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1、2021-2022学年北京市海淀区师达中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.如图，将给出的四张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的一张扑克牌旋转18 0。成第二行的样子，那么被旋转过的那张扑克牌应该是从左数（）C.第 三 张 D.第四张2.二次函数 =奴 2+法+。的图象如图所示，则下列说法正确的是（）3.抛物线y=f+4 x+5 的顶点坐标是（）B.b0C.c 0 D.A.(2,5)B.(2,1)C.(-2,5)D.(-2,1)4.如图，在测量旗杆高度的数学活动中,小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到
2、他刚好在镜子中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面A 3 =1.5 米，同时量得BC=2 米，CD =10 米，则旗杆高度ZJ E为E()A.7.5 米 B.一 米 C.7 米 D.9.5 米35.如图，在AABC中，D、E 两点分别在A 3、A C 边上，D E/B C.若 D E:B C =2:3,则6.如图，PA和 PB是。0 的切线，点 A 和 B 的切点，AC是。0 的直径，已知NP=50,则NACB的大相关数据 C D =10m,a =45。，4=5 0。设铁塔顶端到地面的高度房为x m,根据以上条件，可以列出的方程为（）A.x=(x-1 0)tan 50B,x=(%-10)cos50C
3、.x-1 0 =xtan50D.x=(x+10)sin508.如图，过半径为6 的。O 上一点A 作。O 的 切 线 P 为。上的一个动点，作于点H,连接%.如 果 以=x,A H=y,那么下列图象中，能大致表示y 与x 的函数关系的是（）二、填空题（共16分，每题2分）9.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处.若将 AC B 绕着点A 逆时针旋转得到 A C E,则 t a n 8将半径为2c m 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕A 8的长11.如图，在平面直角坐标系x O y 中，A B C 与4 A B C顶点的横、纵坐标都是整数.若 a A B C 与a A B C是
4、位似图形，则位似中心的坐标是12.抛物线）=涓+次+c对称轴为41,点 P,点。是抛物线与x 轴的两个交点，若点尸的坐标为（3,0）,则点。的坐标为.13 .如图，将矩形4 B C。沿 C E 折叠，点 B恰 好 落 在 的 F处，若 A 8：B C=2：3,则 c o s/O C F 值为=则 O B 的长为.ABC中，点。在边A3上，且NACZ)=NABC,若AC=J 5，4)=1,1 5 如图，点 E 在回A8CC的边C O 的延长线上，连接8 E 分别交A。、A C 于 尸、.对.G.图中相似的两个三角形共有的范围内有解，则，的取值范围是.若关于x 的一元二次方程一f+4 x/=（）（
5、，为实数）在 1%BC+ADB.A C+B D =BC+ADC.A C+B D 0D.b2-4 a c 0【解析】【分析】利用抛物线开口方向可对A 选项进行判断；利用对称轴位于x 轴正半轴，则可对B 选项进行判断；利用抛物线与），轴的交点位置可对c 选项错误；根据抛物线与x 轴的交点数，可对D 选项进行判断.【详解】解：.抛物线开口向上,。0,所以A 选项错误;对称轴位于x 轴正半轴,b-0,a 0,lab 0,所 以 B选项错误;抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,c 0,所以D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数）=以2+云+c 6 川），二次
6、项系数决定抛物线的开口方向和大小.当”0 时，抛物线向上开口；当。0）,对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异 号 时（即a b 0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；/=坟4/。=0 时，抛物线与x 轴有 1个交点；/=ZA4acV0时，抛物线与x 轴没有交点.3.抛物线y=f+4x+5的顶点坐标是（)A.(2,5)B.(2,1)C.2,5)D.(-2,1)【答案】D【解析】【分析】利用顶点公式(-=,竺JL),进行解题.2 a 4 a【详解】解：；抛物线y=x2+4 x+5.x=b2 a-=-2,产也二2=12 4 顶 点 为(-2,1)故选：D.【点睛】此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的
