《北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题04导数及其应用(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题04导数及其应用(含详解).pdf（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(北京卷)专题04导数及其应用 真 题 汇/电 1.【2021年北京14】己知函数/(X)=|l g x|-/e x -2,给出下列四个结论：若k =0,则f(x)有两个零点；弘 0,使得/(%)有一个零点；北 0,使得f(x)有三个零点；皿 0,使得人工)有三个零点.以 上 正 确 结 论 得 序 号 是.2.【2020年北京卷11】函数/(X)=W +l nx 的定义域是.3 .【2019 年北京理科13】设函数/(x)=+讹 1 Q 为常数).若/(x)为奇函数，则=；若/(x)是 R上的增函数，则 a 的取值范围是.4 .2016
2、年北京理科14】设函数f(x)=-3 x，X-a.-2 x,xa 若 a=0,则f(x)的最大值为；若 f(x)无最大值，则实数a 的 取 值 范 围 是.5 .【2022年北京卷2 0 1 5知函数/(x)=e X l n(l +x).(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)设g(x)=/(%),讨论函数g(x)在0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意的s,t (0,+8),有f(s +t)f(s)+f(t).6 .【2021年北京19】已知函数/(=怒.(1)若a=0,求y =/(x)在(l,f(l)处切线方程；(2)若函数/(x)在x =-1处取得极值，求f(x
3、)的单调区间，以及最大值和最小值.7 .【2020年北京卷19】已知函数/(久)=1 2-/(1 )求曲线y =f(x)的斜率等于一2的切线方程；(I I)设曲线y =f(x)在点(t j(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.8 .【2019 年北京理科19】已知函数/(x)=-?+%.(I )求曲线y=f(x)的斜率为/的切线方程；(H)当尤 -2,4 时，求证：x-6 W/(x)W x：(I I I)设 厂(x)=|/(x)-(x+a)|(R),记 尸(x)在区间-2,4 上的最大值为M(a).当 M(a)最小时，求 a 的值.9 .【2018 年北京理科
4、 18】设函数f(x)=a?-(4 a+l)x+4 a+3 /.(I )若曲线y=/(x)在 点(1,/(l)处的切线与x 轴平行，求“；(I I)若 八 x)在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围.10.【2017 年北京理科19】已知函数f(x)=L c os x-x.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；7 1(2)求函数/(X)在区间 0,上的最大值和最小值.11.【2016 年北京理科18】设函数f(x)=xeax+bx,曲线y=/(x)在 点(2,/(2)处的切线方程为)，=(e -1)x+4,(I )求 a,b 的值；(H)求/(x)的单调区间.1+x1
5、2.【2015 年北京理科18】已知函数f(x)=/，工工，(I )求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(I I)求证，当(0,1)时，f(x)2(x +号);(I I I)设实数Z 使得/(尤)/c(x +)对 x e (0,1)恒成立，求 k的最大值.13 .【2013 年北京理科18】设/为曲线C：)=等 在 点(1,0)处的切线.(I )求/的方程；(I I)证明：除 切 点(1,0)之外，曲线C在直线/的下方.模拟好题 1.已知函数/1(x)=-小 一 落 卜6 R讨论函数f(x)在区间(1e)内的单调性；(2)若函数/Q)在区间(1记)内无零点，求k 的取值范围.2
6、.已知函数/O)=/(1+他I nx),其中m 0,/(%)为/(x)的导函数.(1)当m=l,求f(x)在 点 处 的 切 线 方 程；(2)设 函 数 九(行=华，且h(x)|恒成立.e求加的取值范围；设函数/(%)的零点为%0,尸(%)的极小值点为%i，求证：%0 xl-3 .设函数/(%)=ax2 (4 a+l)x +4Q+3 ex.(1)若曲线y =/(%)在点(L f(l)处的切线与轴平行，求。；(2)若“均在 =2处取得极大值，求Q 的取值范围.4 .己知函数f(%)=x l nx 4-ax +2.(1)当Q=0时，求f(%)的极值；(2)若对任意的 E 1通2,/(X)4 0恒
