前y与 x 的关系式为：y=Xr+1 4 (0 x 8时，y与x 就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8 X1 8=1 0 X 1 0.4
25、=1 2 X 1 2=1 6 X9=1 8 X8=1 4 4.因此放水后y与 x 的关系最符合反比例函数，关系式为：尸 蚪 生(x8)X所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：y=1+1 42(0 X 8)X(3)当y=6 时，6=M4,解得：x=2 4,x因此预计2 4 水位达到6m.2 9(M U I*II【点评】根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值.25.（11分）如图，在 正 方 形 中，是。C 边上一点，（与。、C 不重合），连接A E,将 沿 4 E 所在的直线折叠得到/尸E,延长7
26、=交8 C 于 G,连接/G,作GH LA G,与/E 的延长线交于点，连接C 4.显然/E 是ND4尸的平分线，E 4 是/。跖 的 平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180。的角平分线），并说明理由.【分析】过点，作 V_L8”于 N,利用正方形的性质及轴对称的性质，证明N8G也/X AF G,可推出Z G 是 尸 的 平 分 线，G/是/8 G F 的平分线；证明GNH,推出H N=C N,得到NDC=/N C H,推出C”是NOCN的平分线：再证NH G N=Z E GH,可知G”是Z E GM的平分线.【解答】解：过点、H 作 H NLB M于 N,则/NC=
27、90,：四边形/B C D 为正方形，；.AD=AB=BC,ND=N D A B=NB=/D C B=N DC M=9 0 ,将 A 4 D E沿A E所在的直线折叠得到/FE,D E 出 AAF E,；.ND=N A F E=/AF G=9 0 ,4D=AF,N D A E=N F A E,：.AF=AB,又,：AG=AG,，RtA48G岭RtZX/FG(HL),：.ZBAG=ZFAG,ZAGB=ZAGF,：.A G是N B 4F 的平分线，GA是NBGF的平分线：由知，NDAE=NFAE,NBAG=NFAG,又,A Z G A F+Z E A LX=45,2即 NG4H=45,:GHLAG
28、,：.ZGHA=90-NGAH=45,为等腰直角三角形，:.AG=GH,：/G 3+/B N G=90,NAGB+NHGN=90,：.NBAG=NNGH,又,：NB=NHNG=90,AG=GH,:.ABGmAGNH(AAS),:.BG=NH,AB=GN，：.BC=GN,：BC-CG=GN-CG,:.BG=CN,：.CN=HN,；NDCM=90,:.NNCH=N N H C=LX90=45,2ZDCH=ZDCM-NNCH=45 ,NDCH=ZNCH,.C”是NOCV的平分线；：/AGB+NHGN=90,NAGF+NEGH=90,由知，NAGB=NAGF,：.NHGN=NEGH,是NEGM的平分线
29、;综上所述，Z G是N 8/尸的平分线，G/是/8 G尸的平分线，C 是N O C N的平分线,G，是NEGM的平分线.【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法.2 6.(1 3分)在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点4与了轴交于点8,抛物线 了=/+反+。(a 0)经过点4、B.(1)求0、6满足的关系式及c的值.(2)当x V O时，若y=2+b x+c(a 0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围.(3)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使 P4 8的面积为1?若存在，请求出符合条件
30、的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)求出点工、8的坐标，即可求解：(2)当x 0时，若夕=+&+。(a 0)的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x=-互2 0,而6=2。+1,即：-2 a+L0,即可求解；2a 2a(3)过 点 尸 作 直 线/作 尸。丁轴交8/于点0,作 尸/，/8于点H,SMAB=L2X/BX PH=L x2&X PQX返=1,则KP-O|=1,即可求解.2 2【解答】解：（l）y=x+2,令x=0,则=2,令y=0,则x=-2,故点4、8的坐标分别为(-2,0)、(0,2),则c=2,则函数表达式为：y=a x2+bx 2,将点4坐标代入上式并整理得
31、：b=2+l；(2)当x V O时，若y=o?+以(a 0)的函数值随x的增大而增大,则函数对称轴x=-且2 0,而6=2+1,2 a即：-纽L 20,解得：0 ，2 a ,2故：的取值范围为：-L W a 0；2(3)当a=-l时，二次函数表达式为：y=-X-x+2,过点P作 直 线/作P Q y轴交8/于点0,作于点H,：O A=O B,：.ZBAO=ZP Q H=45 ,S.B=N 8 X P =L x 2&X P。X 返=1,2 2 2则%-yQ=1，在直线Z B下方作直线加，使直线切和/与直线4 5等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点A B组成的三角形的面积也为1,故：必-
32、阳=1，设点尸(x,-x2-x+2),则点。(x,x+2),即：-x2-x+2-x-2=1,解得：x=-1 或-1 i A/2故点尸(-1,2)或(-1+加，1)或(-1 -.【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.初中数学重要公式1、几何计数：当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在 条线段.平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在 条直线.如果平面内有n条直线，最多存在 个交点.如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成 部分.（5）、有
33、公共端点的 条射线（两条射线的最大夹角小于平角），则存在.角.2、AB/C D,分别探讨下面四个图形中N 4 T与/为6、N R力的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的 比 等 于