7、关键是熟知二次函数的顶点公 式 为(-2,2 a4ac-b2)-4.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面A 5 =L 5米，同时量得B C =2米，C D =1 0米，则旗杆高度。石为()E/弋4 0，/A.7.5 米 B.一 米 C.7 米 D.9.5 米一3【答案】A【解析】【分析】由平面镜反射可得：Z A C B =N D C E,再证明AABCS AEOC,再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：由平面镜反射可得：Z A C B =ZDCE,Q 1 A B C?E D C 9 0?,VABCSV
8、E O C,空=史，.A B =1.5 米，3 C =2米，8 =1 0 米,D E C D1 5 2 二解得：D E =75,经检验：符合题意，.旗杆高度OE为7.5米.故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌 握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.5.如图，在AABC中，D、E两点分别在A 3、A C边上，D E/B C.若D E:B C =2:3,则C.9:4D.4:9【答案】D【解析】【分析】由。七 证明ADES AABC,再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：D E/B C.ADEABC,4故选D9【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌 握“相似三角
9、形的面积之比等于相似比的平方”是解本题的关键.6.如图，PA和PB是。0的切线，点A和B的切点，AC是。O的直径，已知/P=5 0 ,则/A C B的大小 是（）B.60C.55 D.50【答案】A【解析】【详解】分析：由PA、P B IO的切线内得NOAP=NOBP=90。,根据四边形内角和，求出/A O B,再根据圆周角定理即可求/A C B的度数.详解：连接O B,如图，VPA,PB是。的切线,/.OA1PA,OBPB,ZOAP=ZOBP=90,ZAOB=360-90-90-50=130,/OB=OC,.ZOCB=ZOBC,而 ZAOB=ZOCB+ZOBC,.ZOCB=1X130=65,
10、即/ACB=65.圆周角是直角来解答.本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接0B,利用直径对的设铁塔顶端到地面的高度F E 为切1,根据以上条件，可以列出的方程为()A%=(x-10)tan50B.x=(x-10)cos50C.x-1 0 =xtan50D,x=(x+10)sin50【答案】A【解析】EF【分析】由a =45得 DH=FH=CE,故在Rtz EFC中使用tan5()=即可列出方程.CE【详解】.a=4 5 ,，DH=FH,贝!J FH=CE,设 FE 为 x,CE=x-10,EF x在 RtA E F C,ta n5()=-CE x-1 0B P x =(x-1
11、 0)ta n5 0,选 A.【点睛】此题主要考察三角函数的应用.8.如图，过半径为6的。上一点A作。的 切 线P为。上的一个动点，作于点H,连接P A.如果B 4=x,AH=y,那么下列图象中，能大致表示丁与X的函数关系的是()【答案】C【解析】【详解】解：作直径A B,连接B P.,ZAPB=9 0,/8+/B A尸=9 0。，；/是切线，NBAH=90。,：.ZPAH+ZBAP=90,：.ZPAH=ZB,：PH1.AH,：.ZBPAZAHP=9Q,：.MABBsPHA,：.AB：AP=PA：PH,1 2：x=x：yjx2-y2 y=t 36 (6-)观察图象，只有C符合，故选C.二、填空
12、题（共16分，每题2分）9.如 图，A、B、C三点在 正 方 形 网 格 线 的 交 点 处.若 将 AC B绕 着 点A逆时针旋转得到 4 C B，则ta nB，【解 析】13【分 析】过C点作垂足为。，根据旋转性质可知，把 求ta n夕的问题，转化为在RtASC Z）中求 ta nB.【详解】解：过C点作垂足为。.B D 3 3故答案为：.3【点 睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法.1 0.如 图，将 半 径 为2 5 7的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心。，则折痕的长为,根据相似三角形的性质可得出AD AC=，代入AC、的值可求出AB的长，再 根
13、 据 即 可 求 出 结 论.AC AB【详解】解：ZACD=ZABC,N4=NA,ABCs”。,.AD ACAC-AB，：AC=6 AD=l,.1 _V3 ,6 AB：.AB=3,：.BD=AB-AD=3-l2.故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键.15.如图，点E在团ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交A。、AC于F、G.图中相似的两个三角形共有对.【解析】【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可.详解】解：.SBC。是平行四边形：.AD/BC,AB/DCV/ABG/CEG,AGFsCGB,AEFDAEBC,A