7、成立，求实数的取值范围.5 .设函数=a 6 /?.(1)当a=1时，求/(%)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)当 WR时，f(x)N 0恒成立，求。的取值范围；(3)求证：当%(0,+8)时,2.x eax6 .已知函数/。)=笈.(1)当a=1时，求函数f(x)在(1,/(1)处的切线方程；(2)求函数/Q)的单调区间；(3)若对任意x 6 1,+8),都有f(x)已成立，求实数a 的取值范围.7 .己知函数/(%)=(%2 ax)l nx +x(a E R,a 0).若1是函数/(%)的极值点，求Q 的值；(2)若试问/(%)是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由
8、8 .已知函数/(%)=al nx +%(a R)(1)若a=2,求曲线y =/(%)在点(1 J(l)处的切线方程；(2)求/(%)的极值和单调区间；(3)若 X)在1个 上不是单调函数，且f(%)4e 在口。上恒成立，求实数。的取值范围.9 .已知函数/(%)=(1)若r(1)=；,求a的值；(2)当Q 2 时，求证：/(x)有唯一的极值点与；记/(x)的零点为沏，是否存在a使 得 说 明 理 由.10.已知函数f(%)=%4 +t z l nx(c z G R)(1)当Q=1时，求曲线y =/(x)在点(1 J(l)处的切线方程;(2)当x e L+8)时，曲线y =/(x)在x 轴的上
9、方，求实数”的取值范围.11.已知函数/(x)=I nx+(a 6 R.(1)当a=0时，求曲线y =f(x)在点(1,/(D)处的切线方程；(2)若函数/(X)的最小值是2,求 a 的值；(3)设 f为常数，求函数仪切二噜些的单调区间.12.已知/(%)=fc s i nx 4-2 x.(1)当k =2时，判断函数/(%)零点的个数；(2)求证：-s i n%+2%l n(x 4-l),x G (0 ).13 .已知函数f(X)=I nx +G R.(1)当Q =1时，求函数/(X)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=与 二，若g(x)在 l,e 2 上存在极值，求 a 的取值范围.14
10、.已知函数/(%)=ez(x -a)2.(1)若/(%)在 =-1处的切线与轴平行，求Q 的值；(2)/(X)有两个极值点X 1/2,比较与弋3的大小；(3)若/在-1,1 上的最大值为4 e，求a的值.15 .已知函数/Q)=I n瞪+%(1)当a =0 时，求曲线y =/(x)在点(一l,f(一 1)处的切线方程；(2)当a =:时，求函数/(x)的单调区间：(3)当 ，恒成立，求a 的取值范围.1 6 .已知函数/(%)=a ln x b%+b,g(x)=7 a(x 0).(1)若曲线y =f(%)与曲线y =g。)在它们的交点(l,c)处具有公共切线，求实数a,b的值；(2)若函数g(
11、%)无零点，求实数a 的取值范围；(3)当a =b时，函数F(%)=/(%)+g(%)在 =1 处取得极小值,求实数a 的取值范围.1 7.已知函数/(x)=等.(1)当a =l时，求f(x)的单调区间和极值；(2)当QN I时，求证：/(%)ax2+(a -l)x +1 恒成立.1 8.已知f(%)=fcsin x +2 x.(1)当=2 时，判断函数/(%)零点的个数；(2)求证：一 sin x 4-2%ln(x +1)(x ()(3)若f(x)ln(x +1)在x e(0 出 恒成立,求k 的最小值.1 9.设函数/(%)=%2+m ln(x +l)(m 6 R).若m =1,求曲线/(
12、%)在点(0)(0)处的切线方程；当 w(l,+8)时，求证：/(%)x3.(2)若函数/(%)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数m的取值范围.2 0 .已知函数/(%)=J-Q%-1.(1)求曲线y =/(%)在点(O J(O)处的切线方程；求函数/()的极值；(3)当0Vae时，设函数g(%)=3=4,%G (0,ii),判断g(x)的零点个数，并证明你的结论.大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(北京卷)专题04导数及其应用q i真，题，汇 电，1.【2021年北京14】已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论：若k=0,则/(x)有两个零点；丑 0