34、.5,口边形的内角和等于;多 边 形 的 外 角 和 都 等 于.6、在四边形的四个内角中，最多能有3一个钝角，最多能有3一个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加 180度.4.边形有 条对角线.5、用、完全相同的一种或几种 进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就 是 平 面 图 形 的.注意要实现平面图形的镶嵌，必 须 保 证 每 个 拼 接 点 处 的 角 恰 好 能 拼 成 .总结平面图形的镶嵌的常见形式用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或 个正四边形或 个正六边形.用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和 个正四边形；用
35、正三角形和正六边形镶嵌：用 个正三角形和 个正六边形或者用个正三角形和 个正六边形：用正四边形和正八边形镶嵌：用 个正四边形和 个正八边形可以镶嵌.用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m 块正三角形、n 块正方形、k 块正六边形，则有60m+90n+：120k=3 6 0,整理得,因为m、n、A为整数，所以,n=,k=,即用 块正方形，块正三角形和 块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如 图：RtZ48C 中，则 有：(1)、Z A C D=Z B(2)由 Rt2A8C s由 RtABC s由 MAACD sZACB=90,CD LAB 于 D,ZD
36、 C B=Z ARtA/ACD 得 至AC，=AD ABRtACBD 得 至“BC1=BD ABRtACBD 得到C A =A D BD(3)、由等积法得到AB x CD=AC x BC8、若 将 半 圆 换 成 正 三 南 形、正方形或任意的相似形,9、在解直角三角形时常用词语:1.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做,视线在水平线下方的叫做2.坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度I之比叫,用字母i表示，即1=,把 坡 面 与 水 平 面 的 夹 角 叫 做，记作a,于是i=t a n a,显然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.11、特殊锐角三角函数值1 0.正多
37、边形的有关计算边长：3Q、45、602R180n sinnS i n aj_2A/2V3V周长：Pn=n 边心距：rn=180 hC o s a正22工2CO b|n积：Sn=-an rn-nt a n aE1V3内角：77-2D X 1803nLl 360 一外角：-中心n人 360角：-C o t a显1V3312、某些数列前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+.+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+.+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理（1）平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理：三 条
38、 平 行 线 截 两 条 直 线，所得的对应线段成比例。如 图：a匕c,直 线/与 分 别 与 直 线a、b、c相 交 与 点4、8,C和D、E、e+A B D E A B D E B C E F则 有 一=,=,=OB C E F A C D F A C D F（2）推 论：平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边（或 两 边 的 延 长 线），所得的对 应 线 段 成 比 例。如 图：4 8 C中，DE/BC,D E与A B、AC相 交 与 点。、E,则A D _ A E A D _A E _ D E D BE CAC1 4、极差、方差与标准差计算公式：极差：用一组数
39、据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值：方差：数据X、x2.,X”的方差为$2,标准差：数据X、x2.,X .的标准差S,一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。1 5、求 抛 物 线 的 顶 点、对称轴的方法（、2 2X +|+顶点是2a）4a/b 4 a c-h2 x 日七 3 b（-,-）,对称轴友.直线 X =-2a 4a 2a 配 方 法：运 用 配 方 的 方 法，将 抛物线的解析式化为少=a（x-外2+左的形式，得到顶点为（，后），对 称 轴 是 直 线x =/。运 用 抛 物 线 的 对 称 性：由于抛物线是
40、以 对 称 轴 为 轴 的 轴 对 称 图 形，对称轴与抛 物 线 的 交 点 是 顶 点。若 已 知 抛 物 线 上 两 点&/）、（）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：x=三立立216、直线与抛物线的交点y轴与抛物线y=ax：+bx+c得交点为（0,c）。抛物线与x轴的交点。二次函数y=ax?+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X、x2,是对应一元二次方程a?+以+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点。（0）u抛物线与x轴相交；b有一个交点（顶点在x轴上）。（4=0）。抛物线与x轴相切：c没有交点。（）o 抛物线与x轴相
41、离。平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为左，则横坐标是ax?+bx+c=A的两个实数根。一次函数y-kx+nk w 0）的图像/与二次函数y=ax2+bx+c（a w 0）的图y=kx+n像G的交声，由方程组）的解的数目来确定：y=ax+Zzr+ca方程组全两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交，点；c方程组无解时。/与G没有交点。抛物线与X轴两交点之间的距离：若抛物线y=+bx+c与X轴两交点为 4（孙0 1 5（X2,0）,则 4ff=|再一切图形的定义、性质、判定一、角平分