14、BF/DEF,A BfsaEBC五对，还有一对特殊的相似即AABC也AQC,.共6对.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型.16.若关于x的一元二次方程一 f+4 x-，=0（为实数）在1%5的范围内有解，则/的取值范围是【答案】-5 /4【解析】【分析】由方程有解转化为考查函数丁 =-炉+4无,丁 =/两个函数的交点情况，再画出两个函数的图象,结合函数图象可得答案.【详解】解：一f+4 x T =0-“2+4x=/考查函数）=-*2+4x,y=t两个函数的交点情况，如图,当x=5时，y=-25+4?5-
15、5,*当l x 5,两个函数y=-x?+4x,y=/有交点时，此时-5 r 4,关于x的一元二次方程一丁+4 _=0（，为实数）在l x 5的范围内有解，则1的取值范围是-5 /4.故答案为：-5rCE=60,ZBCE=15,可求NCOB=90,由等腰直角三角形的性质可求4O=CO=8O=3a”，由勾股定理可求解.【详解】解：/ACB=/EC=90,NA=45,Z=30,/.ZZ）CE=60,ZB=450 把三角板DCE绕点、C顺时针旋转15得到：.ZDCE=60,ZBCF=15,：.ZOCB=45,又：NB=45,Z COB=90,又AC8是等腰直角三角形，.,.AO=CO=BO=3cin,
16、DO4cm,-AD=ACr+iyOr=532+42=5c/n.【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.19.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.己知：如图，。0及。O上一点P.求作：过点P的。o的切线.作法：如图，作射线O P；在直线O P外任取一点A,以A为圆心，AP为半径作O A,与射线O P交于另一点B；连接并延长BA与。A交于点C；作直线P C；则直线P C 即为所求.根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：BC是。A的
17、直径，N B P C=9 0 （填推理依据）./.O P 1 P C.又,:0P是。0的半径，P C 是O0的切线（填推理依据）.【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到/B P C=9 0。，根据切线的判定定理即可得到结论.【详解】解：（D 补全图形如图所示，则直线P C 即为所求；（2）证明：BC是OA的直径,图 2/.Z B P C=9 0 （圆周角定理），A O P I P C.又Y OP是。O的半径，；.P C 是。的切 线（切线的判定）.故答案为：圆周角定理；
18、切线的判定.【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键.2 0.如图，AABC中,NA=30,AC=2 0，tan5=,求A 8的长.2【答 案】5【解 析】【分 析】过 点C作C C A B于 Q,利 用30。角所对的直角边等于斜边的一半求出C Q,然后根据勾股定理求 出AO =3,最后根据N B的正切值求出8 0，即可得解.【详 解】解：如图所示，过 点C作C D LA 8于 点。，二 /AC=/BDC=90V ZA=30,AC=2日：.CD=-A C =y/3,2AD=y/AC2-CD2=3 5 5 =0=正，BD 2：.BD=2,：.AB=AD+BD=5.【点
19、 睛】本题主要考查了解直角三角形，勾 股 定 理 和 含30度直角三角形的性质，解题关键是作辅助线构造出两个直角三角形.2 1.补 图 并 证 明.如 图 NA=NZ)=90,AB=AC,DE=DC,连接 A。、B E,求证:AC D s 丛 BCE.E【答 案】证明见解析【解析】4 r RC【分析】先证明？ACB?DCE 45?,BC 6AC,CE=6DC,可 得-=，从而可得结论.DC EC【详解】解：如图，连接4。,BE,DE=D C,?ACB?DCE 45?,5C 41 AC,CE=41DC,：.ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE、AC 垃 DC -=-=-9BC 2 EC 4 G
20、=+，VACDSVBCE.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾DC EC股定理的应用，相似三角形的判定，掌 握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键.即 NACD=/BCE2 2.如图,A 3、CO均为同圆中的两条弦，且ABLCD.（1）判断AC+BO与BC+A。的 关 系（）A.AC+BDBC+AD B.AC+BD=BC+ADC.AC+BD故选B(2).A 5 L 8,尸为AO的中点,7AED 90?,FE FD=FA,?FED?D,;NB=ND,?B?FED,Q?AEF?BEH,?B?BEH?FED?AEF 90?,?EHB 90?,七 人3 C.【点睛】本题考