13、,使得/(%)有一个零点；北 0,使得/(x)有三个零点.以 上 正 确 结 论 得 序 号 是.【答案】对于，当k=0时，由/(x)=|lg%|-2=0,可得x=击或x=1 0 0,正确：对于,考查直线y=kx+2与曲线y=-lgx(0 x 1)相切于点P(t,Tgt),kt+2=-Igt t=M对函数y=-lgx求导得y=一得，由题意可得 ,_ i.解得 忠 ，*=一 痂 k=-ge所以，存在k=一 詈 lg e 0,使得f(x)只有一个零点，正确；对于，当直线y=kx+2过点(1,0)时，k+2=0,解得k=-2,所以，当一詈lg e k -2 时，宜线y=kc+2与曲线、=-电 双 0
14、 *1)有两个交点，若函数/(%)有三个零点，则直线y=kx+2与曲线y=-lgx(0 x 1)有一个交点，所以，e 配，此不等式无解，k+2 0因此，不存在k V 0,使得函数/(%)有三个零点，错误；对于，考查直线y=fcx+2与曲线y=lgx(x 1)相切于点P(t,lgt),对函数y=lgx求导得y =*；,由题意可得 ,1 ,解得”_3，1 n JLu/v vtlnlO 100e所以，当。卜黑时,故答案为：.2.【2 0 2 0 年北京卷1 1】函数f(x)=W +ln x 的定义域是【答案】(0,+8)【解析】由题意得门。故答案为：(0,+8)3.【2 0 1 9年北京理科1 3设
15、函数/(x)(。为常数).若/(x)为奇函数，则。,：若/(X)是R上的增函数，则a的取值范围是,【答案】解：根据题意，函数/(X)=/+/*,若/G)为奇函数，贝即 e F+a/=-(/+”/*),变形可得 a=-l,函数/J)=+a e ”,导数 f(x)=-双“若f(x)是 R上的增函数，则/(x)的导数，(%)=，-次 20在 R上恒成立,变形可得：a W e 为恒成立，分析可得aWO,即。的取值范围为(-8,0；故答案为：-1,(-,0 .4.【2 0 1 6 年北京理科1 4】设函数f(x)=x3 3x,x a 若 a=0,则f(x)的最大值为.若/(%)无最大值，则实数a的取值范
16、围是.【答案】解：若。=0,则/(x)=x3 3x,x 03r2 3,r 0一，当x0,此时函数为增函数,-2,x 0当x -1 时-，/(x)0,此时函数为减函数，故当x=-1 时，/(x)的最大值为2；,(3x2 3,x a令/(x)=0,则 1=1,p-l若/(x)无最大值，则:_ 3加 或I 一 2 a a 3-3a,-2 a2解得：aE (-8,-1).故答案为：2,(-8,-|)5.【2 0 2 2 年北京卷2 0】已知函数/(%)=e*】n(l+%).(1)求曲线y =%)在点(0/(0)处的切线方程；(2)设g(x)=/，(%),讨论函数g(%)在 0,+8)上的单调性；(3)
17、证明：对任意的s,t 6(0,+8),有f(s+t)f(s)+/(t).【答案】(l)y =x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】解：因为f(x)=ln(l+,),所以f(0)=0,即切点坐标为(0,0),又尸(x)=e/ln(l+x)+W),.切线斜率k =r(0)=1,切线方程为：y =x(2)解：因为g(x)=/(x)=ex(ln(l+x)+士),所以 g (x)=/(比(1+乃+看 一 ),2 1令h(%)=l n(l 4-x)H-,、7 l+x(l+x)2*则/l(X)=+-2-1 2=x2+l(1+x)2-(1+x)3-(1+x)30,工 九。)在0,+
18、8)上单调递增,.九(x)h(0)=1 0，g(x)。在 0,+8)上恒成立,.g(X)在 0,+8)上单调递增.(3)解：原不等式等价于f (s+t)-f (s)f (t)-f(0),令m(%)=f(x +t)/(x)，(x,t 0),即证m(x)m(0),V m(x)=/(%+t)/(x)=ex+tln(l+%+)exln(l+%),X+t Xm(x)=ex+tn(1+*+D+7 e*ln(l+x)-=5(x+t)-g(x)，由(2)知g(x)=/(*)=e*(ln(l+*)+3-)在 0,+8)上单调递增,，g(x+t)g(x),.,.znO 0，小(无)在(0,+8)上单调递增，又 因