42、线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 上.二、线段垂直平分线1.性质：线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 t.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1.定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性 质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角(简 写 成 等 边 对 等 角).等 腰 三 角 形 的 顶 角,底边上的,底边上的_ _ _ _ _ _ _ _
43、 互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意(1)等腰三角形两腰上的高相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).注意(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所
44、对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.注意)等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.(2)三个角相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角等于6 0 的 三角形是等边三角形五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质直角 三 角 形 的 两 个 锐 角.(2)直 角 三 角 形 的 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的.(3)在直角三角形中，3 0
45、的 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么 标+炉3.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是 三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为。、b、C,满足。2 +b2=c 2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂
46、直于过切点的半径。六、相似三角形1.相 似 三 角 形 的 对 应 角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相 似 多 边 形 周 长 的 比 等 于,相似多边形面积的比等于 的平方.2.相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于.3.相似三角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的.注意相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
47、似.注意直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形1.定义：两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.注意 位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.2.位似图形的性质位 似 图 形 上 任 意 一 对 对 应 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于.对 应 线 段 互 相.3.坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的 比 等 于.八、平行四边形1.定义：
48、两组对边分别 的四边形是平行四边形；2.平行四边形的性质平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别:平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别;平 行 四 边 形 的 两 组 对 角 分 别:平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相.总结平行四边形是中心对称图形，佗的对称中心是两条对角线的交点.判定：1.定义法.2.两组对角分别 的四边形是平行四边形.3.两组对边分别 的四边形是平行四边形.4.对角线 的四边形是平行四边形.5.一组对边平行且_ _ _ _ _ _ 的四边形是平行四边形.九、矩形1.矩形的定义有一个角是直角的 是矩形.2.矩形的性质矩形对边;(2)矩形四个角都是 角(
49、或矩形四个角都相等)；(3)矩形对角线、.总结(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；3.矩形的判定定义法；(2)有三个角是直角的 是矩形；对角线相等的 是矩形.十、菱形1.菱形的定义一组邻边相等的 是菱形.2.菱形的性质 菱 形 的 四 条 边 都;(2)菱 形 的 对 角 线 互 相,互相,并且每一条对角线平分一组对角；(3)菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点;菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴.注意菱形的面积：由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积=底乂高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的
50、面 积 等 于 两 对 角 线 乘 积 的.3.菱形的判定定义法；对角线互相垂直的 是菱形：四条边都相等的 是菱形.十一、正方形1.正方形的定义有一组邻边相等的 是正方形.2.正方形的性质正方形对边平行；正方形四边相等；(3)正方形四个角都是直角；正方形对角线相等，互相,每条对角线平分一组对角；正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点.3.正方形的判定定义法；(2)有一个角是直角的 是正方形.注意 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形.矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一