21、查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，圆周角与弧之间的关系，熟练的运用以上知识解题是解题的关键.23.如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点。为原点、A3所在直线为x轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题.时水面宽度为2指米.【解析】【分析】如图，以。为坐标原点，A3所在的直线为x轴建立直角坐标系，再根据坐标系得到A(-2,0),B(2,0),C(0,2),且。为抛物线的顶点，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解当丁 =-1时，自变量的值，从而可得答案.【详解】解：如图，以。为坐标原点，所在的直
22、线为*轴建立直角坐标系,结合题意可得：A B=4,C D =2,A(-2,0),6(2,0),C(0,2),且。为抛物线的顶点，设抛物线为：y=a x2+2,4=-2,.a=L所以抛物线的解析式为：y=-X2+2,2 2当 水 面 高 度 下 降1米 时，即y=-1,-1%2+2=-1,2=6,解 得：宁瓜&二 飞所以水面宽度为：瓜-卜 4 =2 指,答：水 面 下 降1米，此时水面宽度为2m米.【点 睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的按照要求建立平面直角坐标系，并求解二次函数的解析式是解本题的关键.D E I2 4.已知：AABC中，AO为8。上的中线，点 后 在4。上，且=-,射
23、线CE交A 3于 点F.求A E 3A F ,.-的值.F B【解 析】【分 析】如 图，过。作交。产 于M,证 明VDMESV4F,VCS VC 8 可得:D M A F1 D M 1 ra,村上=一,-=一，从而可得答案.3 B F 2【详解】解：如图，过。作。交CE于M,NDMENAFEyCDM 3CBF=-AE AF 3 =-=-,竺=3.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌 握“利用相似三角形CB BF 2 BF 2的对应边成比例建立比例式”是解本题的关键.2 5.如图，在A B C中，N C=9 0 ,点E在A 8上，以A E为直径的。0切B C于点。，连接4 0.(1)
24、求证：平分N B A C；(2)若0。的半径为5,s i n N D 4 C=g,求8。的长.20【答案】(1)见解析(2)B D=3【解析】【分析】(1)连接0D 先依据平行线的判定定理证明0 D A C,然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明N 0 A O=N D 4 C,于是可证明A O平分/B A C.(2)连接E。、0D.由题意可知A E=1 0.接下来，在 A D 4中，依据锐角三角函数的定义可求得的长，然后在 A O C中，可求得Q C和A C的长，由。Q A C可证明 B O O s a B A C,然后由相似三角形的性质可列出关于8。的方程.:.ODLBC,：.ZODB=
25、90.V Z C=90 ,：.ZC=ZODB.：.OD/AC.：.ZODA=ZDAC.OD=OAf：.ZOAD=ZODA.：.ZOAD=ZDAC.AO平分NAAC.【小问2详解】如图2所示：连接ED：ZEAD=ZCADf sinZDAC=,5：.snZEAD=f5在放%)：中，DE=AExsinZEAD=-x10=2y/5.AD=A E2-A D2=102-(2可=4 6在AQC 中，DC=DCXsinZEAD=J-X4 75=4,AC=NAD?-CD?=#-42=8.OD/AC,:BODs/BAC.OD BD 刖 5 BD.-，即一二-，AC BC 8 BD+4解得：B D=3【点睛】本题主
26、要考查的是切线的性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，列出关于BD的方程是解题的关键.26.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛物线)=0+(1-2)x-2(存0)与 y 轴交于点C.a y8765，4321(1)当。=1时，该抛物线与元轴的两个交点为-8-7-6-5-4-3-2-1?1 2 3 4 5 6 7 8 x-1 1-2-3-4-5-67-8A,B(点A 在点6 左侧)，求点A,8 的坐标；(2)若该抛物线与(1)中的线段A8总有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围.【答案】(1)4(-L 0),B(2,0)；(2)a 的取值范
27、围为色1或2【解析】【分析】U)先由”=1得到抛物线解析式；解方程1*2=0 得 A(-1,0),B(2,0)；(2)先判断抛物线严加+(1-2。)x-2(厚0)必过点C 点和B 点，再讨论：当 a 0,利用户-1时，yK)时得到a-l+2a-2K),解不等式得到。的范围；当V 0 时，当顶点为3 点，利用=(l-2a)2-4a*(-2)=0,得。=-,，从 而 判 断 时 抛 物 线 与 线 段AB总有两个公共点.2 2【详解】解：(1)当 4=1时，抛物线为)=(”2,.,.点C 的坐标为(0,-2),令 产0,则/1 2=0,解得X2=2,Y A 在点6 左侧，：.A(-1,0),B(2