19、 为 0,/.m(x)m(0),所以命题得证.6.2021年北京19 6 知函数f(x)=言.(1)若a=0,求y=/(乃在 处 切 线 方 程；(2)若函数f(x)在x=-l 处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y-5=0：(2)函数/(x)的增区间为(一8,1)、(4,+8),单调递减区间为(-1,4),最大值为1,最小值为一(1)当a=0时，/(%)=要，则/(x)=等，.(1)=1,f(l)=-4,此时，曲线y=f(x)在点(1)(1)处的切线方程为y-l =-4(一1),即4x+y-5 =0；(2)因为f(x)=|g,则()=*潦竿出=等第2,由
20、题意可得尸(-1)=今 郎=0,解得a=4,(a 十 ij故/(X)=爵/=黑”，列表如下：X(-00,-1)-1(-1.4)4(4,+00)f(x)+00+f(x)增极大值减极小值增所以，函数f(x)的增区间为(8,1)、(4,+0 0),单调递减区间为(一 1,4).当x 泄，/(x)0；当时,f (x)0(t 0,得t 2,由S (t)0,得0 t 2,所以S(t)在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，所以t=2 时,S(t)取得极小值,也是最小值为S(2)=与 二=3 2.8.【2 0 1 9 年北京理科1 9】已知函数x)=-?+%.(I )求曲线y=/(x)的斜率为/的切线方程
21、;8-38-3=o儆(I I)当 xq-2,4 时，求证：x-6f(x)x；(I I I)设 F(x)=|/(x)-(X+Q)I(WR),记 F(x)在区间-2,4 上的最大值为 M(a).当 M()最a小时，求。的值.【答案】解：(I)f (x)=*/-2%+1,=0,8 8又/(0)=0,f(-)=2 7，*8 8.y=x 和y-2 7 =x-即 y=x 和 y=x-|；(I I)证明：欲证 x-6/(x)Wx,只需证-6 f(x)-x-6,g(4)=0,/.-6 Wg (x)WO,.x-6 W/(x)Wx；(I I I)由(I I)可得，F(x)=f(x)-(x+a)|=f(x)-x-a
22、=|g (x)-a,在-2,4 ,-6 g (x)WO,令 i=g(x),h(r)=t-a,则问题转化为当r e -6,0 时，/?(力的最大值M(a)的问题了,当 aW-3 时，M(a)h(0)=|a|=-a,此 时-a 2 3,当a=-3时，M(a)取得最小值3；当 a2-3 时，M(a)=h(-6)=|-6 -a|=|6+a|,.6+a3,.M(a)=6+a,也是a=-3时，M(a)最小为3.综上，当M(a)取最小值时a的值为-3.9.【2 0 1 8 年北京理科 1 8】设函数f(x)=/-(4 /+1)x+4 a+3 /.(I )若曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线与x轴平
23、行，求a：(I I)若/(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.【答案】解：(I )函数/(x)ax2-(4 a+l)X+4.+3，的导数为f(x)=a r -(2 a+l)x+2 ex.由题意可得曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线斜率为0,可 得(a-2 a-1+2)e0,且/1(1)=3 e#0,解得a I；(I I )/(x)的导数为/(x)ax1-(2 a+l)x+2 ex(x-2)(a x-I)ex,若 a=0 则 x 0,f(x)递增；x2,f(x)0,且。=冷，则，(x)=*(x-2)2/2 0,f(x)递增，无极值；若 则一 2,f(x)在(一，2)递减；在(2,
24、+8),(-8,-)递增，可得在x=2处取得极小值；若 0 2,f(x)在(2,-)递减；在(工，+8),(-8,2)递增，2 a a a可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意；若则工 2,/(x)在(2)递增；在(2,+8),a a,-)递减,可得/(x)在 x=2处取得极大值，不符题意.1综上可得，。的范围是(二，+8).1 0 .【2 0 1 7 年北京理科1 9】已知函数/(X)=/c os x-x.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；71(2)求函数/(X)在区间 0,或上的最大值和最小值.【答案】解：(1)函数/(x)=c os x-x 的导数为，(x)=