28、,0)；(2)当 jt=0 时，尸 加+(1 2。)x-2=-2；当 4 2 时，yax2+(I-2 a)x-2=0,所以抛物线产以2+(l-2 a)x-2(存0)必过点C (0,-2)和B (2,0)；当”0,当x=-l时，心0时，抛物线与线段A 8总有两个公共点，即 a-l+2 a-2 0,解得al；当“/!，则凡 再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明FG=AG,B G=4 G,则尸G=B G,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论证明NFGB=2NBAF=2X4 5=90,则4 GB尸是等腰直角三角形，于是得D F=B F=2FG.【小 问 1详解】解：BF=72 FG,理由
29、：如 图 1,连接CG、BG,四边形4 8CO是正方形，：.CG=AB,NABC=90,./3CA=NBAC=4 5,：EFBC,:.NCFE=90,：FE=FC,；.NFCE=NFEC=45,ZAC=90,G是 4 E 的中点，CG=；AE=AG=EG,：BG=BG,.C8G丝ZUBG（SSS）,.NCBG=/ABG=gNABC=4 5,：CG=EG,FC=FE,FG=FG,：./CFG/EFG(SSS),:/C FG=/EFG=；(360-90)=135,：.ZGFB=S0-ZCFG=45,：NGBF=NGFB=45,A ZBGF=90,:.BG=FG,.8 产=BC+FG2=2FG2,:
30、BF=OFG,故答案为：BF=V2 FG.图1【小问2详解】依 据题意补全图形如图2.DF=y/2 FG,证明：如图2,连接BG、BF,V ZFCE=ZFCB=45Q,J当点F在AC上时，则点E在BC上，VAD=CD,ZADC=90,：.ZDAC=ZDCA=45,：.ZBAF=ZDAF=45,；AB=AD,AF=AF9：./BAF/DAF(SAS),：.BF=DF,V ZAFE=S0-ZCFE=180-90=90,ZABE=90,G 是 AE 的中点,：.FG=AE=AG,BG=AE=AGf:FG=BG,9：ZGAF=ZGFA,NGAB=NGBA,：.ZEGF=ZGAF+ZGFA=2ZGAF9
31、/EGB=4GAB+/GBA=2/GAB,：.Z F G B=ZEGF+ZEGB=2 ZGAF+2 ZGAB=2 ZBAF=2 X4 5 =90 ,Z.B/=F G2+B G2=2 F G2,:.BF=6FG,:,DF=6FG.图2【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键.2 8.在平面直角坐标系x O y中，对于P,。两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点。到两坐标轴的距离之和，则称P,。两点为同族点.如图P,。两点即为同族(1)已知点4的坐标为(-3,
32、1),点B在x轴上，且A,8两点为同族点，则点8的坐标为；(2)直线/：y=x-3,与x轴交于点C,与)，轴交于点Q,M为线段C 上一点，若在直线犬=上存在点N,使得M,N两点为同族点，求的取值范围；M为直线/上的一个动点，若 以(m,0)为圆心，、反 为半径的圆上存在点N,使得N两点为同族点，直接写出?的取值范围.【答案】(1)(-4,0)或(4,0)(2)-3 WW3；机W-1或机21【解析】【分析】（1）因为点8在x轴上，所以设B （x,0）,则卜|=4,可得结论；（2）首先证明点的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3,然后画出图形即可解决问题;如图，设P（7,0）为圆心，近为半径的圆与直
33、线y=x-3相切，求出此时尸的坐标，即可判断.【小 问1详解】解：.点A的坐标为（-3,1）,二3+1=4,.点B在x轴上，.点8的纵坐标为0,设 8 （x,0）,则仇|=4,.x4,：.B（-4,0）或（4,0）；故答案为：（-4,0）或（4,0）；【小问2详解】由题意，直线y=x-3与x轴交于C （3,0）,与y轴交于0（0,-3）.则有：x 2 0,y W O,且 y=x-3.x-y3.点M到x轴的距离为|y|,点M到y轴的距离为，则 k l+l y l=x -y=3.A点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3.即点N在右图中所示的正方形CDFE上.:点尸的坐标为（-3,0）,点N在 直 线 上，-3W后 3；如图，设 尸（加，0）为圆心，血为半径的圆与直线y=x-3相切,:PN=6,NPCN=NCPN=45,:,PC=2,：.OP=1,观察图形可知，当加2 1 时，若 以（相，0）为圆心,、历 为半径的圆上存在点N,使得M,N 两点为同族点,再根据对称性可知，机W -1也满足条件,.满足条件的机的范围：m W-1或机21.【点睛】本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题,属于中考压轴题.