25、(c os x-s i n A*)-1,可得曲线y=/(x)在 点(0,7(0)处的切线斜率为七=e (c os O -s i n O)-1=0,切点为(0,e c os O -0),即 为(0,1),曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程为y=l；(2)函数/(X)=e c os x-x 的导数为，(x)=(c os x-s i n j c)-1,令 g (x)=(c os x-s i n x)-1,则 g (x)的导数为(x)e(c os x-s i n x-s i n r -c os x)=-2 ,s i n x,n当-,可得 g (x)=-2 ,s i n x =/(x)在
26、点(2,/(2)处 的 切 线 方 程 为 尸(e-l)X+4,当 x=2 时，y=2(e-1)+4=2 e+2,即/(2)=2 e+2,同时/(2)=e-1,/(x)=xea x+hx,：.f(x)=x-xea x+b,则(/(2)=2 ea2+2 b=2 e+2f(2)=ea2 2 ea2+b =e 1即 a=2,b=e；(1 1 )：a=2,b=e；.f(x)=xe2 x+ex,：.f(x)=e2 x-xe2 j:+e(1 -x)e2x+e(1 e2 x,e 2 x 0,与，(x)同号，令 g(x)=1 -x+/1,贝!l g (x)=-l+/T,由g (x)0,得x 0,得x l,此时
27、g (x)为增函数，则当x=l时，g(X)取得极小值也是最小值g (1)=1 ,则 g (x)N g (1)=1 0,故/(x)0,即/(x)的单调区间是(-8,+8),无递减区间.1+工1 2.【2 0 1 5年北京理科1 8】已知函数/(x),(I )求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(I I )求证，当 xC (0,1)时，f(x)2(%+-)；(I I I)设实数使得f (x)(久+号)对xC (0,1)恒成立，求k的最大值.【答案】解答：(1)因为/(x)=历(1+x)-In(1 -x)所以/(刈=击+含()=2又因为/(0)=0,所以曲线y=/(x)在 点(0,7
28、(0)处的切线方程为)，=2 x.(2)证明：令 g (x)=/(x)-2 a+y),贝|Jg(x)=f(x)-2 (1+x2)*J 1-x2因为g，(x)0(0 x g(0)=0,x e (0,1),即当 X C (0,1)时，f(x)2(A-+y).(3)由(2)知，当&k(x +1)对 x e(o,1)恒成立.当2 时，令(x)=/(x)-k(x +1),则h(x)=/(x)-k (1+?)=fcx4(fe2),J 1-x2所以当OVx邛 示 时，h(x)0,因此(x)在 区 间(0,1 毕)上 单 调 递 减.当O V x V p 时，h(x)h(0)=0,即/(x)2 时，f (x)
29、k(x+1)并 非 对(0,1)恒成立.综上所知，k 的最大值为2.1 3.【2013年北京理科18】设/为曲线C：y=警 在 点(1,0)处的切线.(I)求/的方程：(I I)证明：除 切 点(1,0)之外，曲线C 在直线/的下方.【答案】解：(I)=亨.,y=1 一仇xX2./的斜率z=0)曲线C 在直线/的下方，即/(x)=x(x-1)-lnx0,则/(x)=2x-1-i=(2 计1)(3)x./(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，又/(I)=0IJIXxE(0,1)时，f (x)0,即-1.-InxxE(1,+0)时，f (x)0,即-x-1即除切点(1,0)之外，
30、曲线。在直线/的下方模拟好题 已 知 函 数 君=5符 一 hke讨论函数/(x)在区间(l，e)内的单调性；(2)若函数/(x)在区间(1七)内无零点，求a的取值范围.【答案】见解析k G(-8,盘U -l(+oo)【解析】(l)v/(x)=-|nx-fc,ke R,x G (l,e)f(x)=-4 -=-7(I)当-k x -l 0 X2 X X2f(%)e，即 k 4 e时，x+k x e 0,二 /(x)在(1.)单调递增(IH)当l -k e，即一e k l时，当l x 0，f(x)单调递增；当 一k x e时，f(x)0,/(x)单调递减综上所述，(I)当卜2-1时，f(x)在(1
31、七)单调递减(II)当kW-e时，/(x)在(1七)单调递增(III)当一e k -l时，f(x)在(1,一卜)单调递增，在(一/个)单调递减 由(1)知：当k N-l时，/(x)/(I)=0即/(x)/(I)=0即/(x)0,二 /(x)在(l，e)无零点当一e k /(1)=0,xe(1,一。,/(x)/(e)=-l-k,x e (-fc,e)e:只需f(e)=-1 kNO 即可e即(l_ L)k W-l，二 =之ce ee-e f c 0,f(x)为f(x)的导函数.(1)当1,求f(x)在点(L D)处的切线方程；(2)设函数九(x)=华，且Mx)工亘成立.e2求m的取值范围；设函数/
32、(无)的零点为%o，/()的极小值点为修，求证：x0 xv【答案】(l)y=2ex-e(2)+8)；详见解析【解析】(l)m=1时，/(x)=ex(l+lnx),f(x)=:(1+Inx+=2e,/(l)=e，所以函数在x=1 处的切线方程y-e=2e(x 1),即y=2ex-(2)由题设知，fr(x)=丁(1 4-4-m i n x)(x 0),h(x)=1 4-+m i n x,九 (%)=(%0)e%由(X)0,得X 1,所以函数九(%)在区间(1,+8)上是增函数;由八(%)0,得0 0),则H，(x)=粤+粤+当=盘 整 出 0,X5 X Xs故函数H(x)在区间(0,+8)上单调递
33、增，由(1)知，m|,所以H(l)=m+1 0,H Q)=1 -m l n 2 1 -l n 2 V 2%2 时，H(X)0，grM 0,函数g(x)单调递增.所以乃是函数g(x)的极小值点.因此X 2 =9，即X i G由可知，当时，/i(x)即i+J _ +3 i n x 9,整理得I n x +N l,22 x 2 2 x所以？n l n x 4-m.因此g(x)g3)=/(1 +；+mnx eX 1(l 4-m)0,即/(x)0.所以函数f (%)在区间(0,+8)上单调递增.由于H(%i)=0,即1 +等$+m l n%i =0,即 1 4-m l n x i =g-詈，1 9y所以
34、/O i)=e*(l +m l n x j =mex x3.设函数/(x)=ax2-(4 a +l)x +4 a +3 ex.(1)若曲线y =/(x)在 点 处 的 切 线 与 其 轴 平 行，求a；(2)若f(x)在x =2 处取得极大值，求a 的取值范围.【答案】1(F)【解析】(l)/(x)=ax2 (4 a +l)x +4 a +3 /定义域为 R，f(x)=a x2 (2 a +l)x +2 ex.由 题 设 知/=a-(2 a+1)+2 eJ=0,即(l-a)e=O,解得：a=此时川)=3*0.所以a的值为1由得尸(x)=ax2-(2 a +l)x +2 ex=(a x -l)(
35、x -2)ex.若a ：时，则当x e (，2)时(x)0,所以/(x)在弓,2)上单减，在(2,+8)上单增，所以“X)在 x=2 处取得极小值，不合题意，舍去；若a =：时，则/(X)2 0恒成立，所以;1(X)在 R上单增，所以f(x)在 x=2 处不能取得极值，不合题意，舍去;若0 a 时，则当x e(2 3)时,尸0)0,所以f(x)在(一 8,2)上单增，在上单减，所以/(X)在户2处取得极大值，符合题意；若Q =0时,则当%6 (2,+8)时/X)0,所以f(%)在(一8,2)上单增，在(2,+8)上单减，所以/(%)在户2处取得极大值，符合题意；若a 0时,则当%G (2,+8
36、)时，尸(%)0,所以/(%)在2)上单减，在(2,+8)上单增，所以“切在户2处取得极大值，符合题意.综:所述：Q V 即实数的范围为(一8,1).4.已知函数/(%)=x l n%+a x +2.(1)当a =0时,求f(%)的极值；(2)若对任意的工 1,2 ，/(x)W 0恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(1)极小值是f G)=-+2,无极大值.(2)-1 -2,+8)【解析】(1)当a =0时，/(%)=x l n x 4-2,/(%)的定义域为(0,十 8),ff(x)=I n x +1=0,则x =令尸(x)0,则x e (二+8),令尸(x)0,则x(0,，所以八%)在(o
37、,9上单调递减，在e，+8)上单调递增.当 =工时，/(x)取得极小值且为/(二)=2 1 +2 =2+2,无极大值.e e，e e e 丁(2)/(%)=xnx 4-a x 4-2 廿;)=|+I n x 对任意的x 6 I,0?恒成立，令g(x)=：+l n x,g，(x)=1+：=0,所以x =2,则g(x)在口,2)上单调递减，在(2,e?上单调递增，所以g(l)=2,5(e2)=4+2.所以9(x)max =5(e2)=4+e e2,则-a 2 9 +2,则a S-W-2.e e实数a 的取值范围为：卜等一 2,+8).5.设函数f(x)=-1，a E R.(1)当Q=1 时，求/(
38、%)在点(O J(O)处的切线方程；(2)当时，恒成立，求 4的取值范围；(3)求证：当N W(0,+8)时,忑二 5.X【答案】(D y =0(2)a 1(3)证明见解析【解析】(l)/(x)=/-%-1,/(0)=e0-0-l =0,即切线(0,0)/0)=/-1，k =/(O)=e-l =O，则切线方程为：y=0.(2)x R,apx-x-1 0恒成立等价于x G R,a 宇恒成立.e e设g(x)=室，g M =千，e ex e(-oo,0),0,g(%)为增函数，X 6 (0,+oo),g(x)0.x c e e设九(%)=e*L x (0,+8),/i,(x)=e2 Q2 1 设/
39、c(%)=e*1,x 6 (0,4-oo),k，(%)=(/-1)0,所以%)在(0,+8)为增函数,即忆(无)k(0)=0,所以/i (x)=e5 (e5%1)，即九(元)在(0,+8)为增函数,即九(幻 h(o)=0,即证：口,j.X Cax6.已知函数f(x)=笈.(1)当a=1 时，求函数/(x)在(1)(1)处的切线方程；(2)求函数/Xx)的单调区间；(3)若对任意x e 1,+8),都有f(x)已成立，求实数a 的取值范围.【答案】(l)e%-2 y +e=0；答案见解析；a 白ze【解析】由题设，/(切=且%0,则 尸(乃=:.(磊)，所以/(l)=e，/(1)=；，故/(X)
40、在(1,/(1)处的切线方程为峭-2 y +e=0.(2)由尸(x)=e x (寺)同丫 0,当a WO时/(x)0 时，在(0,分 上/(x)0,f(x)递增,综上，&30 时.(为递减；a 0时f(x)在(0,分上递减，弓,+8)上递墙(3)由(2),0 时/(%)递减且工1,+8)值域为(0 4)，显然存在/(无)4左：a。时，/的极小值为76)=伍;，当专1,即0 a 关，可 得/当以4 1,即a*时，/(x)在1,+8)上递增，则/=e。夕亘成立，满足题设;综上，a 的取值范围为a 六.7 .已知函数/(%)=(x2 ax)l n x +x(a&R,a 0).(1)若1 是函数f(x
41、)的极值点，求a的值；(2)若0 0),则+令m(%)=x l n x 4-%a,则W(%)=I n x +2,令m，(x)=0,解得x=e-2,而巾(?-2)=e-2 a 0,当0 c xe c-2 时，m M?-2 时，mr(x)0,m(x)单调递增，当 趋向于0 时，m(x)趋向于-Q,即m(x)V 0,Tn(e2)=e2 a 0故存在%o W (e-2,1)使得m(%)=Xoi n%o+&-Q=0,即h (%)=0,故当O V/V%()时,hz(x)%o 时,hf(x)0,九(%)单调递增，故M%)mi n =以%0)=(%0-a)l n%0+1 =1-x0(l n x0)2(x0 E
42、 0-2,1),故h(x)O 九(%)即f(x)无零点；8 .已知函数f(%)=al n x +|.(a e R)(1)若a=2,求曲线y =f(%)在点(1)(1)处的切线方程；求/(%)的极值和单调区间；(3)若/(%)在口%上不是单调函数，且f(%)4e在 院 上恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(D y =x(2)答案见解析(3)(二1)e【解析】当a=2 时，函数/(x)=2 l n x +；,/(%)=：-妥.所以/(1)=1,f(l)=1.所以曲线y =/(x)在点(1)(1)处的切线方程y =x.(2)函数f(x)定义域*e(0,+8).求 导 得 尸(%)=妥=等.当a 4
43、 0时，因为x e(0,+8),所以尸(x)0 时，x 变化时，f(x),f(x)变化如下表:X1(峭1a1(7+8)/0+fix)极小值7所 以 的 单 调 递 减 区 间 是(0*),单 调 递 增 区 间 是+8).此时函数f(x)的极小值是/(工)=a-a l n a,无极大值.(3)因为f(x)在口不是单调函数，由 第(2)可知此C L D时a 0,且!el，e,X11(匕)1a1(一)e/(X)0+/(X)/极小值7/(e)又因为f(x)W e在%上恒成立，只需fl -2 时,求证：/(%)有唯一的极值点X1；记f(x)的零点为%0,是否存在a使得 工已2?说明理由.【答案】(l)
44、a=1.(2)证明见解析，不存在，详细见解析.【解析】(1)因为/()=鬻,x0,所以/因为/(1)=二巴=：，所以a=L4 4f(x)的定义域是(0,+8),fix)=】+n：-a,令,=0,则1 +：_ I n x _ a=0.(x+1)2 x设9(x)=1 +-I n x -a,因为y =-I n x 在(0,+8)上单调递减，所以g(x)在(0,+8)上单调递减.因为g(e-a)=l +ea，g(l)=2-a 。，所以g(x)在(0,+8)上有唯一的零点，|所以/(%)=0有(0,+8)有唯一解，不妨设为Xi，/G (e-a,1).r(x)与 的 情 况 如 下,X(O./)X1(卬+
45、8)/(X)十0-f(x)增极大值减所以/(X)有唯一的极值点X1.由题意，I n%。=-a,则X。=e若存在“，使1 W/，则S e 。0，则需9(e2F)=e a-2-lW 0，即a W 2,与已知矛盾.所以，不存在a 2,使得 We?“01 0.已知函数f(x)=x+alnx(aeR).(1)当a=1时，求曲线y=/Q)在点(1,7(1)处的切线方程；(2)当x e L+8)时，曲线y=)在x轴的上方，求实数a 的取值范围.【答案】(l)y=3；(一今,+8)【解析】(1)当Q=1时，/(x)=x 4-4-Inx,x 0,/(1)=3,h 1)=0,.曲线y=f (%)在点(1)(1)处
46、的切线方程为y=3；(2)V 函数f (工)=%+*+alnx(a G R),当a NO时，由%,+8)有/(%)0,故曲线y=/(%)在久轴的上方，当a v O 时，/(%)=1-谷+?=(x-a)(x+2a)由/(%)=0可得=-2 a 或久=a(舍去)，.当x 6(0,2a)时，/(x)0,/(x)单调递增，当 2a e即一；W a 0，即曲线y=/(乃在X轴的上方,当一2 a e 即Q一；时，/(%)在 上 单 调 递 减，在(一 2a,+8)上单调递增，则/(%)/(-2 a)=-3a 4-aln(2a),由 e L+8)时，曲线y=/(%)在工轴的上方，3Q+aln(-2a)0,解
47、得a -所以一”一；综上，实数”的取值范围为(一，,+8).1 1.已知函数/(X)=l n x +三，a G R.(1)当a=。时，求曲线y =/(x)在点(1 J(l)处的切线方程;(2)若函数“X)的最小值是2,求的值；(3)设 为常数，求函数g(x)=嘿的单调区间.【答案】(Dy =一1(2)a=(3)减区间为(0,t),(t,+8),无增区间【解析】(1)当Q=0时，/(x)=I n x,/(I)=I n i=0.f M =r(1)=1,即切线斜率k=1.所以切线方程为y =x-l.(2)函数/(x)=I n x+的定义域为(0,+8),令/(%)=0,得%=当Q W0时，/(无)0
48、.所以f(x)在(0,+8)单调递增，无最小值.当Q 0时，令/(X)0，得%CL.所以/(%)在(0,Q)单调递减，在(见+8)单调递增，所以/(%)最小值为/(a)=1 +I n a.所以1 +I n a=2,即。=(3)函数g Q)的定义域为(0,t)U (t,+o o),kx-t)-(lnx-lnt)l+lnt-(Inx+)g a)=(x 由(2)知，当t 0 时，若x羊a,则l n x +工 1 +l n t.X匚U I、I、1lnx+lnt所以g(x)=J.l n(x +1),%(0 g).【答案】1;(2)证明见解析.【解析】(1)当k=2 时,/(x)=2 s in x +2
49、x,f(x)=2 co s x +2 0,当且仅当x =(2/c 1)口,k e z时取所以/(x)在 R上单调递增，而/(0)=0,即 0是/(x)的唯一零点，所以函数f(x)零点的个数是1.(2)x 6 (0,),令g(x)=2 x s in x -l n(x +1),则g(x)=2 co s x 因co s x 1,-0,因此，函数g(x)在(0,今上单调递增，V x G(0 ),g(x)g(0)=0,所以当x W (0,9 时，-s in x +2 x l n(x +1)成立.1 3 .已知函数/(x)=l n x +，a e R.(1)当a=l 时,求函数/(x)的单调递增区间；(2
50、)设函数g(x)=号 二，若g(x)在 I,e2 上存在极值，求。的取值范围.【答案】(1)减区间为(0,1),增区间为(L+8).(0,$【解析】(1)解：当a=l 时，函数f(x)=l n x +1,其定义域为(0,+8),可 得/(%)=；：袈，当X E (0,1)时，frM 0,f(%)单调递增,所以函数/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(L+8).(2)解：由g(x)=号 匚=+爰6 口炉,可得“=中 竺+或 _ 矍=设九(汽)=2 x x l n x 2 a,则九(x)=2 (1 +I n x)=1 -I n x,令/f(x)=0,即 1 l n x =0,解得 =